Wikipedia

Arquímedes

un dos matemáticos máis grandes da antigüidade e, en xeral, de toda a historia.

Arquímedes (en grego: Ἀρχιμήδης), nado en Siracusa (na Illa de Sicilia) no 287 a.C. e finado no 212 a.C. na mesma localidade, foi un científico, matemático, físico, inventor e astrónomo[1] grego. Considérase que Arquímedes foi un dos matemáticos máis grandes da antigüidade clásica e, en xeral, de toda a historia.[2][3] Creou un método para calcular o número pi (nº π) (razón entre o perímetro dunha circunferencia e o seu diámetro) coa aproximación tan grande canto se queira. Cría que nada do que existe é tan grande que non poida ser medido. Perfeccionou, pois, o sistema grego de numeración, creando unha notación cómoda para os números moi grandes, semellante ao actual sistema exponencial. Pasou a súa vida traballando como protexido para os reis de Sicilia Hierón II e o seu fillo Gelón II (ambos os dous reis eran membros da dinastía deinoménida).

Modelo:BiografíaArquímedes

Editar o valor en Wikidata
Nome orixinal(grc) Ἀρχιμήδης ὁ Συρακόσιος Editar o valor en Wikidata
Biografía
Nacemento(grc) Ἀρχιμήδης Editar o valor en Wikidata
c. 287 a. C. Editar o valor en Wikidata
ancient Syracuse (en) Traducir Editar o valor en Wikidata
Morte212 a. C. Editar o valor en Wikidata (74/75 anos)
ancient Syracuse (en) Traducir Editar o valor en Wikidata
Causa da mortehomicidio Editar o valor en Wikidata
ResidenciaSiracusa Editar o valor en Wikidata
Actividade
Campo de traballoXeometría, matemáticas, mecánica, enxeñaría e astronomía Editar o valor en Wikidata
Ocupaciónmatemático, enxeñeiro militar, filósofo, inventor, físico, astrónomo, enxeñeiro Editar o valor en Wikidata
Período de tempoPeríodo helenístico Editar o valor en Wikidata
Obra
Obras destacables
Familia
PaiFidias Editar o valor en Wikidata
Descrito pola fonteEnciclopedia militar Sytin
Enciclopedia Xudía de Brockhaus e Efron
Pequeno Dicionario Enciclopédico de Brockhaus e Efron Editar o valor en Wikidata
BNE: XX874130

En mecánica atribúenselle algunhas invencións tales como a rosca sen fin, a roda dentada, a roldana móbil e a panca. Entre as frases que se lle atribúen está: “dáme unha panca e un punto de apoio e moverei o mundo”.

En física, no seu Tratado dos corpos flutuantes, estableceu as leis fundamentais da estática e da hidrostática. Un dos principios fundamentais da hidrostática enúnciase así: “todo corpo mergullado total ou parcialmente nun fluído sofre un empuxe vertical, dirixido de baixo para riba, igual ao peso do volume do fluído desaloxado, e aplicado no centro de empuxe." O centro do apuxón é o centro de gravidade do volume que corresponde á porción somerxida do corpo.

As súas últimas pescudas terían o obxectivo de responder a Hierón, rei de Siracusa, se a súa coroa era realmente de ouro puro. Conseguindo resolver tal problema mentres se bañaba, Arquímedes saíu á rúa, nu, gritando Eureka! Eureka! (Encontreino!)

Durante case tres anos, as máquinas de guerra da súa invención que lanzaban dardos de pedra, terían sido as principais responsábeis das derrotas impostas polos gregos ao exército de Marco Claudio Marcelo, xeneral romano que cercaba Siracusa. Dise tamén, segundo a tradición, que Arquímedes conseguiu incendiar os navíos romanos por medio dun xogo de lentes e espellos.[4] Matouno un soldado romano despois da toma de Siracusa durante a segunda guerra púnica.

Traxectoria

editar
 
Estatua de bronce de Arquímedes situada no observatorio Archenhold en Berlín. Foi esculpida por Gerhard Thieme e inaugurada en 1972.

Hai poucos datos fiables sobre a vida de Arquímedes. Con todo, todas as fontes coinciden en que era natural de Siracusa e que morreu durante o desenlace do sitio de Siracusa.

Arquímedes naceu ca. 287 a.C. no porto marítimo de Siracusa (Sicilia, Italia), cidade que naquel tempo era unha colonia da Magna Grecia. Coñecendo a data da súa morte, a aproximada data de nacemento está baseada nunha afirmación do historiador bizantino Xoán Tzetzes, que afirmou [5] que Arquímedes viviu ata a idade de 75 anos.[6] Segundo unha hipótese de lectura baseada nunha pasaxe corrupta de O contador de area —cuxo título en grego é Ψαμμίτης (Psammites)—, Arquímedes menciona o nome de seu pai, Fidias, un astrónomo.[7]

Plutarco escribiu na súa obra Vidas paralelas (Vida de Marcelo, 14, 7) que Arquímedes estaba emparentado co tirano Hierón II de Siracusa.[8] Sábese que un amigo de Arquímedes, Heráclides, escribiu unha biografía sobre el pero este libro non se conserva, perdéndose así os detalles da súa vida.[9] Descoñécese, por exemplo, se algunha vez casou ou se tivo fillos.

Entre os poucos datos certos sobre a súa vida, Diodoro Sículo achéganos un [10] segundo o cal é posible que Arquímedes, durante a súa mocidade, estudase en Alexandría, en Exipto. O feito de que Arquímedes se refira nas súas obras a científicos cuxa actividade se desenvolveu nesa cidade, aboa a hipótese: de feito, Arquímedes refírese a Conon de Samos como o seu amigo en Sobre a esfera e o cilindro, e dous dos seus traballos (O método dos teoremas mecánicos e o Problema do gando) están dedicados a Eratóstenes de Cirene.[Nota 1]

Arquímedes morreu ca. 212 a.C. durante a segunda guerra púnica, cando as forzas romanas ao mando do xeneral Marco Claudio Marcelo capturaron a cidade de Siracusa logo dun asedio de dous anos de duración. Arquímedes distinguiuse especialmente durante o sitio de Siracusa, no que desenvolveu armas para a defensa da cidade. Polibio,[11] Plutarco,[12] e Tito Livio[13] describen, precisamente, o seu labor na defensa da cidade como enxeñeiro, desenvolvendo pezas de artillaría e outros artefactos capaces de manter baixo control ao inimigo. Plutarco, nos seus relatos, chega a dicir que os romanos se poñían tan nerviosos cos inventos de Arquímedes que a aparición de calquera trabe ou polea nas murallas da cidade era suficiente como para provocar o pánico entre os sitiadores.[14]

 
Cicerón e os maxistrados descubrindo a tumba de Arquímedes en Siracusa, de Benjamin West (1797). Colección privada.

Arquímedes foi asasinado ao final do asedio por un soldado romano, contravindo as ordes do xeneral Marcelo de respectar a vida do gran matemático grego.[15][16] Existen diversas versións da morte de Arquímedes: Plutarco, no seu relato, dános ata tres versións diferentes. De acordo co seu relato máis popular, Arquímedes estaba contemplando un diagrama matemático cando a cidade foi tomada. Un soldado romano ordenoulle ir verse co xeneral, pero Arquímedes non lle fixo caso, dicindo que tiña que resolver antes o problema. O soldado, enfurecido ante a resposta, matou a Arquímedes coa súa espada. Con todo, Plutarco tamén brinda outros dous relatos menos coñecidos da morte de Arquímedes, o primeiro dos cales suxire que podería ter sido asasinado mentres intentaba renderse ante un soldado romano, e mentres lle pedía máis tempo para poder resolver un problema no que estaba traballando. De acordo coa terceira historia, Arquímedes portaba instrumentos matemáticos, e foi asasinado porque o soldado pensou que eran obxectos valiosos. Tito Livio, pola súa banda, limítase a dicir que Arquímedes estaba inclinado sobre uns debuxos que trazara no chan cando un soldado que descoñecía quen era, matouno. En calquera caso, segundo todos os relatos, o xeneral Marcelo mostrouse furioso ante a morte de Arquímedes, debido a que o consideraba un valioso activo científico, e ordenara previamente que non fose ferido.[17]

 
Unha esfera ten 2/3 exactos do volume e da superficie do cilindro que a circunscribe. Unha esfera e un cilindro foron colocados encima da tumba de Arquímedes, cumprindo coa súa vontade.

As últimas palabras atribuídas a Arquímedes foron "Non molestes os meus círculos", en referencia aos círculos no debuxo matemático que supostamente estaba estudando cando o interrompeu o soldado romano. A frase é a miúdo citada en latín como "Noli turbare circulos meos", pero non hai evidencia de que Arquímedes pronunciase esas palabras e non aparecen nos relatos de Plutarco.[17]

Cicerón describe a tumba de Arquímedes, que visitaría, e indica que sobre ela se colocou unha esfera inscrita dentro dun cilindro.[18] Arquímedes probara que o volume e a área da esfera son dous terzos dos do cilindro que a inscribe, incluíndo as súas bases, o cal se considerou o máis grande dos seus descubrimentos matemáticos. No ano 75 a.C., 137 anos logo da súa morte, o orador romano Cicerón estaba servindo como cuestor en Sicilia e escoitou historias sobre a tumba de Arquímedes, pero ninguén foi capaz de dicirlle onde se atopaba exactamente. Finalmente, achou a tumba preto da porta de Agrigento en Siracusa, moi descoidada e poboada de arbustos. Cicerón limpou a tumba, e así foi capaz de ver a talla e ler algúns dos versos que se escribiron nela.[19]

Os relatos sobre Arquímedes foron escritos polos historiadores da antiga Roma moito tempo despois da súa morte. O relato de Polibio sobre o asedio a Siracusa na súa obra Historias (libro VIII) foi escrito ao redor de setenta anos despois da morte de Arquímedes, e usouse como fonte de información por Plutarco e Tito Livio. Este relato ofrece pouca información sobre Arquímedes como persoa, e céntrase nas máquinas de guerra que se dicía que construíra para defender a cidade.[20][21]

Descubrimentos e invencións

editar

A coroa dourada

editar
 
É posible que Arquímedes empregara o seu principio de flotabilidade para determinar se a coroa dourada era menos densa que o ouro puro.

Unha das anécdotas máis coñecidas sobre Arquímedes conta como inventou un método para determinar o volume dun obxecto cunha forma irregular. Segundo Vitruvio, Hierón II ordenou a fabricación dunha nova coroa con forma de coroa triunfal, e pediulle a Arquímedes determinar se a coroa estaba feita só de ouro ou se, polo contrario, un ourive deshonesto lle engadira prata na súa realización.[22] Arquímedes tiña que resolver o problema sen danar a coroa, así que non podía fundila e convertela nun corpo regular para calcular a súa masa e o seu volume e, a partir de aí, a súa densidade. Mentres tomaba un baño, notou que o nivel da auga subía na bañeira cando entraba, e así decatouse de que ese efecto podería ser usado para determinar o volume da coroa. Debido a que a auga non pode comprimirse,[23] a coroa, ao ser mergullada, desprazaría unha cantidade de auga igual ao seu propio volume. Ao dividir o peso da corona polo volume de auga desprazada poderíase obter a densidade da coroa. A densidade da coroa sería menor que a densidade do ouro se outros metais menos densos se lle engadisen. Cando Arquímedes, durante o baño, se decatou do descubrimento, dise que que estaba tan emocionado que esqueceu vestirse e saíu correndo nu polas rúas. Segundo o relato, na rúa berraba "Eureka!" (en grego antigo: "εὕρηκα" que significa "Encontreino!").[24]

Porén, a historia da coroa dourada non aparece nos traballos coñecidos de Arquímedes. Ademais, dubidouse que o método que describe a historia fose factible, debido a que tería requirido un nivel de exactitude extremo para medir o volume de auga desprazada.[25]

En lugar diso, Arquímedes podería ter buscado unha solución na que aplicaba o principio da hidrostática coñecido como o principio de Arquímedes, descrito no seu tratado Sobre os corpos frotantes. Este principio propuña que todo corpo mergullado nun líquido experimenta un apuxón de abaixo cara a arriba igual ao peso do líquido desaloxado.[26] Usando este principio, tería sido posible comparar a densidade da coroa dourada coa de ouro puro ao usar unha balanza. Situando nun lado da balanza a coroa obxecto da investigación e no outro unha mostra de ouro puro do mesmo peso, procederíase a mergullar a balanza na auga; se a coroa tivese menos densidade que o ouro, desprazaría máis auga debido ao seu maior volume e experimentaría un maior apuxón que a mostra de ouro. Esta diferenza de flotabilidade inclinaría a balanza como corresponde. Galileo cría que este método era "probablemente o mesmo que usou Arquímedes, debido a que, ademais de ser moi exacto, baséase en demostracións descubertas polo propio Arquímedes".[27] Ao redor do ano 1586, Galileo Galilei inventou unha balanza hidrostática para pesar metais en aire e auga que aparentemente estaría inspirada na obra de Arquímedes.[28]

O Siracusia e o parafuso de Arquímedes

editar
 
O parafuso de Arquímedes pode elevar auga eficientemente.
Artigo principal: Parafuso de Arquímedes.
Véxase tamén: Siracusia.

Unha gran parte do traballo de Arquímedes no campo da enxeñaría xurdiu para satisfacer as necesidades da súa cidade natal, Siracusa. O escritor grego Ateneo de Náucratis conta que Hierón II lle encargou a Arquímedes o deseño dun enorme barco, o Siracusia, que construíu Arquias de Corinto baixo a súa supervisión.[29] O barco podía ser usado para viaxes luxosas, cargar subministracións e como barco de guerra. Finalmente o seu nome foi cambiado polo de Alexandría, cando foi enviado como agasallo, xunto cun cargamento de gran, ao faraón Tolomeo III de Exipto.

Dise que o Siracusia foi o barco máis grande da antigüidade clásica.[30] Segundo Ateneo, era capaz de cargar 600 persoas e incluía entre as súas instalacións xardíns decorativos, un ximnasio e un templo dedicado á deusa Afrodita. Debido a que un barco desta envergadura deixaría pasar grandes cantidades de auga a través do casco, o parafuso de Arquímedes supostamente foi inventado a fin de extraer a auga da sentina. A máquina de Arquímedes era un mecanismo cunha folla con forma de parafuso dentro dun cilindro. Facíase xirar a man, e tamén podía utilizarse para transferir auga desde masas de augas baixas a canles de irrigación. De feito, o parafuso de Arquímedes segue usándose hoxe en día para bombear líquidos e sólidos semifluidos, como carbón, xeo e cereais. O parafuso de Arquímedes, tal como o describiu Marco Vitruvio nos tempos de Roma, pode ser unha mellora do parafuso de bombeo que foi usado para irrigar os xardíns colgantes de Babilonia.[31][32]

A garra de Arquímedes

editar
Artigo principal: Garra de Arquímedes.

Polibio narra que a intervención de Arquímedes no ataque romano a Siracusa foi decisiva, ata o punto de que desbaratou a esperanza romana de tomar a cidade por asalto, tendo que modificar a súa estratexia e pasar ao asedio de longa duración, situación que durou oito meses, ata a caída definitiva da cidade. Entre os enxeños de que se valeu para tal fazaña (catapultas, escorpións e guindastres) atópase un que é da súa invención: a chamada manus ferrea. Os romanos achegaban todo o que podían os barcos ao muro para enganchar as súas escaleiras ás fortificacións e poder acceder coas súas tropas ás ameas. Entón entraba en acción a garra, que consistía nun brazo semellante a un guindastre do cal pendía un enorme gancho de metal. Cando se deixaba caer a garra sobre un barco inimigo o brazo balanceariase en sentido ascendente, levantando a proa do barco fóra da auga e provocando unha enchente de auga pola popa. Isto inutilizaba os enxeños inimigos e causaba confusión, pero non era o único que facía: mediante un sistema de polea e cadeas, deixaba caer subitamente o barco provocando unha escoración que podía levalo ao envorco e ao afundimento.[11][13][33] Houbo experimentos modernos coa finalidade de probar a viabilidade da garra, e nun documental do ano 2005 titulado Superweapons of the Ancient World (Superarmas do mundo antigo) construíuse unha versión da garra e concluíuse que era un dispositivo factible.[34][35]

O raio de calor de Arquímedes, mito ou realidade?

editar
 
Estampa que reproduce o uso de espellos ustorios na defensa da cidade de Siracusa durante o asedio romano.

Segundo a tradición, dentro dos seus traballos na defensa de Siracusa, Arquímedes podería crear un sistema de espellos ustorios que reflectían a luz solar concentrándoa nos barcos inimigos coa finalidade de incendialos. Con todo, as fontes que recollen estes feitos son tardías, sendo a primeira delas Galeno, xa no século II.[36] Luciano de Samosata, historiador tamén do século II, escribiu que, durante o sitio de Siracusa (213-211 a. C.), Arquímedes repeleu un ataque levado a cabo por soldados romanos con lume. Séculos máis tarde, Antemio de Tralles menciona os espellos ustorios como arma utilizada por Arquímedes.[37] O artefacto, que en ocasións é denominado como o "raio de calor de Arquímedes", serviría para enfocar a luz solar nos barcos que se achegaban, facendo que estes ardesen.

A credibilidade desta historia foi obxecto de debate desde o Renacemento. René Descartes rexeitouna como falsa, mentres que investigadores modernos intentaron recrear o efecto considerando para iso tan só as capacidades técnicas das que dispoñía Arquímedes.[38] Suxeriuse que unha gran cantidade de escudos ben puídos de bronce ou cobre poderían ser utilizados como espellos, para así enfocar a luz solar cara a un só barco. Deste xeito púidose utilizar o principio do reflector parabólico, nun xeito similar a un forno solar.

En 1973 o científico grego Ioannis Sakkas levou a cabo unha proba do raio de calor de Arquímedes. O experimento tivo lugar na base naval de Skaramagas, nos arredores de Atenas, e nesta ocasión usáronse 70 espellos, cada un cunha cuberta de cobre e con ao redor de 1,5 m de alto e 1 m de ancho. Os espellos dirixíronse contra unha maqueta de madeira contrachapada dun barco de guerra romano a unha distancia de ao redor de 50 m. Cando os espellos foron enfocados con precisión, o barco ardeu en chamas en cuestión duns poucos segundos. A maqueta estaba pintada cunha capa de betume, o cal podería axudar á combustión.[39]

En outubro de 2005 un grupo de estudantes do Instituto de Tecnoloxía de Massachusetts (MIT) levou a cabo un experimento con 127 espellos cadrados de 30 cm de lado enfocados nunha maqueta de madeira dun barco a unha distancia de 30 m. Brotaron chamas nunha parte do barco, pero unicamente despois de que o ceo se despexase e o barco permanecese inmóbil ao redor de dez minutos. Concluíuse que a arma era un mecanismo viable baixo estas condicións. O grupo do instituto repetiu o experimento para o show televisivo MythBusters (cazadores de mitos), usando un barco de pesca de madeira como branco, en San Francisco. Novamente houbo carbonización, ademais dunha pequena cantidade de chamas. Para que prenda lume na madeira necesita alcanzar o seu punto de inflamabilidade, o cal rolda os 300 °C.[40]

Cando os cazadores de mitos emitiron o experimento levado a cabo en San Francisco en xaneiro de 2006, a afirmación foi categorizada como mentira, debido á duración do tempo e o clima necesarios para a combustión. Tamén sinalaron que, debido a que Siracusa mira o mar cara ao leste, a frota romana debería atacar durante a mañá para unha óptima reflexión da luz polos espellos. Ademais, armas convencionais como frechas en chamas ou catapultas serían unha forma moito máis fácil de prender lume a un barco a curtas distancias.[4]

Outros descubrimentos e invencións

editar

Aínda que Arquímedes non inventou a panca, si escribiu a primeira explicación rigorosa coñecida do principio que entra en xogo ao accionala. Segundo Pappus de Alexandría, debido ao seu traballo sobre pancas comentou: "Denme un punto de apoio e moverei o mundo". ((en grego) δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω)[41] Plutarco describe como Arquímedes deseñou o sistema do poleame, permitindo aos mariñeiros usar o principio da panca para levantar obxectos que, doutro xeito, serían demasiado pesados como para movelos.[42]

Tamén se lle acreditou a Arquímedes aumentar o poder e a precisión da catapulta, así como inventar o hodómetro durante a primeira guerra púnica. O hodómetro foi descrito como un carro cun mecanismo de engrenaxe que tiraba unha bóla nun contedor logo de cada milla percorrida.[43] Ademais, no intento de medir a dimensión aparente do sol, utilizando unha regra graduada, Arquímedes, para tratar de reducir a imprecisión da medida, probou a medir o diámetro da pupila do ollo humano. Utilizando ese dato nos seus cálculos logrou unha estimación mellor do diámetro solar.[44]

Cicerón (106 a. C.–43 a. C.) menciona a Arquímedes brevemente no seu diálogo De re publica, no cal describe unha conversación ficticia no ano 129 a. C.. Dise que, logo da captura de Siracusa c. 212 a. C., o xeneral Marco Claudio Marcelo levou de volta a Roma dous mecanismos que se usaban como ferramentas para estudos astronómicos, que mostraban os movementos do Sol, a Lúa e cinco planetas. Cicerón menciona mecanismos similares deseñados por Tales de Mileto e Eudoxo de Cnido. O diálogo di que Marcelo gardou un dos mecanismos como o seu botín persoal de Siracusa e doou o outro ao Templo da Virtude en Roma. De acordo a Cicerón, Caio Sulpicio Galo fixo unha demostración do mecanismo de Marcelo, e describiuno así:

Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat ut soli luna totidem conversionibus in aere illo quot diebus in ipso caelo succederet, ex quo et in caelo sphaera solis fieret eadem illa defectio, et incideret luna tum in eam metam quae esset umbra terrae, cum sol e regione.
Cando Galo moveu o globo, ocorreu que a Lúa seguiu ao Sol tantas voltas nese invento de bronce como no ceo mesmo, polo que tamén no ceo o globo solar chegou a ter esa mesma distancia, e a Lúa chegou a esa posición na cal estaba a súa sombra sobre a Terra, cando o Sol estaba en liña.[45]

Esta descrición corresponde á dun planetario. Pappus de Alexandría dixo que Arquímedes escribira un manuscrito (agora perdido) acerca da construción destes mecanismos que se titulaba "Sobre facer esferas". Investigacións modernas nesta área enfocáronse no mecanismo de Anticitera, outro mecanismo da antigüidade clásica probablemente deseñado co mesmo propósito. Construír mecanismos deste tipo debería requirir un sofisticado coñecemento de engrenaxes diferenciais e adoitábase pensar que isto ía máis aló do alcance da tecnoloxía dispoñible neses tempos, pero o descubrimento do mecanismo de Anticitera en 1902 veu a confirmar que esta clase de artefactos era coñecida polos antigos gregos.[46][47]

Matemáticas

editar

Aínda que a faceta de inventor de Arquímedes é quizais a máis popular, tamén realizou importantes contribucións ao campo das matemáticas. Sobre o particular, Plutarco dixo del que:

"tiña por innoble e ministerial toda ocupación na mecánica e toda arte aplicado aos nosos usos, e puña unicamente o seu desexo de sobresaír naquelas cousas que levan consigo o belo e excelente, sen mestura de nada servil, diversas e separadas das demais".[48]
 
Arquímedes utilizou o método exhaustivo para conseguir o valor aproximado do número π.

Arquímedes foi capaz de utilizar os infinitesimais de forma similar ao moderno cálculo integral. A través da redución ao absurdo (reductio ad absurdum), era capaz de contestar problemas mediante aproximacións con determinado grao de precisión, especificando os límites entre os cales se atopaba a resposta correcta. Esta técnica recibe o nome de método exhaustivo, e foi o sistema que utilizou para aproximar o valor do número π. Para iso, debuxou un polígono regular inscrito e outro circunscrito a unha mesma circunferencia, de maneira que a lonxitude da circunferencia e a área do círculo quedan acoutadas por eses mesmos valores das lonxitudes e as áreas dos dous polígonos. A medida que se incrementa o número de lados do polígono a diferenza acúrtase, e obtense unha aproximación máis exacta. Partindo de polígonos de 96 lados cada un, Arquímedes calculou que o valor de π debía atoparse entre 310⁄71 (aproximadamente 3,1408) e 31⁄7 (aproximadamente 3,1429), o cal é consistente co valor real de π. Tamén demostrou que a área do círculo era igual a π multiplicado polo cadrado do radio do círculo. Na súa obra Sobre a Esfera e o Cilindro, Arquímedes postula que calquera magnitude, sumada a si mesma suficiente número de veces, pode exceder calquera outra magnitude dada, postulado que é coñecido como a propiedade arquimediana dos números reais.[49]

 
Arquímedes demostrou que a área do segmento parabólico da figura superior é igual a 4/3 da do triángulo inscrito da figura inferior.

Na súa obra sobre a Medición do Círculo, Arquímedes ofrece un intervalo para o valor da raíz cadrada de 3 de entre 265⁄153 (aproximadamente 1,7320261) e 1351⁄780 (aproximadamente 1,7320512). O valor real sitúase aproximadamente en 1,7320508, polo que a estimación de Arquímedes resultou ser moi exacta. Con todo, introduciu este resultado na súa obra sen explicación de cal método utilizara para obtelo.

Na súa obra sobre A cuadratura da Parábola, Arquímedes probou que a área definida por unha parábola e unha liña recta é exactamente a 4⁄3 veces a área do correspondente triángulo inscrito, tal e como se pode observar na figura da dereita. Para obter ese resultado, desenvolveu unha serie xeométrica infinita cunha razón común de 1⁄4:

 

O primeiro termo desta suma equivale á área do triángulo, o segundo sería a suma das áreas dos dous triángulos inscritos nas dúas áreas delimitadas polo triángulo e a parábola, e así sucesivamente. Esta proba utiliza unha variación da serie infinita 1⁄4 1⁄16 1⁄64 1⁄256 ..., cuxa suma se demostra que equivale a 1⁄3.

Noutra das súas obras Arquímedes enfrontouse ao reto de intentar calcular o número de grans de area que podía conter o universo. Para facelo, desafiou a idea de que o número de grans era demasiado grande como para poderen ser contados. Escribiu:

Existen algúns, Rei Gelón, que cren que o número de grans de area é infinito en multitude; e cando me refiro á area refírome non só á que existe en Siracusa e o resto de Sicilia senón tamén a que se pode atopar en calquera rexión, xa sexa habitada ou deshabitada.
Arquímedes

Para poder afrontar o problema, Arquímedes deseñou un sistema de cálculo baseado na miríada. Trátase dunha palabra que procede do grego μυριάς (murias) e que servía para facer referencia ao número 10.000. Propuxo un sistema no que se utilizaba unha potencia dunha miríada de miríadas (100 millóns) e concluía que o número de grans de area necesarios para encher o universo sería de 8x1063.[50]

Astronomía

editar

As súas achegas á ciencia da astronomía son menos coñecidas. Cicero (que foi tesoureiro de Sicilia no ano 75 a.C.) relata na súa obra "De Re Publica", libro I [51] que cando o cónsul romano Marcelus saqueou Siracusa no 212 a.C. levou con el dúas esferas planetarias para Roma (sen coller outra cousa do grande botín capturado). Unha era unha esfera sólida representando as constelacións e planetas, anterior a época de Arquímedes (Cicerón atribúe a súa autoría a Tales de Mileto e a Eudoxo de Cnido) que levou Marcelus ao Templo da Virtude de Roma, a outra esfera (que quedou en propiedade de Marcelo na súa casa, segundo conta Cícero) era en realidade un planetario que Cicerón atribúe a Arquímedes e que mostraba os movementos do Sol e os planetas dende a Terra, un modelo xeocéntrico do universo (daquela o universo limitábase a un sistema solar coa Terra no centro, cos cinco planetas visíbeis a ollo nu, mais o Sol e a Lúa, todos eles xirando ao redor dela). Moitos investigadores relacionan este planetario de Arquímedes co mecanismo de Anticitera. No ano 2015 realizouse unha reconstrución da esfera de Arquímedes por Michael Wright [52], e aínda que moitos autores consideran que a esfera de Arquímedes mostraba o movemento dos planetas e do Sol e da Lúa nunha esfera plana (nun planisferio) ao xeito do mecanismo de Anticitera, Wright cre que en realidade era unha esfera tridimensional mecánica consonte a súa reconstrución e as propias verbas de Cicerón.

O traballo de deseño e construción de modelos mecánicos do movemento dos corpos celestes era chamado na Grecia clásica sphairopoiïa (deseño e construción de esferas celestes), e xunto coa gnomótica (deseño e construción de reloxos solares) e a dióptrica (deseño e construción de instrumentos de observación) formaban a parte enxeñeril da astronomía grega clásica. Segundo o autor clásico Sulpicius Gallus o primeiro grego en representar o ceo nunha esfera foi Tales de Mileto no século VI a.C. Pappus de Alexandría recolle nunha das súas obras que Arquímedes chegou a publicar unha obra sobre sphairopoiïa titulada "Sobre a fabricación de esferas", hoxe desaparecida.

Arquímedes tamén calculou o diámetro aparente do sol usando como datos iniciais os de Aristarco de Samos (que defendía o modelo heliocéntrico), e as súas propias observacións astronómicas, aínda que infraestimou as distancias, concluíndo que o diámetro do sol era 30 veces o diámetro da Terra.[53]

Escritos

editar
 
Archimēdous Panta sōzomena, 1615

As obras de Arquímedes foron orixinalmente escritas en grego dórico, o dialecto falado na antiga Siracusa.[54]

O traballo escrito de Arquímedes non se conservou tan ben como o de Euclides, e sete dos seus tratados só se coñecen a través de referencias feitas por outros autores. Pappus de Alexandría, por exemplo, menciona Sobre facer esferas e outro traballo sobre poliedros, mentres que Teón de Alexandría cita un comentario sobre a refracción dunha obra perdida titulada Catoptrica.[Nota 2] Durante a súa vida, Arquímedes difundiu os resultados do seu traballo a través da correspondencia que mantiña cos matemáticos de Alexandría. Os escritos de Arquímedes foron recolectados polo arquitecto bizantino Isidoro de Mileto (c. 530 d. C.), mentres que os comentarios sobre os traballos de Arquímedes escritos por Eutocio no século VI axudaron a difundir o seu traballo a un público máis amplo. A obra de Arquímedes foi traducida ao árabe por Thabit ibn Qurrá (836–901 d. C.), e o latín por Xerardo de Cremona (c. 1114–1187 d. C.). Durante o Renacemento, en 1544, o Editio Princeps (Primeira edición) foi publicado por Johann Herwagen en Basilea, coa obra de Arquímedes en grego e latín.[55]

Traballos conservados

editar
 
Cóntase que Arquímedes dixo sobre a panca: "Denme un punto de apoio e moverei o mundo".
  • Sobre o equilibrio dos planos (dous volumes)
O primeiro libro consta de quince proposicións con sete axiomas, mentres que o segundo consta de dez proposicións. Nesta obra, Arquímedes explica a lei da panca, afirmando o seguinte:
As magnitudes están en equilibrio a distancias reciprocamente proporcionais aos seus pesos.
Arquímedes usa os principios derivados para calcular as áreas e os centros de gravidade de varias figuras xeométricas, incluíndo triángulos, paralelogramos e parábolas.[56]
  • Sobre a medida dun círculo
Trátase dunha obra curta, consistente en tres proposicións. Está escrito en forma dunha carta a Dositeo de Pelusio, un alumno de Conon de Samos. Na proposición II, Arquímedes mostra que o valor do número π (Pi) é maior que 223/71 e menor que 22/7. Esta cifra foi utilizada como aproximación de π ao longo da Idade Media e aínda hoxe en día se utiliza cando se require dunha cifra aproximada.
  • Sobre as espirais
Esta obra, composta de 28 proposicións, tamén está dirixida a Dositeo. O tratado define o que hoxe se coñece como a espiral de Arquímedes. Esta espiral representa o lugar xeométrico no que se sitúan os puntos correspondentes ás posicións dun punto que é desprazado cara a fóra desde un punto fixo cunha velocidade constante e ao longo dunha liña que rota cunha velocidade angular constante. En coordenadas polares, (r, θ) a elipse pode definirse a través da ecuación
 
sendo a e b números reais. Este é un dos primeiros exemplos nos que un matemático grego define unha curva mecánica (unha curva trazada por un punto en movemento).
  • Sobre a esfera e o cilindro (dous volumes)
Neste tratado, dirixido tamén a Dositeo, Arquímedes chega á conclusión matemática da que estaría máis orgulloso, isto é, a relación entre unha esfera e un cilindro cirscunscrito coa mesma altura e diámetro. O volume é   para a esfera, é   para o cilindro. A área da superficie é   para a esfera, é   para o cilindro (incluíndo as súas dúas bases), onde r é o radio da esfera e do cilindro. A esfera ten unha área e un volume equivalentes aos dous terzos do cilindro. A pedido do propio Arquímedes, colocáronse sobre a súa tumba as esculturas destes dous corpos xeométricos.
  • Sobre os conoides e esferoides
Este é un traballo en 32 proposicións e tamén dirixido a Dositeo no que Arquímedes calcula as áreas e os volumes das seccións de conos, esferas e paraboloides.
  • Sobre os corpos flotantes (dous volumes)
Na primeira parte deste tratado, Arquímedes explica a lei do equilibrio dos líquidos, e proba que a auga adopta unha forma esférica ao redor dun centro de gravidade. Isto pode ser un intento de explicar as teorías de astrónomos gregos contemporáneos, como Eratóstenes, que afirmaban que a terra é esférica. Os líquidos descritos por Arquímedes non son auto-gravitatorios, debido a que el asume a existencia dun punto cara ao cal onde caen todas as cousas, do cal deriva a forma esférica.
Na segunda parte, Arquímedes calcula as posicións de equilibrio das seccións dos paraboloides. Isto foi, probablemente, unha idealización das formas dos cascos dos barcos. Algunhas das súas seccións flotan coa base baixo a auga e a parte superior sobre a auga, dun xeito similar a como flotan os icebergs. Arquímedes define na súa obra o principio de flotabilidade do seguinte xeito:
Todo corpo mergullado nun líquido experimenta un empuxe vertical e cara arriba igual ao peso de líquido desaloxado.
  • A cuadratura da parábola
Neste traballo de 24 proposicións, dirixido a Dositeo, Arquímedes proba a través de dous métodos distintos que a área cercada por unha parábola e unha liña recta é 4/3 multiplicado pola área dun triángulo de igual base e altura. Obtén este resultado calculando o valor dunha serie xeométrica que suma ao infinito co radio 1/4.
  • [O)stomachion
Nesta obra, cuxo tratado máis completo que o describe atopouse dentro do Palimpsesto de Arquímedes, Arquímedes presenta un crebacabezas de disección similar a un Tangram. Arquímedes calcula as áreas de 14 pezas que poden ser ensambladas para formar un cadrado. Unha investigación publicada en 2003 polo doutor Reviel Netz da Universidade Stanford argumentaba que Arquímedes estaba intentando determinar de cantas formas se podían ensamblar as pezas para formar un cadrado. Segundo Netz, as pezas poden formar un cadrado de 17.152 xeitos distintos.[57] O número de disposicións redúcese a 536 cando se exclúen as solucións que son equivalentes por rotación e reflexión.[58] Este puzzle representa un exemplo temperán dun problema de combinatoria. A orixe do nome do crebacabezas é incerto; suxeriuse que pode xurdir da palabra grega para garganta, stómakhos (στόμαχος).[59] Ausonio refírese ao crebacabezas como Ostomachion, unha palabra grega composta polas raíces ὀστέον (osteon, ‘óso’) e μάχη (machē, ‘loita’). O crebacabezas é tamén coñecido como o Loculus de Arquímedes ou como a Caixa de Arquímedes.[60]
  • O problema do gando de Arquímedes
Esta obra foi descuberta por Gotthold Ephraim Lessing nun manuscrito grego consistente nun poema de 44 liñas, na Herzog August Library en Wolfenbüttel, Alemaña, en 1773. Está dirixida a Eratóstenes e aos matemáticos de Alexandría e nela Arquímedes rétaos a contar o número de reses na manda do Sol, resolvendo un número de ecuacións diofánticas simultáneas. Hai unha versión máis difícil do problema na cal se require que algunhas das respostas sexan números cadrados. Esta versión do problema foi resolta por primeira vez por A. Amthor en 1880,[61] e a resposta é un número moi grande, aproximadamente 7,760271×10206544.[62]
  • O contador de area
Neste tratado, Arquímedes conta o número de grans de area que entrarían no universo. Este libro menciona a teoría heliocéntrica do Sistema solar proposta por Aristarco de Samos, e ideas contemporáneas sobre o tamaño da Terra e as distancias de varios corpos celestes. Usando un sistema de números baseado na capacidade da miríade, Arquímedes conclúe que o número de grans de area que se requirirían para encher o universo sería de 8x1063, en notación moderna. A carta introdutoria afirma que o pai de Arquímedes era un astrónomo chamado Fidias. O contador de area ou Psammites é a única obra supervivente de Arquímedes na que se trata a súa visión da astronomía.[63]
  • O método de teoremas mecánicos
Este tratado, que se consideraba perdido, foi reencontrado grazas ao descubrimento do Palimpsesto de Arquímedes en 1906. Nesta obra, Arquímedes emprega o cálculo infinitesimal, e mostra como o método de fraccionar unha figura nun número infinito de partes infinitamente pequenas pode ser usado para calcular a súa área ou volume. Arquímedes puido considerar que este método carecía do suficiente rigor formal, polo que utilizou tamén o método exhaustivo para chegar aos resultados. Do mesmo xeito que O problema do gando, O método de teoremas mecánicos foi escrito en forma dunha carta dirixida a Eratóstenes de Alexandría.

Obras apócrifas

editar

O Libro de Lemmas ou Liber Assumptorum é un tratado de quince proposicións sobre a natureza dos círculos. A copia máis antiga do texto está escrita en árabe. Os estudosos T. L. Heath e Marshall Clagett argumentaron que non puido ser escrito por Arquímedes nesa versión, debido a que el mesmo aparece citado no texto, o cal suxire que foi modificado por outro autor. O Lemmas pode estar baseado nunha obra máis antiga, agora perdida, escrita por Arquímedes.[64]

Tamén se dixo que Arquímedes xa coñecía a fórmula de Herón para calcular a área dun triángulo sabendo a medida dos seus lados.[Nota 3] Con todo, a primeira referencia fiable da fórmula vén dada por Herón de Alexandría no século I d. C.[65]

O Palimpsesto de Arquímedes

editar
Artigo principal: Palimpsesto de Arquímedes.
 
Stomachion é un puzzle de disección no Palimpsesto de Arquímedes.

O Palimpsesto de Arquímedes é unha das principais fontes a partir das cales se coñece a obra de Arquímedes. En 1906, o profesor Johan Ludvig Heiberg visitou Constantinopla e examinou un pergamiño de pel de cabra de 174 páxinas con oracións escritas no século XIII d. C. Descubriu que se trataba dun palimpsesto, un documento con texto que foi sobreescrito encima dunha obra anterior borrada. Os palimpsestos creábanse mediante o rascado da tinta de obras existentes para logo reutilizar o material sobre o que estaban impresas, o cal era unha práctica común na Idade Media debido a que o papel vitela era caro. As obras máis belas que se podían atopar no palimpsesto foron identificadas polos académicos como copias do século X de tratados de Arquímedes que anteriormente eran descoñecidos.[66] O pergamiño pasou centos de anos na biblioteca dun mosteiro de Constantinopla, antes de ser vendido a un coleccionista privado na década de 1920. O 29 de outubro de 1998 foi vendido nunha poxa a un comprador anónimo por dous millóns de dólares en Christie's, Nova York.[67] O palimpsesto contén sete tratados, incluíndo a única copia ata entón coñecida da obra Sobre os corpos flotantes no orixinal en grego. É tamén a única fonte de O método dos teoremas mecánicos, ao que se referiu Suidas e que se creu perdido para sempre. Stomachion tamén foi descuberto no palimpsesto, cunha análise máis completa do puzzle que o que se podía atopar en textos anteriores.

O palimpsesto está gardado no Walters Art Museum en Baltimore, Maryland, onde pasou por diversas probas modernas, incluíndo o uso de luz ultravioleta e de raios X para ler o texto sobrescrito.[68]

Os tratados que contén o Palimpsesto de Arquímedes son: Sobre o equilibrio dos planos, Sobre as espirais, Medida dun círculo, Sobre a esfera e o cilindro, Sobre os corpos flotantes, O método dos teoremas mecánicos e Stomachion.

Recoñecementos

editar
 
A medalla Fields representa un retrato de Arquímedes.

En 1935 decídese no seu honor chamar «Arquímedes» a un cráter lunar (29.7° N, 4.0° W) situado na zona oriental do Mare Imbrium.[69][70] Tamén levan o seu nome a serra lunar «Montes de Arquímedes» (25.3° N, 4.6° W) e o asteroide 3600 Arquímedes (3600 Archimedes).[71]

A Medalla Fields, galardón outorgado aos logros matemáticos máis destacados, leva un retrato de Arquímedes, xunto coa súa proba sobre a relación matemática entre as áreas e volumes da esfera e o cilindro. A inscrición ao redor da cabeza de Arquímedes é unha cita atribuída a el, que di en latín: "Transire suum pectus mundoque potiri" (Superarse un mesmo e dominar o mundo).[72]

Arquímedes apareceu en emisións de selos de Alemaña do Leste (1973), Grecia (1983), Italia (1983 e 2013), Nicaragua (1971), San Marino (1982), España (1963) e Guinea-Bissau (2008).[73]

A exclamación Eureka!, atribuída a Arquímedes, é o lema do estado de California. Neste caso, con todo, a palabra fai referencia ao momento do descubrimento de ouro preto do serradoiro Sutter's Mill en 1848, que desatou a febre do ouro de California.[74]

Notas

editar
  1. ↑ No prefacio de "Sobre as espirais", dirixido a Dositeo de Pelusio, Arquímedes di que "moitos anos pasaron desde a morte de Conon". Conon de Samos viviu ca. 280-220 a.C., o que suxire que Arquímedes pode ser máis vello cando escribiu algúns dos seus traballos.
  2. ↑ Os tratados de Arquímedes que só se coñecen a través de referencias doutros autores son: Sobre facer esferas e unha obra sobre poliedros mencionada por Papus de Alejandría; Catoptrica, unha obra sobre óptica mencionada por Teón de Alexandría; Principios, dirixido a Zeuxippos, que explicaba o sistema numérico usado en O contador de area; Sobre balanzas e pancas; Sobre os centros de gravidade; Sobre o calendario. Das obras de Arquímedes, T. L. Heath dá a seguinte teoría achega da orde en que foron escritas: Sobre o equilibrio dos planos I, A cuadatura da parábola, Sobre o equilibrio dos planos II, Sobre a esfera e o cilindro I, II, Sobre as espirales, Sobre os conoides e esferoides, Sobre os corpos flotantess I, II, Sobre a medida dun círculo, O contador de area.
  3. ↑ Boyer, Carl Benjamin A History of Mathematics (1991) ISBN 0-471-54397-7 "Estudosos árabes infórmannos que a familiar fórmula da área dun triángulo en canto ás medidas dos seus tres lados, usualmente coñecida como a fórmula de Herón — k = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), onde s é o semiperímetro — era coñecida por Arquímedes varios séculos antes de que Herón nacese. Os estudosos árabes tamén atribúen a Arquímedes o 'teorema do acorde roto' … Segundo os árabes, Arquímedes deu varias probas de devandito teorema".
Referencias
  1. ↑ BBC History (ed.). "Archimedes (c.287 - c.212 BC)" (en inglés). Consultado o 28 de outubro do 2017. 
  2. ↑ Calinger, Ronald (1999). Prentice-Hall, ed. A Contextual History of Mathematics. pp. 150. ISBN 0-02-318285-7. Shortly after Euclid, compiler of the definitive textbook, came Archimedes of Syracuse (ca. 287–212 B.C.), the most original and profound mathematician of antiquity. 
  3. ↑ The MacTutor History of Mathematics archive, ed. (xaneiro 1999). "Archimedes of Syracuse" (en inglés). Consultado o 09-06-2008. 
  4. ↑ 4,0 4,1 "Archimedes Death Ray: Testing with MythBusters" (en inglés). MIT. Arquivado dende o orixinal o 20 de xuño de 2013. Consultado o 23 de xaneiro do 2016. 
  5. ↑ Quilíadas, II, Hist. 35, 105.
  6. ↑ T. L. Heath, Works of Archimedes, 1897.
  7. ↑ A hipótese foi proposta por Friederich Blass. Vid. Astronomische Nachrichten 104 (1883), n. 2488, p. 255.
  8. ↑ Plutarco. Proxecto Gutenberg, ed. "Parallel Lives Texto completo en Gutenberg.org". Arquivado dende o orixinal o 11 de xullo de 2007. Consultado o 2007-07-23. 
  9. ↑ O'Connor, J. J. and Robertson, E. F. University of St Andrews, ed. "Archimedes of Syracuse". Consultado o 2-1-2007. 
  10. ↑ Bibioteca Histórica, I, 34; V, 37
  11. ↑ 11,0 11,1 Historias, VIII, 5ss.
  12. ↑ Pluraco, Vidas Paralelas: Marcelo XVII.
  13. ↑ 13,0 13,1 Ab Urbe condita libri, XXIV, 34.
  14. ↑ Goldsworthy, Adrian. "10". En Ed. Ariel. La caída de Cartago (marzo de 2008 ed.). Barcelona. pp. 308–309. ISBN 9788434452435. 
  15. ↑ Plutarco, Vidas Paralelas: Marcelo XIX.
  16. ↑ Tito Livio (Tomo XXV, 31, 9)
  17. ↑ 17,0 17,1 Rorres, Chris. Courant Institute of Mathematical Sciences, ed. "Death of Archimedes: Sources" (en inglés). Consultado o 2-1-2007. 
  18. ↑ Cicerón, Disputaciones tusculanas, V, 64-66.
  19. ↑ Rorres, Chris. Courant Institute of Mathematical Sciences, ed. "Tomb of Archimedes: Sources". Consultado o 2-1-2007. 
  20. ↑ Tito Livio (Tomo XXIV, 34, 2) introduce a Arquímedes como «...un observador sen par do ceo e dos astros, pero máis extraordinario aínda como inventor e construtor de máquinas de guerra...».
  21. ↑ Rorres, Chris. Courant Institute of Mathematical Sciences, ed. "Siege of Syracuse" (en inglés). Consultado o 23-7-2007. 
  22. ↑ Vitruvio, De Architectura, Libro IV, parágrafos 11-12.
  23. ↑ Harvard University (ed.). "Incompressibility of Water". Consultado o 27-2-2008. 
  24. ↑ HyperPhysics. Georgia State University, ed. "Buoyancy". Consultado o 23-7-2007. 
  25. ↑ Rorres, Chris. Drexel University, ed. "The Golden Crown". Consultado o 24-3-2009. 
  26. ↑ Carroll, Bradley W. Weber State University, ed. "Archimedes' Principle". Consultado o 23-7-2007. 
  27. ↑ Rorres, Chris. Drexel University, ed. "The Golden Crown: Galileo's Balance". Consultado o 24-3-2009. 
  28. ↑ Van Helden, Al. Rice University, ed. "The Galileo Project: Hydrostatic Balance". Consultado o 14-9-2007. 
  29. ↑ Deipnosofistas, V, 206d-209b.
  30. ↑ Casson, Lionel (1971). Princeton University Press, ed. Ships and Seamanship in the Ancient World (en inglés). ISBN 0691035369. 
  31. ↑ Dalley, Stephanie. Oleson, John Peter (xaneiro 2003). Technology and Culture, ed. "Sennacherib, Archimedes, and the Water Screw: The Context of Invention in the Ancient World" (PDF) (en inglés). Consultado o 23-7-2007. 
  32. ↑ Rorres, Chris. Courant Institute of Mathematical Sciences, ed. "Archimedes Screw - Optimal Design" (en inglés). Consultado o 23-7-2007. 
  33. ↑ Plutarco, Vidas Paralelas: Marcelo XIV-XVII.
  34. ↑ Rorres, Chris. Courant Institute of Mathematical Sciences, ed. "Archimedes' Claw - Illustrations and Animations - a range of possible designs for the claw" (en inglés). Consultado o 23-7-2007. 
  35. ↑ Carroll, Bradley W. Weber State University, ed. "Archimedes' Claw - watch an animation" (en inglés). Consultado o 12-8-2007. 
  36. ↑ De temperamentis, III, 2: Οὕτω δέ πως οῑμαι καὶ τὸν Ἀρχιμήδην φασὶ διὰ τῶν πυρείων ἐμπρῆσαι τὰς τῶν πολεμίων τριήρεις
  37. ↑ Hippias, C.2.
  38. ↑ John Wesley. Online text at Wesley Center for Applied Theology, ed. "A Compendium of Natural Philosophy (1810) Chapter XII, Burning Glasses" (en inglés). Arquivado dende o orixinal o 12-10-2007. Consultado o 14-9-2007. 
  39. ↑ Time Magazine, ed. (26 de novembro de 1973). "Archimedes' Weapon" (en inglés). Arquivado dende o orixinal o 04 de febreiro de 2011. Consultado o 12-8-2007. 
  40. ↑ Bonsor, Kevin. HowStuffWorks, ed. "How Wildfires Work" (en inglés). Consultado o 23-7-2007. 
  41. ↑ Citado por Pappus de Alexandría en Synagoge, Libro VIII
  42. ↑ Dougherty, F. C.; Macari, J.; Okamoto, C. Society of Women Engineers, ed. "Pulleys" (en inglés). Arquivado dende o orixinal o 18-07-2007. Consultado o 23-7-2007. 
  43. ↑ Technology Museum of Thessaloniki (ed.). "Ancient Greek Scientists: Hero of Alexandria" (en inglés). Arquivado dende o orixinal o 05-09-2007. Consultado o 14-9-2007. 
  44. ↑ Domenico Scinà, Discorso intorno Archimede
  45. ↑ Cicerón, Sobre a república Libro 1 xiv §22.
  46. ↑ Rorres, Chris. Courant Institute of Mathematical Sciences, ed. "Spheres and Planetaria" (en inglés). Consultado o 23-7-2007. 
  47. ↑ BBC News, ed. (novembro 29, 2006). "Ancient Moon 'computer' revisited" (en inglés). Consultado o 23-7-2007. 
  48. ↑ Plutarco, Vidas Paralelas XVII
  49. ↑ R.W. Kaye. web.mat.bham.ac.uk, ed. "Archimedean ordered fields" (en inglés). Arquivado dende o orixinal o 16-03-2009. Consultado o 7-11-2009. 
  50. ↑ Carroll, Bradley W. Weber State University, ed. "The Sand Reckoner" (en inglés). Consultado o 23-7-2007. 
  51. ↑ "De Re Publica". www.thelatinlibbrary.com. Consultado o 29/12/2017. 
  52. ↑ "archimedes legendary sphere brought to life". www.nature.com. Consultado o 29/12/2017. 
  53. ↑ Shapiro, Alan E. (00/1975). "Archimedes's Measurement of the Sun's Apparent Diameter". Journal for the History of Astronomy (vi (1975)): 75–83. doi:10.1177/002182867500600201. 
  54. ↑ Encyclopedia of ancient Greece By Nigel Guy Wilson Page 77 ISBN 0-7945-0225-3 (2006)
  55. ↑ "Editions of Archimedes' Work". Brown University Library. Arquivado dende o orixinal o 08-08-2007. Consultado o 23-7-2007. 
  56. ↑ Heath,T.L. Archive.org, ed. "The Works of Archimedes (1897). The unabridged work in PDF form (19 MB)" (en inglés). Consultado o 06/01/2014. 
  57. ↑ Kolata, Gina (decembro 14, 2003). The New York Times, ed. "In Archimedes' Puzzle, a New Eureka Moment". Consultado o 3/12/2014. 
  58. ↑ Ed Pegg Jr. (novembro 17, 2003). Mathematical Association of America, ed. "The Loculus of Archimedes, Solved". Arquivado dende o orixinal o 02/02/2004. Consultado o 3/12/2014. 
  59. ↑ Rorres, Chris. Courant Institute of Mathematical Sciences, ed. "Archimedes' Stomachion". Consultado o 3/12/2014. 
  60. ↑ Gianni A. Sarcone and Marie J. Waeber (ed.). "Graeco Roman Puzzles". Consultado o 3/12/2014. 
  61. ↑ B. Krumbiegel, A. Amthor, Das Problema Bovinum des Archimedes, Historisch-literarische Abteilung der Zeitschrift Für Mathematik und Physik 25 (1880) 121-136, 153-171.
  62. ↑ Calkins, Keith G. Andrews University, ed. "Archimedes' Problema Bovinum" (en inglés). Consultado o 7/03/2015. 
  63. ↑ Universidade de Waterloo (ed.). "Tradución o inglés de O contador de area (The Sand Reckoner)". Arquivado dende o orixinal o 11/08/2007. Consultado o 14/03/2015. 
  64. ↑ cut-the-knot (ed.). "Archimedes' Book of Lemmas" (en inglés). Arquivado dende o orixinal o 11/07/2007. Consultado o 30/05/20157. 
  65. ↑ Wilson, James W. Universidade de Xeorxia, ed. "Problem Solving with Heron's Formula" (en inglés). Arquivado dende o orixinal o 12/10/2010. Consultado o 30/05/2015. 
  66. ↑ Miller, Mary K. (marzo 2007). "Reading Between the Lines". Smithsonian Magazine. Arquivado dende o orixinal o 19 de xaneiro de 2008. Consultado o 24 de xaneiro de 2008. 
  67. ↑ CNN, ed. (29 de outubro de 1998). "Rare work by Archimedes sells for $2 million". Arquivado dende o orixinal o 16 de maio de 2008. Consultado o 15 de xaneiro de 2008. 
  68. ↑ BBC News, ed. (2 de agosto de 2006). "X-rays reveal Archimedes' secrets". Consultado o 6 de xuño de 2015. 
  69. ↑ Friedlander, Jay and Williams, Dave. NASA, ed. "Oblique view of Archimedes crater on the Moon" (en inglés). Consultado o 16 de xuño do 2015. 
  70. ↑ Ficha del cráter lunar «Archimides», Gazeteer of Planetary Nomenclature Enlace consultado o 16 de xuño do2015.
  71. ↑ NASA (ed.). "Planetary Data System". Arquivado dende o orixinal o 12 de outubro de 2007. Consultado o 13 de setembro de 2007. 
  72. ↑ International Mathematical Union (ed.). "Fields Medal" (en inglés). Arquivado dende o orixinal o 06 de outubro de 2008. Consultado o 16 de xuño do2015. 
  73. ↑ Rorres, Chris. "Stamps of Archimedes" (en inglés). Courant Institute of Mathematical Sciences. Consultado o 2 de maio do 2016. 
  74. ↑ "Eureka! I have found it!" (en inglés). State Symbols USA. Consultado o 2 de maio do 2016. 

Véxase tamén

editar

Bibliografía

editar
en galego
  1. ↑ Galicia Confidencial (ed.). "Traducido por primeira vez ao galego o 'Arenarius' de Arquímedes". Consultado o 4 de xaneiro de 2018. 
  2. ↑ Del Río, M. Duvi, ed. "Números xigantes por primeira vez en galego". Consultado o 4 de xaneiro de 2018. 
en inglés
En castelán
  • Arquímedes. Eutocio (2005). Tratados I. Comentarios. Madrid: Editorial Gredos. ISBN 978-84-249-2757-8. 
  • — (2009). Tratados II. Madrid: Editorial Gredos. ISBN 978-84-249-3596-2. 
  • VV.AA. (1887). Diccionario Enciclopédico Hispano-Americano. Montaner y Simón Editores. 
  • Torrija Herrera, Rosalina (2007). Arquímedes. Alrededor del círculo. Nivola. ISBN 978-84-96566-65-1. 

Ligazóns externas

editar
Traído desde «https://gl.wikipedia.org/w/index.php?title=Arquímedes&oldid=6784489»