Coclase

En matemáticas, especificamente na teoría de grupos, pódese usar un subgrupo H dun grupo G para descompoñer o conxunto subxacente de G en subconxuntos disxuntos e de igual tamaño chamados coclases (ou cosets en inglés). Hai coclases esquerdas e dereitas. As coclases (tanto á esquerda como á dereita) teñen o mesmo número de elementos (cardinalidade) que H. A maiores, o propio H é tanto un grupo esquerdo como un grupo dereito. O número de coclases esquerdas de H en G é igual ao número de coclases dereitas de H en G. Este valor común chámase índice de H en G e normalmente denótase por [G : H].

G é o grupo $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$, os enteiros mod 8 baixo a suma. O subgrupo H contén só 0 e 4. Hai catro clases esquerdas de H : H o propio H, 1 H, 2 H e 3 H (escrito usando notación aditiva xa que este é o grupo aditivo). Xuntos dividen todo o grupo G en conxuntos de igual tamaño e non superpostos. O índice [G : H] é 4.

As coclases son unha ferramenta básica no estudo dos grupos; por exemplo, desempeñan un papel central no teorema de Lagrange que afirma que para calquera grupo finito G, o número de elementos de cada subgrupo H de G divide o número de elementos de G. As coclases do subgrupo normal pódense usar como elementos doutro grupo chamado grupo cociente. As coclases tamén aparecen noutras áreas das matemáticas como os espazos vectoriais e os códigos de corrección de erros .

Definición

Sexa H un subgrupo do grupo G cuxa operación escríbese multiplicativamente (a xustaposición denota a operación do grupo). Dado un elemento g de G, as coclases esquerdas de H en G son os conxuntos obtidos multiplicando cada elemento de H por un elemento fixo g de G (onde g é o factor esquerdo). En símbolos estas son,

$gH=\{gh:h{\text{ un elemento de H}}\}{\text{ para }}g\in G$.

As coclases dereitas defínense de xeito similar, agás que o elemento g agora é un factor pola dereita, é dicir,

$Hg=\{hg:h{\text{ un elemento de H}}\}{\text{ para }}g\in G$.

  Dúas coclases esquerdas calquera (respectivamente dereitas) son disxuntas ou son idénticas como conxuntos.

Se a operación do grupo é aditiva, como adoita suceder cando o grupo é abeliano, a notación utilizada muda a g H ou H g, respectivamente.

O símbolo G/H ás veces úsase para o conxunto de coclases (esquerdas) { gH : g un elemento de G } (ver embaixo para unha extensión a coclases dereitas e duplas). No entanto, algúns autores (incluíndo Dummit & Foote e Rotman) reservan esta notación especificamente para representar o grupo cociente formado a partir das coclases secundarias no caso de que H sexa un subgrupo normal de G.

Primeiro exemplo

Sexa G o grupo diédrico de orde seis. Os seus elementos pódense representar por { I, a, a², b, ab, a²b }. Neste grupo, a³ = b² = I e ba = a²b. Esta é información abonda para cubrir toda a táboa de Cayley:

∗	I	a	a2	b	ab	a2b
I	I	a	a2	b	ab	a2b
a	a	a2	I	ab	a2b	b
a2	a2	I	a	a2b	b	ab
b	b	a2b	ab	I	a2	a
ab	ab	b	a2b	a	I	a2
a2b	a2b	ab	b	a2	a	I

Sexa T o subgrupo {I, b}. As coclases secundarias (distintas) de T son:

• IT = T = { I, b }.
• aT = { a, ab }.
• a²T = { a², a²b }.

Dado que agora todos os elementos de G apareceron nunha destas coclases, xerar máis non pode dar novas coclases; calquera coclase nova tería que ter un elemento en común cunha destas e, polo tanto, sería idéntica a unha destas coclases. Por exemplo, abT = {ab, a} = aT.

As clases dereitas de T son:

• TI = T = { I, b}.,
• Ta = {a, ba} = {a, a²b} .
• Ta² = { a², ba²} = { a², ab}.

Neste exemplo, menos para T, ningunha coclase esquerda é tamén unha coclase dereita.

Sexa H o subgrupo {I, a, a²}. As coclases esquerdas de H son IH = H e bH = {b, ba, ba²} . As coclases dereitas H son HI = H e Hb = {b, ab, a²b} = {b, ba², ba}. Neste caso, cada coclase esquerda de H tamén é unha coclase dereita de H.

Sexa H un subgrupo do grupo G e supoña que g₁, g₂ ∈ G. As seguintes sentenzas son equivalentes:

• g₁H = g₂H
• Hg₁⁻¹ = Hg₂⁻¹
• g₁H ⊂ g₂H
• g₂ ∈ g₁H
• g₁⁻¹g₂ ∈ H

Propiedades

Todo elemento de G pertence exactamente a unha coclase esquerda do subgrupo H, e H é en si mesmo unha coclase esquerda (e o que contén a identidade).

Dous elementos que están na mesma coclase esquerda tamén proporcionan unha relación de equivalencia natural. Defina dous elementos de G, x e y, para que sexan equivalentes en relación ao subgrupo H se xH = yH (ou de forma equivalente se x⁻¹y pertence a H). As clases de equivalencia desta relación son as coclases esquerdas de H. Como con calquera conxunto de clases de equivalencia, forman unha partición do conxunto subxacente. Un representante de clase é un representante no sentido da clase de equivalencia. Un conxunto de representantes de todos os grupos de clase chámase transversal. Existen outros tipos de relacións de equivalencia nun grupo, como a conxugación, que forman diferentes clases que non teñen as propiedades aquí comentadas.

Declaracións semellantes aplícanse ás coclases dereitas.

Se G é un grupo abeliano, entón g H = H g para todo subgrupo H de G e cada elemento g de G. Para grupos en xeral, dado un elemento g e un subgrupo H dun grupo G, a coclase dereita de H con relación a g é tamén a coclase esquerda do subgrupo conxugado g⁻¹Hg con relación a g, é dicir, Hg = g(g⁻¹Hg).

Subgrupos normais

Un subgrupo N dun grupo G é un subgrupo normal de G se e só se para todos os elementos g de G as coclases dereitas e esquerdas correspondentes son iguais, é dicir, gN = Ng. Este é o caso do subgrupo H no primeiro exemplo anterior. A maiores, as clases de N en G forman un grupo chamado grupo cociente ou grupo de factores G/N.

Se H non é normal en G, entón as súas coclases esquerdas son diferentes das súas coclases dereitas. É dicir, hai un a en G tal que ningún elemento b satisfai aH = Hb. Isto significa que a partición de G nas coclases esquerdas de H é unha partición diferente que a partición de G nas coclases dereitas de H. Isto é ilustrado polo subgrupo T no primeiro exemplo anterior. ( Algunhas clases poden coincidir. Por exemplo, se a está no centro de G, entón aH = Ha).

Por outra banda, se o subgrupo N é normal o conxunto de todas as coclases forman un grupo chamado grupo cociente G/N coa operación ∗ definida por (aN) ∗ (bN) = abN. Dado que toda coclase dereita é unha coclase esquerda, non hai necesidade de distinguir as "coclases esquerdas" das "coclases dereitas".

Índice dun subgrupo

Cada clase esquerda ou dereita de H ten o mesmo número de elementos (ou cardinalidade no caso dun H infinito) que o propio H. A maiores, o número de clases esquerdas é igual ao número de clases dereitas e coñécese como índice de H en G, escrito como [G : H]. O teorema de Lagrange permítenos calcular o índice no caso de que G e H sexan finitos: $$|G|=[G:H]|H|.$$ Esta ecuación tamén vale no caso de que os grupos sexan infinitos, aínda que o significado pode ser menos claro.

Máis exemplos

Números enteiros

Sexa G o grupo aditivo dos enteiros, Z = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, ) e H o subgrupo (3Z, ) = ({..., −6, −3, 0, 3, 6, ...}, ). Daquela as coclases de H en G son os tres conxuntos 3Z, 3Z 1 e 3Z 2, onde 3Z a = {..., −6 a, −3 a, a, 3 a, 6 a, ...}. Estes tres conxuntos particionan o conxunto Z, polo que non hai outras clases dereitas de H. Debido á conmutividade da suma H 1 = 1 H e H 2 = 2 H. É dicir, cada coclase esquerda de H tamén é unha coclase dereita, polo que H é un subgrupo normal. (O mesmo argumento mostra que cada subgrupo dun grupo abeliano é normal).

Vectores

Outro exemplo de coclase provén da teoría dos espazos vectoriais. Os elementos (vectores) dun espazo vectorial forman un grupo abeliano baixo a suma de vectores. Os subespazos do espazo vectorial son subgrupos deste grupo. Para un espazo vectorial V, un subespazo W e un vector fixo a en V, os conxuntos $$\{\mathbf {x} \in V\mid \mathbf {x} =\mathbf {a} \mathbf {w} ,\mathbf {w} \in W\}$$chámanse subespazos afíns e son clases secundarias (tanto á esquerda como á dereita, xa que o grupo é abeliano). En termos de vectores xeométricos tridimensionais, estes subespazos afíns son todas as "liñas" ou "planos" paralelos ao subespazo, que é unha liña ou plano que pasa pola orixe. Por exemplo, considere o plano R². Se m é unha liña que pasa pola orixe O, entón m é un subgrupo do grupo abeliano R². Se P está en R², entón o conxunto P m é unha recta m′ paralela a m e que pasa por P.

Matrices

Sexa G o grupo multiplicativo de matrices, $$G=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}\colon a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\},$$ e o subgrupo H de G, $$H=\left\{{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}.$$ Para un elemento fixo de G considere a coclase esquerda $${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}H=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\d&1\end{bmatrix}}\colon d\in \mathbb {R} \right\}.\end{aligned}}$$É dicir, as coclases esquerdas consisten en todas as matrices de G que teñen a mesma entrada superior esquerda. Este subgrupo H é normal en G, mais o subgrupo $$T=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\0&1\end{bmatrix}}\colon a\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}$$ non é normal en G.

Como órbitas dunha acción de grupo

Un subgrupo H dun grupo G pódese usar para definir unha acción de H sobre G de dúas formas naturais. Unha acción pola dereita, G × H → G dada por (g, h) → gh ou unha acción pola esquerda, H × G → G dada por (h, g) → hg . A órbita de g baixo a acción pola dereita é a coclase esquerda gH, mentres que a órbita baixo a acción pola esquerda é a coclase dereita Hg.

Coclases duplas

Dados dous subgrupos, H e K (que non precisan ser distintos) dun grupo G, as coclases duplas de H e K en G son os conxuntos da forma HgK = { hgk : h un elemento de H, k un elemento de K }. Estas son as coclases esquerdas de K e as dereitas de H cando H = 1 e K = 1 respectivamente.

Dúas cclases duplas HxK e HyK son disxuntas ou idénticas. O conxunto de todas as clases duplas para H e K fixos forman unha partición de G.

Unha coclase dupla HxK contén as coclases dereitas completas de H (en G) da forma Hxk, con k un elemento de K e as coclases esquerdas completas de K (en G) da forma hxK, con h en H.

Véxase tamén

Bibliografía

• Burton, David M. (1988). Abstract Algebra. Wm. C. Brown Publishers. ISBN 0-697-06761-0. 
• Dean, Richard A. (1990). Classical Abstract Algebra. Harper and Row. ISBN 0-06-041601-7. 
• Fraleigh, John B. (1994). A First Course in Abstract Algebra (5th ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-53467-2. 
• Hall, Jr., Marshall (1959). The Theory of Groups. The Macmillan Company. 
• Jacobson, Nathan (2009) [1985]. Basic Algebra I (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1. 
• Joshi, K. D. (1989). "§5.2 Cosets of Subgroups". Foundations of Discrete Mathematics. New Age International. pp. 322 ff. ISBN 81-224-0120-1. 
• Miller, G. A. (2012) [1916]. Theory and Applications of Finite Groups. Applewood Books. ISBN 9781458500700. 
• Rotman, Joseph J. (2006). A First Course in Abstract Algebra with Applications (3rd ed.). Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-186267-8. 
• Scott, W.R. (1987). "§1.7 Cosets and index". Group Theory. Courier Dover Publications. pp. 19 ff. ISBN 0-486-65377-3. 

Outros artigos

• Grupo cociente.
• Subgrupo normal.

Ligazóns externas

• Nicolas Bray. "Coset". MathWorld. 
• Weisstein, Eric W. "Left Coset". MathWorld. 
• Weisstein, Eric W. "Right Coset". MathWorld. 
• Ivanova, O.A. (2001) [1994]. "Coset in a group". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 
• Coset at PlanetMath.
• Illustrated examples
• "Coset". groupprops. The Group Properties Wiki.