Théorème de Buchdahl

Le théorème de Buchdahl (en anglais : Buchdahl theorem) est le théorème qui énonce qu'en relativité générale, la compacité maximale $C$ d'un objet de fluide parfait, à symétrie sphérique et statique est : $C={\frac {GM}{Rc^{2}}}={\frac {4}{9}}$ , où $M$ et $R$ sont respectivement la masse et le rayon de l'objet et où $G$ et $c$ sont respectivement la constante gravitationnelle et la vitesse de la lumière dans le vide^[1]. Le rayon $R={\frac {9GM}{4c^{2}}}$ est dit rayon de Buchdahl^{col. 1p._ex._I-2">[2]}. Ce théorème montre qu'en relativité générale, une boule de rayon fixé ne peut contenir qu'une masse limitée^{sec. 5,_§ 5.3-3">[3]}^,^{col. 1sec. 7-4">[4]}. Un énoncé alternatif de ce théorème est que le décalage gravitationnel vers le rouge depuis la surface d'une étoile statique ne peut être supérieur à 2^{col. 1sec. 7-4">[4]}^,^{col. 1-2I-5">[5]}^,^{III,_chap. 18,_sec. 18.1,_introduction-6">[6]}. Un corollaire de ce théorème est qu'en relativité générale, il existe un écart (gap) de compacité entre une étoile de fluide parfait et un trou noir dont la compacité est $C={\frac {1}{2}}$ ^[1].

Historique

En 1916, Karl Schwarzschild (1873-1919) publie successivement^[7]^,^[8] deux métriques, solutions exactes de l'équation tensorielle fondamentale de la relativité générale d'Albert Einstein^[9]. Ensemble, elles permettent de modéliser le champ gravitationnel à l'extérieur, à la surface et à l'intérieur d'une étoile telle que le Soleil. L'étoile est modélisée comme une boule de fluide parfait à densité constante, c'est-à-dire incompressible. La métrique externe s'applique à l'extérieur de l'étoile^[9] ; la métrique interne, à l'intérieur de celle-ci^[9]. Les deux métrique sont raccordables à la surface de l'étoile. Schwarzschild met en évidence que le rayon de l'étoile doit être supérieur à $9 ⁄ 8$ fois son rayon de Schwarzschild^[10].

L'éponyme du théorème de Buchdahl^{chap. 12,_§ 12.4-11">[11]}^,^{col. 2''s.v.''_Buchdahl_(théorème_de)-12">[12]} est Hans A. Buchdahl (en) (1919-2010) qui a mis l'inégalité en évidence en 1959^{col. 2''s.v.''_Buchdahl_(théorème_de)-12">[12]}^,^[13].

Désignations alternatives

Le théorème de Buchdahl est aussi désigné comme l'inégalité de Buchdahl (en anglais : Buchdahl inequality^[14]) et comme la limite de Buchdahl (Buchdahl limit^[15]).

Expressions

L'inégalité s'écrit :

{\frac {2GM}{c^{2}R}}<{\frac {8}{9}}

ou

{\frac {GM}{c^{2}R}}<{\frac {4}{9}}

,

avec :

$M$ , la masse de l'objet ;
$R$ , le rayon de l'objet ;
$G$ , la constante gravitationnelle ;
$c$ , la vitesse de la lumière dans le vide.

En unités géométriques, c'est-à-dire avec :

c=G=1

,

l'inégalité s'écrit :

{\frac {2M}{R}}<{\frac {8}{9}}

,

ou

{\frac {M}{R}}<{\frac {4}{9}}

.

Un objet qui ne vérifie pas la relation s'effondre gravitationnellement.

Hypothèses

Le théorème est basé sur les hypothèses suivantes : l'étoile est statique^{§ 16.3.8-16">[16]} et à symétrique sphérique^{§ 16.3.8-16">[16]} ; son intérieur est décrit par un fluide parfait^{§ 16.3.8-16">[16]} de densité d'énergie $\epsilon$ positive^{§ 16.3.8-16">[16]} et de pression $p$ positive^{§ 16.3.8-16">[16]}, et dont la densité d'énergie est une fonction monotone décroissante de la coordonnée radiale $r$ ^{§ 16.3.8-16">[16]} :

\epsilon \geq 0,\qquad p\geq 0,\qquad {\frac {\mathrm {d} \epsilon }{\mathrm {d} r}}\leq 0

^{§ 16.3.8-17">[17]}.

Extensions

Le théorème a été étendu afin d'inclure à la fois une charge et une constante cosmologique^{sec. 1-18">[18]}. Il a été étendu à des espaces-temps de plus de quatre dimensions^{sec. 1-18">[18]} incluant une constante cosmologique non nulle^{sec. 1-18">[18]}. Il a été généralisé en gravitation en $f(R)$ ^{sec. 1-18">[18]}.

Notes et références

↑ ^{a et b} Alho et al. 2022, résumé.
col. 1p._ex._I_2-0">↑ André et Lemos 2021, p. ex. I, p. 2, col. 1.
sec. 5,_§ 5.3_3-0">↑ Beig et Schmidt 2000, sec. 5, § 5.3, p. 369.
↑ ^col. 1sec. 7_4-0">a et col. 1sec. 7_4-1">b Bičák 2006, sec. 7, p. 172, col. 1.
col. 1-2I_5-0">↑ Lindblom 1984, I, p. 364, col. 1-2.
III,_chap. 18,_sec. 18.1,_introduction_6-0">↑ Steane 2021, partie III, chap. 18, sec. 18.1, introduction, p. 252.
↑ Schwarzschild 1916a.
↑ Schwarzschild 1916b.
↑ ^{a b et c} Ayres 2016, p. 77.
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chap. 12,_§ 12.4_11-0">↑ Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009, chap. 12, § 12.4, p. 292-293.
↑ ^col. 2''s.v.''_Buchdahl_(théorème_de)_12-0">a et col. 2''s.v.''_Buchdahl_(théorème_de)_12-1">b Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. Buchdahl (théorème de), p. 93, col. 2.
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↑ (en) Thomas W. Baumgarte et Stuart L. Shapiro, Numerical Relativity : Solving Einstein's Equations on the Computer, Cambridge et New York, Cambridge University Press, août 2010, XVIII-698 p. (ISBN 978-0-521-51407-1, OCLC 496954929, lire en ligne), p. 16, n. 22 (lire en ligne [html])
↑ ^§ 16.3.8_16-0">a § 16.3.8_16-1">b § 16.3.8_16-2">c § 16.3.8_16-3">d § 16.3.8_16-4">e et § 16.3.8_16-5">f Ferrari, Gualtieri et Pani 2020, § 16.3.8, p. 365.
§ 16.3.8_17-0">↑ Ferrari, Gualtieri et Pani 2020, § 16.3.8, p. 365 (16.231).
↑ ^{sec. 1_18-0">a sec. 1_18-1">b sec. 1_18-2">c et sec. 1_18-3">d} Wright 2016, sec. 1, p. 2.

Voir aussi

Bibliographie

: document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

Publications originales

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[Schwarzschild 1916b] (de) Karl Schwarzschild, « Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie » [« Sur le champ gravitationnel d'une sphère de fluide incompressible selon la théorie d'Einstein »], Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften,‎ mars 1916, p. 424-434 (OCLC 1181956496, Bibcode 1916skpa.conf..424S, lire sur Wikisource, lire en ligne).
[Buchdahl 1959] (en) Hans A. Buchdahl, « General relativistic fluid spheres », Phys. Rev., 2^e série, vol. 116, n^o 4,‎ 15 nov. 1959, p. 1027-1034 (OCLC 4644587153, DOI 10.1103/PhysRev.116.1027, Bibcode 1959PhRv..116.1027B, résumé).

Études

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Cours d'enseignement supérieur

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Dictionnaires et encyclopédies

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Articles connexes

Compacité (astronomie)

[AlhoNatárioPaniRaposo2022résumé-1] {a et b} Alho et al. 2022, résumé.

[AndréLemos20212,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span><abbr_class="abbr_nowrap"_title="par_exemple"_>p._ex.</abbr>_<abbr_class="abbr_"_title="1"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">I</span></abbr>-2] . 1p._ex._I_2-0">↑ André et Lemos 2021, p. ex. I, p. 2, col. 1.

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§ 16.3.8-16">[16]

§ 16.3.8-17">[17]

sec. 1-18">[18]