\documentclass[11pt,parskip=full]{scrartcl}

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% Information

\title{Frageliste zur Linearen Algebra I}

\subtitle{aus Protokollen entnommen}

\date{09.04.2019}

\author{Paul Hoger}

% Commands

\newcommand{\answer}{\item[\textbf{Antwort}]}

\begin{document}

\maketitle

\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*. Frage}]

% 1. Protokoll

\item Wann ist das folgende lineare Gleichungssystem lösbar?

\begin{equation*}

A*x = b

\end{equation*}

\answer Das LGS ist lösbar, wenn \(Rang(A) = Rang(A|b)\).

\item Was ist der Rang einer Matrix $A$?

\answer Der Rang \(Rang(A)\) einer Matrix \(A \in K^{p \times q}\) wird definiert als der Rang der eindeutig bestimmten Treppenform \(T\) von Gestalt \(T=C \cdot A, \quad C \in \mathrm{GL}_{p}(K)\). \\

Oder: Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen bzw. Spalten.

\item Wie wird ein LGS gelöst?

\answer Wende das Gaußverfahren auf die Matrix an, bis diese Treppenform hat.

\item Können Umformungen auch mittels Matrizenmultiplikation durchgeführt werden?

\answer Ja, für jede Umformung gibt es eine Matrix, die diese Umformung durch Multiplikation erzeugt. Die Matrizen heißen Additionsmatrizen und Vertauschungsmatrizen.

\item Was muss an $Id_{3}$ multipliziert werden, damit die 2. Zeile 2-mal auf die 3. Zeile addiert wird?

\answer Es gilt:

\(\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{pmatrix}\ * \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix}\).

\item Wie ist eine lineare Abbildung zwischen den beiden $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ definiert?

\answer Sei $K$ ein Körper und $V$, $W$ zwei $K$-Vektorräume. Eine ($K$-)lineare Abbildung von $V$ nach $W$ ist eine Abbildung \(\Phi : V \rightarrow W\), für die gilt: \\

\(\begin{aligned} \forall u, v \in V : & \Phi(u v)=\Phi(u) \Phi(v) \\ \forall a \in K, v \in V : & \Phi(a v)=a \Phi(v) \end{aligned}\)

\item Wie bildet man die Abbildungsmatrix von $\Phi$?

\answer Sei \(\Phi : V \rightarrow W\) eine lineare Abbildung, $B$ eine Basis von $V$ und $C$ eine Basis $W$. \\

Bestimme für jeden Basisvektor aus $B \ \Phi(b)$ und stelle den Vektor anschließend als Linearkombination aus $C$ dar. Trage nun die Koeffizienten spaltenweise in eine Matrix ein.

\item Wie wird die Abbildungsmatrix durch einen Basiswechsel verändert?

\answer Man bildet bzgl. einer anderen Basis ab. Daher ändern sich die einzelnen Spalten, da man die neuen Basisvektoren abbildet.

\item Wie berechnet man einen Basiswechsel?

\answer Es seien $V$, $W$ zwei $K$-Vektorräume und $\Phi$ ein Homomorphismus von $V$ nach $W$. Weiter seien $B$, $\tilde{B}$ zwei Basen von $V$ und $C$, $\tilde{C}$ zwei Basen von $W$. Dann gilt:\\

\(D_{\tilde{C}\tilde{B}}(\Phi) = D_{\tilde{C}C}(Id_W) * D_{CB}(\Phi) * D_{B\tilde{B}}(Id_V)\)

\item Sei $B$ ähnlich zu $A$. Es gilt also: \(B = S^{-1} * A * S\) für eine geeignete Matrix $S$. Wie kann man $S$ bestimmen?

\answer Da Eigenwerte eine Ähnlichkeitsinvariante ist, muss gelten \(T^{-1}*A*T = D = U^{-1}*B*U\), wobei $T$, $U$ geeignet gewählt sind und $D$ die Diagonalmatrix ist. \\

Also gilt \(T^{-1}*A*T = U^{-1}*B*U\). Man stellt nach $B$ um und erhält: \((U*T^{-1})*A*(T*U^{-1}) = B\). Nun sei \(S := T*U^{-1}\). Daraus folgt: \\

\(S^{-1} * A * S = B\)

\item Wann ist der Endomorphismus \(\phi\)\ bzw. $A$ diagonalisierbar?

\answer Es gilt:\\

\(\begin{aligned}A \text{ ist diagonalsierbar}

&\iff A \text{ ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix}\\

&\iff \text{alle Eigenwerte sind verschieden}\\

&\iff \forall \lambda \in Spec(A): \mu_{g}(\lambda) = \mu_{a}(\lambda)\\

&\iff \text{Es existiert eine Basis aus Eigenvektoren}\\

&\iff V \text{ ist direkte Summe der Eigenräume}\\

&\iff dim(V) = \sum_{\lambda \in Spec(\Phi)}dim(Eig(\Phi, \lambda))

\end{aligned}\)

\item Nenne eine Matrix, die nicht diagonalisierbar ist.

\answer \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) oder \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\).

% 2. Protokoll

\item Was ist ein homogenes Gleichungssystem?

\answer Ein homogenes LGS hat die Form $A*x=0$.

\item Wie ist der Kern einer Abbildung $\Phi$ definiert?

\answer Sei \(\Phi : V \rightarrow W\). Dann ist der \(Kern(\Phi) = \{v \in V | \Phi(v) = 0\}\).

\item Was ist die Dimensionsformel von $\Phi$?

\answer \(dim(V) = dim(Bild(\Phi)) dim(Kern(\Phi))\)

\item Was ist das Besondere an einem invarianten Untervektorraum?

\answer Falls $U$ ein invarianter Untervektorraum ist, dann gilt \(\Phi(U) \subseteq U\).

\item Wie sind Eigenvektoren definiert?

\answer Ein Vektor \(v \in V\) heißt Eigenvektor, wenn gilt: \\

\(v \neq 0\) und \(\exists k \in K: \Phi(v) = k*v\)

\item Wie berechnet man Eigenwerte?

\answer Man berechnet die Nullstellen des zugehörigen charakteristischen Polynoms.

\item Wie sieht das charakteristische Polynom aus?

\answer Das charakteristische Polynom einer Matrix $A$ ist gegeben durch \(CP_{A}(\lambda) = det(A-\lambda Id)\).

\item Warum sind die Nullstellen des Charakteristischen Polynoms genau die Eigenwerte?

\answer Für jeden Eigenwert $\lambda$ gilt:\\

\(\begin{aligned}

&A*v = \lambda*v \\

\iff &(Av - \lambda*Id*v) = 0 \\

\iff &(A - \lambda*Id)v = 0 \\

\iff &\text{Satz vom Nullprodukt: } (A - \lambda*Id) = 0 \\

\iff &(A - \lambda *Id) \text{ ist nicht invertierbar} \\

\iff &det(A - \lambda*Id) = 0 \\

\iff &\lambda \text{ ist Nullstelle vom charaktersitischen Polynom}

\end{aligned}\)

\item Wie viele Eigenwerte kann es geben?

\answer Für \(A \in K^{n \times n}\) gilt: Es gibt höchstens $n$ Eigenwerte.

\item Wie lautet die Definition einer Diagonalmatrix?

\answer Eine Diagonalmatrix ist eine Matrix folgender Form: \(D=\left( \begin{array}{cccc}{d_{11}} & {0} & {\cdots} & {0} \\ {0} & {d_{22}} & {\ddots} & {\vdots} \\ {\vdots} & {\ddots} & {\ddots} & {0} \\ {0} & {\cdots} & {0} & {d_{n n}}\end{array}\right)\)

\item Wann sind zwei Matrizen ähnlich?

\answer Eine Matrix \(A \in K^{n \times n}\) ist ähnlich zu \(B \in K^{n \times n}\), falls es eine Matrix \(S \in GL_{n}^{K}\) gibt mit \(B = S^{-1} * A * S\).

\item Beweisen Sie, dass die Determinante eine Ähnlichkeitsinvariante ist.

\answer Seien $A$ und $B$ ähnlich Matrizen zueinander. Dann gilt:\\

\(\begin{aligned}

det(B) &= det(S^{-1}*A*S)\\ &= det(S^{-1}) * det(A) * det(S)\\ &= det(S^{-1}) * det(S) * det(A)\\ &= det(S^{-1}*S) * det(A)\\ &= det(Id) * det(A)\\ &= 1 * det(A)\\ &= det(A)

\end{aligned}\)

% 3. Protokoll

\item

Sei \(A =

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7 & 8 & 9

\end{pmatrix}\). Bestimmen Sie den Rang von $A$ und die Dimension vom Kern von $A$. Was lässt sich über die Eigenwerte sagen?

\answer Der Rang der Matrix ist 2. \(dim(Kern(A)) = 1\), da \(dim(Bild(A)) = dim(A) - dim(Bild(A)) = 3 - 2 = 1\). \\

Da $A$ keinen vollen Rang hat, gilt:\\

\(det(A) = 0 \iff det(A-0*Id) = 0 \iff 0 \in Spec(A)\)

\item Beweisen Sie die Dimensionsformel: \(dim(U W) = dim (U) dim (W) - dim(U \cap W)\)

\answer Sei $B_1$ eine Basis von $U \cap W$. Mithilfe der Basisergänzung lässt sich $B_1$ zu einer Basis $B$ von $U$ ergänzen, analog lässt sich $B_1$ zu einer Basis $C$ von $W$ ergänzen.\\

Dann gilt \(B \cap C = B_1\), denn die Elemente von $B \cap C$ liegen ja alle in $U \cap W$, also in dem von $B_1$ erzeugten Vektorraum. Außerdem ist $B \cup C$ linear unabhängig, denn aus \[\sum_{v \in B \cup C} \lambda_v v = 0, \lambda_v \in K\] folgt: \\

\[\sum_{v \in B} \lambda_v v = - \sum_{v \in C \setminus B_1} \lambda_v v\]\\

Die rechte Seite liegt in $W$, die linke Seite in $U$, also sind linke und rechte Seite im Durchschnitt $U \cap W$. Das geht für die rechte Seite nur, wenn alle \(\lambda_v, v \in C \setminus B_1\), verschwinden (also Null sind). Damit sind überhaupt alle $\lambda_v$'s Null, also $B \cup C$ linear unabhängig. Also ist $B \cup C$ eine Basis von $U W$, und es gilt: \\

\(dim(U W) = |B \cup C| = |B| |C| - |B \cap C| = dim(U) dim(W) - dim(U \cap W)\)

\item Was sagt der Basisergänzungssatz aus?

\answer Eine linear unabhängige Teilmenge kann zu einer Basis ergänzt werden.

\item Wie hängt der Kern mit Injektivität zusammen?

\answer Sei \(\Phi : V \rightarrow W\) eine lineare Abbildung. Dann gilt\\

$\Phi$ injektiv \(\iff Kern(\Phi) = \{0\}\).\\

% Beweis:\\

% \(\begin{aligned}

% \Rightarrow: &\text{ Sei } \Phi \text{ injektiv.}\\

% & \Rightarrow \forall v_{1}, v_{2} \in V: \Phi(v_{1}) = \Phi(v_{2}) \Rightarrow v_{1} = v_{2}\\

% & \Rightarrow \Phi(v_{1}) - \Phi(v_{2}) = 0\\

% & \Rightarrow \Phi(v_{1} - v_{2}) = 0\\

% & \Rightarrow (v_{1} - v_{2}) \in Kern(\Phi)\\

% & \Rightarrow \text{da } v_{1} = v_{2}: Kern(\Phi) = \{0\}.

% \end{aligned}\)

%

% \(\begin{aligned}

% \Leftarrow: &\text{ Sei } Kern(\Phi) = \{0\}.\\

% & \Rightarrow \forall v_{1}, v_{2} \in V: \Phi(v_{1}) = \Phi(v_{2}) \Rightarrow v_{1} = v_{2}\\

% & \Rightarrow \Phi(v_{1}) - \Phi(v_{2}) = 0\\

% & \Rightarrow \Phi(v_{1} - v_{2}) = 0\\

% & \Rightarrow (v_{1} - v_{2}) \in Kern(\Phi)\\

% & \Rightarrow \text{da } v_{1} = v_{2}: Kern(\Phi) = \{0\}.

% \end{aligned}\)

\item Zeigen Sie: Kern\((\Phi) = {0} \Rightarrow \Phi\) injektiv

\answer Sei \(Kern(\Phi) = 0\). Dann gilt für alle \(v_{1}, v_{2} \in V\) mit \(\Phi(v_{1}) = \Phi(v_{2})\):\\

\(\Rightarrow \Phi(v_{1}) - \Phi(v_{2}) = 0 \\

\Rightarrow \Phi(v_{1} - v_{2}) = 0 \\

\Rightarrow (v_{1} - v_{2}) \in Kern(\Phi) \\

\Rightarrow \text{da } Kern(\Phi) = \{0\} \Rightarrow (v_{1} - v_{2}) = 0 \\

\Rightarrow v_{1} = v_{2} \Rightarrow \Phi \text{ ist injektiv.}

\)

\item Für was benutzt man Determinanten?

\answer Eigenwerte bestimmen durch das charakteristische Polynom, Matrizen auf Invertierbarkeit prüfen

\item Zählen Sie Ähnlichkeitsinvarianten auf.

\answer Spur, Rang, Determinante, charakteristisches Polynom, Minimalpolynom, Eigenwerte, Jordan-Normalform

% 4. Protokoll

Sei \(A =

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 \\

3 & 4 & 5 \\

5 & 6 & 7

\end{pmatrix}\).

\item Berechnen Sie den Rang von $A$.

\answer Der Rang von $A$ ist $2$.

\item Bestimmen Sie die Dimension vom Kern von $A$.

\answer Der \(Kern(A)\) ist gleich $1$. (-1-Trick oder Dimensionsformel)

\item Geben Sie die allgemeine Formel für die Dimension vom Kern, in der der Rang vorkommt.

\answer Sei \(A \in R^{p \times q}\). Dann gilt:\\

\(dim(Kern(A)) = q - Rang(A)\)

\item Was ist ein Vektorraumhomomorphismus?

\answer Ein Vektorraumhomomorphismus ist eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen.\\

Für \(\Phi: V \rightarrow W\) muss also gelten:\\

\(\begin{aligned} \forall u, v \in V : & \Phi(u v)=\Phi(u) \Phi(v) \\ \forall a \in K, v \in V : & \Phi(a v)=a \Phi(v) \end{aligned}\)

\item Wie lautet die Ungleichung zwischen der algebraischen und geometrischen Vielfachheit?

\answer Für \(\lambda \in \operatorname{Spec}(\Phi)\) gilt \(1 \leq \mu_{g}(\Phi, \lambda) \leq \mu_{a}(\Phi, \lambda)\)

\item Beweisen Sie die Ungleichung der algebraischen und geometrischen Vielfachheit.

\answer Es ist klar, dass \(\mu_{g}(\Phi, \lambda) \geq 1 \Longleftrightarrow \lambda \in \operatorname{Spec}(\Phi) \Longleftrightarrow \mu_{a}(\Phi, \lambda) \geq 1\).\\

Denn die erste Äquivalenz definiert geradezu die Eigenwerte und die zweite Äquivalenz nutzt aus, dass \(CP_\Phi(X)\) genau dann durch $(X-\lambda)$ teilbar ist, wenn \(CP_\Phi(\lambda) = 0\) (siehe Teilbarkeit im Polynomring).\\

Nun sei \(\lambda \in Spec(\Phi)\). Wir wählen eine Basis \(\{b_1,...,b_d\}\) von \(Eig(\Phi, \lambda)\) und ergänzen sie zu einer Basis \(B := \{b_1,...,b_e\}\) von $V$.\\

8.2.4 sagt uns \(D_{BB}(\Phi) = \begin{pmatrix} \lambda * I_d & C \\ 0 & D \end{pmatrix}\), mit \(C \in K^{d \times (e-d)}\) und \(D \in K^{(e-d) \times (e-d)}\). Daraus aber ergibt sich:\\

\(\begin{aligned}CP_\Phi(X) &= det \begin{pmatrix}

(X-\lambda)*I_D & -C \\ 0 && XI_{e-d}-D

\end{pmatrix} \\ &= det((X-\lambda)*I_d)*det(XI_{e-d}-D)\\ &= (X-\lambda)^d*CP_D(X) \end{aligned}\).\\

Nach Konstruktion ist \(d = \mu_{g}(\Phi, \lambda)\), und es folgt: \\

Für \(\lambda \in \operatorname{Spec}(\Phi)\) gilt \(1 \leq \mu_{g}(\Phi, \lambda) \leq \mu_{a}(\Phi, \lambda)\)

% 5. Protokoll

\item Was ist der Rang des Charakteristischen Polynoms?

\answer Das charakteristische Polynom ist ein normiertes Polynom vom Grad $n$.

% 6. Protokoll

\item Was muss gelten, damit man aus Injektivität auch Surjektivität folgern kann?

\answer Sei \(f: A \rightarrow B\). Falls $A$ und $B$ Vektorräume sind, muss gelten: \(dim(A) = dim(B)\). Ansonsten muss \(|A| = |B|\) gelten, wobei $A$, $B$ endlich sind.

% 7. Protokoll

\item Nennen Sie die Dimensionsformel, die Untervektorräume behandelt.

\answer Seien $U$, $W$ Untervektorräume von dem Vektorraum $V$. Dann gilt:\\

\(dim(U W) = dim(U) dim(W) - dim(U \cap W)\)

\item Was sagt der Satz von Cayley-Hamilton?

\answer Sei $\Phi$ ein Endomorphismus von dem Vektorraum $V$. Dann gilt:\\

\(CP_{\Phi}(\Phi) = 0\)

% 8. Protokoll (sehr zu empfehlen)

\item Wie ist das Bild von einem Homomorphismus definiert?

\answer Sei \(\Phi: V \rightarrow W\) ein Homomorphismus. Dann ist \(Bild(\Phi) = \{\Phi(v) | v \in V\}\)

\item Nennen Sie einen endlich-dimensionalen Körper.

\answer \(Z/pZ\) ist ein Körper, wobei $p$ eine Primzahl ist.

% 9. Protokoll

% 10. Protokoll

% 11. Protokoll

\item Was ist ein Vektorraum?

\answer Es sei $K$ ein Körper. Ein Vektorraum über $K$ ist eine kommutative Gruppe \((V, )\) für die zusätzlich die Abbildung der skalaren Multiplikation definiert ist:\\

\(\cdot: K \times V\) mit \((a, v) \mapsto a \cdot v\)\\

Folgende Bedingungen müssen erfüllt sein:\\

\(\forall v \in V: 1_K \cdot v = v\)\\

\(\forall a,b \in K, v \in V: a \cdot (b \cdot v) = (a \cdot b) \cdot v\)\\

\(\begin{aligned} \forall a,b \in K, u,v \in V &\\

a \cdot (u w) &= a \cdot u a \cdot v\\

(a b) \cdot v &= a \cdot v b \cdot v

\end{aligned}\)

\item Beweisen Sie, dass \(0_K * v = 0\)

\answer Sei \(n := 0_K * v\). Dann gilt:\\

\(n = 0_K * v = (0_K 0_K) * v = 0_K * v 0_K * v = n n\)\\

Wenn wir nun auf beiden Seiten das additive Inverse zu $n$ addieren, folgt \(n = 0_V\).

\item Was ist eine Basis?

\answer Sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine Teilmenge \(B \subseteq V\) heißt eine Basis von $V$, falls sich jeder Vektor \(v \in V\) auf genau eine Art als Linearkombination von $B$ schreiben lässt.

\item Was sind Ähnlichkeitsinvarianten?

\answer Eine Ähnlichkeitsinvariante ist eine Größe, die sich beim Übergang von einer Matrix $A$ zu einer ähnlichen Matrix $B$ nicht ändert.

\item Was ist ein Endomorphismus?

\answer Sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Ein Endomorphismus ist eine Abbildung \(\Phi: V \rightarrow V\), für die gilt:\\

\(\begin{aligned} \forall u, v \in V : & \Phi(u v)=\Phi(u) \Phi(v) \\ \forall a \in K, v \in V : & \Phi(a v)=a \Phi(v) \end{aligned}\) \\

% 12. Protokoll

\item Was ist ein Körper?

\answer Ein Körper ist ein kommutativer Ring $K$, indem \(0_K \neq 1_K\) gilt und jedes von Null verschiedene Element invertierbar ist: \(K^{\times} = K \setminus \{0\}\)

\item Warum gibt es Eigenwerte gleich $0$, wenn die Matrix nicht vollen Rang besitzt?

\answer Da die Matrix $A$ keinen vollen Rang hat, gilt: \\

\(det(A) = 0 \iff det(A-0*Id) = 0 \iff 0 \in Spec(A)\) \\

Oder: \(0 \in Spec(A) \Rightarrow Eig(\Phi, 0) \neq \{0\}\). Aber \(Eig(\Phi, 0) = Kern(\Phi)\).\\

$\Rightarrow$ Kern ist nicht trivial $\Rightarrow$ Matrix hat nicht vollen Rang

\item Was ist der Zusammenhang zwischen Eigenwerte und Kern?

\answer Es gilt:\\\(\begin{aligned}

\Phi(v) = \lambda * v & \iff \Phi(v) - \lambda*v = 0\\

& \iff (\Phi - \lambda*Id_V)(v) = 0\\

& \iff v \in Kern(\Phi - \lambda*Id_V)

\end{aligned}\)\\

\(Eig(\Phi, \lambda) := Kern(\Phi - \lambda*Id_V)\)

\item Was ist die Spur?

\answer Für eine Matrix \(A \in K^{d \times d}\) ist die Summe der Diagonalelemente die Spur von $A$.\\

\(Spur(A) := \sum_{i=1}^{d} a_{ii}\)

% 13. Protokoll

\item Nennen Sie ein Beispiel für eine lineare Abbildung.

\answer Matrixmultiplikation \(\Phi_A(x) = A*x\), Identität, Nullabbildung

\item Kann man bei gleicher Spur die Ähnlichkeit zweier Matrizen folgern?

\answer Nein, kann man nicht. Man kann nur aus Ähnlichkeit die gleiche Spur folgern.

\item Nennen Sie zwei Matrizen mit gleicher Spur, die aber nicht ähnlich sind.

\answer Sei \(A:=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) und \(A':=Id_3\). Offensichtlich gilt \(Spur(A) = Spur(A') = 3\), aber $A$ ist nicht zu $A'$ ähnlich.

\item Was ist die algebraische und geometrische Vielfachheit?

\answer Sei $\Phi$ ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen $K$-Vektorraum und \(\lambda \in K\).\\

Dann heißt \(\mu_{g}(\Phi, \lambda) := dim(Eig(\Phi, \lambda))\) die geometrische Vielfachheit.\\

Die Zahl \(\mu_a(\Phi, \lambda) := max\{e \in N_0 | 0 \leq e \leq dim(V) \text{ und } (X-\lambda)^e \text{ teilt } CP_\Phi(X)\}\) heißt algebraische Vielfachheit von $\lambda$ für $\Phi$ (Nullstellenordnung).

\item Bleibt die Diagonalisierbarkeit durch Spiegelung erhalten?

\answer Ja, da bei einer Spiegelung lediglich die Spalten getauscht werden.

% 14.. Protokoll

\item Was heißt Lineare Abhängigkeit?

\answer Es gibt eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors und innerhalb der Menge lässt sich ein Vektor als Linearkombination der anderen darstellen.

\item Wie viele Nullstellen kann ein Polynom maximal haben?

\answer Ein Polynom des Grads $n$ kann maximal $n$ Nullstellen haben.

% 15. Protokoll

\item Was ist der Kern einer Abbildung?

\answer Für eine lineare Abbildung \(\Phi : V \rightarrow W\) ist der Kern definiert als \(Kern(\Phi) := \{v \in V | \Phi(v) = 0\} = \Phi^{-1}(\{0\})\).

\item Was ist die Dimension eines Vektorraums?

\answer Sei $V$ ein $K$-Vektorraum, der ein endliches Erzeugendensystem enthält. Dann wird die Mächtigkeit einer Basis $B$ von $V$ die Dimension von $V$ genannt.

\item Was bedeutet Injektivität?

\answer Eine Abbildung \(f: A \rightarrow B\) ist injektiv, wenn gilt: \\

\(\forall x, y \in A: f(x) = f(y) \Rightarrow x = y\)

\item Warum kann der Kern einer injektiven Abbildung nur den Nullvektor enthalten?

\answer Es gilt \(\Phi(0) = 0 \in Kern(\Phi)\). Sobald ein anderer Vektor auf die Null abgebildet wird, ist die Abbildung nicht mehr injektiv.

\item Welche Eigenschaft haben zwei Matrizen, die bei der Verwendung unterschiedlicher Basen den selben Endomorphismus beschreiben?

\answer Sie sind ähnlich zueinander.

\item Beweisen Sie, dass die Spur eine Ähnlichkeitsinvariante ist.

\answer Es gilt \(A' = S^{-1}*A*S\). Weiter gilt \(Spur(A*B) = Spur(B*A)\). Daraus folgt: \\

\(Spur(A') = Spur(S^{-1} * A * S) = Spur(A*S*S^{-1}) = Spur(A*Id) = Spur(A)\)

% 16. Protokoll

% 17. Protokoll

\item Was ist ein LGS?

\answer Ein lineares Gleichungssystem ist eine Menge von linearen Gleichungen der Form \(a_{1}*x_{1} ... a_{n}*x_{n} = b_{1}\).

% 18. Protokoll

\item Ist $Z/6Z$ ein Körper?

\answer Nein, nur für Primzahlen bilde die Menge einen Körper. Es gilt nämlich \(3*2=0\). $3$ ist also Nullteiler und zu Nullteilern gibt es kein Inverses.

% 19. Protokoll

\item Wie sieht $f^2$ aus, wenn $f: V \rightarrow W$ und $Bild(f) \subseteq Kern(f)$?

\answer $f^2$ muss die Nullabbildung sein.

\item Welche Matrizen sind nicht invertierbar?

\answer Die Matrix \(A \in K^{n \times n}\) ist nicht invertierbar, falls \(det(A) = 0\) oder \(\nexists B \in K^{n \times n}: A*B = B*A = Id_{n}\)

% 20. Protokoll

\item Was sagt der Zeilen- bzw. der Spaltenrang aus?

\answer Das gibt den Rang der Matrix an und ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen bzw. Spalten. Weiter ist es die Dimension vom Bild der Matrix.

\item Was ist der Betrag einer komplexen Zahlen?

\answer Sei \(z \in C\) mit \(z = a b*i\). Dann ist \(|z|= \sqrt{a^2 b^2}\).

\item Was ist die Basiswechselmatrix?

\answer Eine Matrix, die durch Multiplikation einen Basiswechsel hervorruft.

% 21. Protokoll

\item Wann ist ein LGS eindeutig lösbar?

\answer Ein LGS \(A*x=b\) ist eindeutig lösbar, wenn \(Rang(A)=Rang(A|b)\) und $A$ vollen Rang hat.

\item Wie kann man eine Matrix als Homomorphismus darstellen?

\answer Jede Matrix stellt eine lineare Abbildung dar (siehe Abbildungsmatrix).

\item Sei \(A =

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 8 & 12 \\

2 & 4 & 6

\end{pmatrix}\). Bestimmen Sie den Rang von $A$.

\answer Der Rang von $A$ ist $1$.

\item Wieso hat eine \(n \times n\)-Matrix höchstens $n$ Eigenwerte?

\answer Angenommen eine \(n \times n\) Matrix $A$ hätte mehr als $n$ Eigenwerte. Weiter sei \(T := diag(\lambda_1, ..., \lambda_{n 1})\). Weiter müsste gelten \(T = S^{-1}AS\). Da aber \(A \in K^{n \times n}\) ist, würde die Matrixmultiplikation nicht mehr funktionieren.

% 22. Protokoll

\item Sei \(A =

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7 & 8 & 9

\end{pmatrix}\). Bestimmen Sie den Rang von $A$ und die Determinante.

\answer Der Rang der Matrix ist $2$. $\Rightarrow$ \(det(A) = 0\)

\item Beweisen Sie die Dimensionsformel: \(dim(V) = dim(Bild(\Phi)) dim(Kern(\Phi))\)

\answer

\item Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen.

\answer Eine lineare Abbildung kann mittels Abbildungsmatrix beschrieben werden.

% 23. Protokoll

\item Was ist das Besondere an Matrizen, die die selbe Abbildung bezüglich unterschiedlicher Basen beschreiben?

\answer Die Matrizen sind ähnlich zueinander.

\item Was ist das Besondere an den Vektoren der Basiswechselmatrix, wenn man die Matrix diagonalisiert?

\answer Die Spalten sind die Eigenvektoren.

% 24. Protokoll

\item Wann hat das CP \(X^2 1\) Nullstellen?

\answer Falls \(K = C\). Die zugehörigen Nullstellen wären $\pm i$.

% 25. Protokoll

% 26. Protokoll

% 27. Protokoll (empfehlenswert)

% 28. Protokoll

% 29. Protokoll

% Sonstiges

\item Wann ist eine Matrix \(A \in K^{n \times n}\) invertierbar?

\answer Es gilt:\\

\(\begin{aligned}A \text{ ist invertierbar}

&\iff \exists S \in K^{n \times n}: AS = Id_n\\

&\iff Rang(A) = n \text{ bzw. } dim(Bild(\Phi)) = dim(V)\\

&\iff \text{Kern ist trivial}\\

&\iff 0 \text{ ist kein Eigenwert}\\

&\iff det(A) \neq 0\\

& \iff \Phi \text{ ist bijektiv}

\end{aligned}\)

\end{enumerate}

\end{document}