Espazo compacto

En topoloxía, un espazo compacto é un espazo que ten propiedades similares a un conxunto finito, en canto a que as sucesións contidas nun conxunto finito sempre conteñen unha subsucesión converxente. A noción de compacidade é unha versión máis xeral desta propiedade.

O intervalo $A=(-\infty ,-2]$ non é compacto porque non é limitado. O intervalo $C=(2,4)$ non é compacto porque non é pechado. O intervalo $B=[0,1]$ é compacto porque é pechado e limitado.

Un conxunto compacto é un subconxunto dun espazo topolóxico, que como subespazo topolóxico (coa topoloxía inducida) é en si mesmo un espazo topolóxico compacto.

Definición

A definición moderna de compacidade require primeiro especificar a noción de cobertura aberta:

Unha cobertura aberta dun subconxunto A ⊆ X dun espazo topolóxico, é unha familia de conxuntos abertos {O_i}_{i ∈ I} de X, tales que a súa unión "cobre" A : $\bigcup _{i\in I}O_{i}\supseteq A$

Dada unha cobertura C dun conxunto A, unha subcobertura D é unha subfamilia de C, D ⊆ C que segue a ser unha cobertura de A, é dicir, unha subcolección de conxuntos de C que aínda cobre A.

A definición de compacidade é entón:

Un espazo topolóxico X chámase compacto se, dada unha cobertura aberta calquera de X, existe unha subcobertura finita da mesma.

Exemplos

• O conxunto K = {1, 1/2, 1/3, 1/4,..., 0} ⊆ ℝ coa topoloxía hedada da estándar de ℝ é compacto. Dada unha veciñanza de 0, esta inclúe todos os 1/n agás un número finito, posto que a sucesión {1/n}_{n ∈ ℕ} converxe a 0. Polo tanto, dado unha cobertura aberta de K, tomando un aberto O que conteña a 0 e un aberto que conteña cada punto 1/n non contido en O, esta subcolección finita cobre K.
• O intervalo aberto (0, 1) ⊆ ℝ non é compacto (coa topoloxía usual herdada de ℝ). A familia { (0, 1 − 1/n) }_{n> 1} é unha cobertura aberta do intervalo, pero dada calquera subfamilia finita, existe un intervalo (0, 1 − 1/k) nela que contén os demais —buscando aquel con k máximo—. Como 1 − 1/p non está en (0, 1 − 1/k) se p ≥ k, ningunha subfamilia finita cobre (0, 1).

Caracterizacións equivalentes

A compacidade dun espazo topolóxico X admite varias formulacións alternativas. As seguintes afirmacións son equivalentes:

1. X es compacto.
2. Se {F_i}_{i ∈ I} é unha familia de subconxuntos pechados en X coa propiedade da intersección finita, entón ∩_IF_i ≠ ∅.
3. Toda rede en X admite unha subrede converxente.
4. A función ao punto $X\to \ast$ é propia.

Compacidade en espazos métricos

Un subconxunto A dun espazo métrico e, en particular, do espazo euclidiano $\mathbb {R} ^{n}$ é compacto se cumpre algunha das catro condicións da definición xeral. Non obstante, a terceira delas admite a seguinte reescritura neste contexto: toda sucesión en A admite unha subsucesión converxente.

Exemplos

• O exemplo máis sinxelo dun subconxunto compacto da recta euclidiana é un intervalo pechado [a, b] da mesma (Teorema de Heine-Borel).
• Máis xeralmente, tamén o é calquera conxunto pechado e limitado do espazo euclidiano. Por exemplo, calquera círculo no plano euclidiano.
• Todo espazo X cofinito é compacto.
• Un exemplo de espazo non compacto é a recta real, pois non é limitada e contén sucesións que tenden a infinito. Ademais ningunha subfamilia finita da cobertura de abertos {(-n, n): n∈ℕ} recobre a recta real.
• Tampouco é compacto o conxunto dos números racionais. En efecto, unha sucesión de racionais que converxe a un irracional (ao ser vista como sucesión nos reais) non ten ningunha subsucesión converxente a un racional.

Teoremas asociados á compacidade

• Teorema de Heine-Borel: un espazo métrico é compacto se e só se é completo e totalmente limitado. Para subconxuntos do espazo euclidiano, abonda con que este sexa pechado e limitado, que é unha caracterización útil. Con todo en dimensión infinita isto non é verdade e, de feito, neste contexto a bóla unitaria pechada xamais será precompacta; polo mesmo, é moito máis difícil verificar a compacidade.
• Teorema de Arzelà-Ascoli

Véxase tamén

Bibliografía

• Ivorra, Carlos. Análisis (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 05-09-2011. Consultado o 21-5-2011. 
• Munkres, James (2001). Topología. Pearson Educación. ISBN 9788420531809. 

Outros artigos

• Compacidade local
• Soporte compacto