Conxunto aberto

En topoloxía, dise que un conxunto é aberto se unha pequena variación dun punto dese conxunto manteno no conxunto.

Definición en espazos topolóxicos

Artigo principal: Espazo topolóxico.

En topoloxía o concepto de aberto é básico: unha topoloxía T nun conxunto X é definida como un subconxunto do conxunto das partes de X (satisfacendo determinadas propiedades), e cada elemento de T chámase aberto ou conxunto aberto.

Abertos nun espazo métrico

Artigo principal: Espazo métrico.

Un subconxunto dun espazo métrico $X\,\!$ é aberto se, para cada punto $a\in X$, existe $\epsilon >0\,\!$ tal que a bóla aberta $B(a,\epsilon )\,\!$ está contida en $X\,\!$.

Propiedades

• Nun espazo topolóxico ou espazo métrico X, o conxunto baleiro e o propio conxunto X son abertos.
• Un conxunto é aberto se e só se coincidir co seu interior.
• Un conxunto é aberto se e só se o seu complementario for pechado.
• A intersección de dous conxuntos abertos é un conxunto aberto.
• A unión de calquera cantidade (mesmo infinita) de conxuntos abertos é un conxunto aberto.

Abertos de $\mathbb {R}$

Como $\mathbb {R}$ (coa topoloxía usual) é un espazo métrico, un subconxunto $X\,\!$ de $\mathbb {R}$ é aberto se, para cada punto $a\in \mathbb {R}$, existe $\epsilon \,\!$ tal que $(a-\epsilon ,a \epsilon )\subset X$.

En $\mathbb {R}$, un subconxunto é aberto se e só for reunión (posiblemente infinita) de intervalos abertos. O propio conxunto dos números reais é un conxunto aberto.