Symbole delta de Kronecker

En mathématiques, le symbole delta de Kronecker^{chap. 2,_sect._2,_§ 2.1-1">[1]}^,^{fig._12.17chap. 12,_§ 12.8-2">[2]}, également appelé symbole de Kronecker^[3]^,^[4]^,^[5]^,^[6] ou delta de Kronecker^{chap. 1^er,_sect._1.7,_§ 1.7.3-7">[7]}^,^[8]^,^[6]^,^{col. 2''s.v.''Kronecker_(delta_de)-9">[9]}, est une fonction de deux variables qui est égale à 1 si celles-ci sont égales, et 0 sinon. Il est symbolisé par la lettre δ (delta minuscule) de l'alphabet grec.

\delta _{ij}=\delta _{i}^{j}=\delta ^{ij}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}i=j\\0&{\mbox{si }}i\neq j\end{cases}}

ou, en notation tensorielle :

\delta _{i}^{j}=\delta _{i}\cdot \delta ^{j}

où $δ i$ et $δ j$ sont des vecteurs unitaires tels que seule la $i$ -ème (respectivement la $j$ -ème) coordonnée soit non nulle (et vaille donc 1).

Lorsque l’une des variables est égale à 0, on l’omet généralement, d’où :

\delta _{i}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}i=0\\0&{\mbox{si }}i\neq 0\end{cases}}

Histoire

L'éponyme du symbole de Kronecker^{5^e part.,_chap. 17-10">[10]}^,^{chap. 1^er,_sect._1.7,_§ 1.7.3-11">[11]}^,^{col. 1''s.v.''delta_[δ],_3-12">[12]} est le mathématicien Leopold Kronecker (1823-1891) qui l'a introduit en 1866^{n. 111^re part.,_chap. 2,_sect._10,_§ 10.2-13">[13]}^,^{n. 11-14">[14]}^,^{col. 1-15">[15]}.

Exemples

Le delta de Kronecker est utilisé dans de nombreux domaines mathématiques. Par exemple :

en algèbre linéaire, la matrice identité d'ordre 3 peut s'écrire : $(\delta _{ij})_{(i,j)\in \{1,2,3\}^{2}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ ;
lors de sommations, le delta de Kronecker entraîne des simplifications : $\sum _{k=1}^{n}a_{k}\delta _{k,i}=\left\{{\begin{array}{cl}a_{i}&{\textrm {si}}\quad 1\leq i\leq n\\0&{\textrm {sinon.}}\quad \end{array}}\right.$

Notes et références

chap. 2,_sect._2,_§ 2.1_1-0">↑ Crépieux 2019, chap. 2, sect. 2, § 2.1, p. 34.
fig._12.17chap. 12,_§ 12.8_2-0">↑ Penrose 2007, chap. 12, § 12.8, p. 234, fig. 12.17.
↑ Barrau et Grain 2016, p. 53 et 108.
↑ Gourgoulhon 2010, p. 10 et 22.
↑ Heyvaerts 2012, p. 132 et 140.
↑ ^{a et b} Semay et Silvestre-Brac 2016, p. 137.
chap. 1^er,_sect._1.7,_§ 1.7.3_7-0">↑ Frey 2006, chap. 1^er, sect. 1.7, § 1.7.3, p. 8.
↑ Penrose 2007, p. 251.
col. 2''s.v.''Kronecker_(delta_de)_9-0">↑ Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.Kronecker (delta de), p. 414, col. 2.
5^e part.,_chap. 17_10-0">↑ Diu 2010, 5^e part., chap. 17, p. 229.
chap. 1^er,_sect._1.7,_§ 1.7.3_11-0">↑ Frey 2006, chap. 1^er, sect. 1.7, § 1.7.3, p. 7-8.
col. 1''s.v.''delta_[δ],_3_12-0">↑ Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.delta [δ], 3, p. 193, col. 1.
n. 111^re part.,_chap. 2,_sect._10,_§ 10.2_13-0">↑ Cooke 2017, 1^re part., chap. 2, sect. 10, § 10.2, p. 108, n. 11.
n. 11_14-0">↑ Hawkins 1977, p. 136, n. 11.
col. 1_15-0">↑ Kuptsov 1990, p. 309, col. 1.

Voir aussi

Bibliographie

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Ouvrages de vulgarisation

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Manuels et notes de cours

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[Semay et Silvestre-Brac 2016] C. Semay et B. Silvestre-Brac, Relativité restreinte : bases et applications (cours et exercices corrigés), Malakoff, Dunod, coll. « Sciences Sup. », mars 2016, 3^e éd. (1^re éd. oct. 2005), 1 vol., X-309, ill., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-074703-0, EAN 9782100747030, OCLC 945975983, BNF 45019762, SUDOC 192365681, présentation en ligne, lire en ligne)C.&rft.au=Silvestre-Brac, B.&rft.date=2016-03&rft.tpages=1 vol., X-309&rft_id=info:oclcnum/945975983&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Symbole delta de Kronecker">.

Article original

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Articles connexes

Portail des mathématiques

[Crépieux201934<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;2</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_2</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;2.1</span>-1] . 2,_sect._2,_§ 2.1_1-0">↑ Crépieux 2019, chap. 2, sect. 2, § 2.1, p. 34.

[Penrose2007234,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="figure"_>fig.</abbr>_12.17</span><span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;12</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;12.8</span>-2] ._12.17chap. 12,_§ 12.8_2-0">↑ Penrose 2007, chap. 12, § 12.8, p. 234, fig. 12.17.

[BarrauGrain201653_et_108-3] Barrau et Grain 2016, p. 53 et 108.

[Gourgoulhon201010_et_22-4] Gourgoulhon 2010, p. 10 et 22.

[Heyvaerts2012132_et_140-5] Heyvaerts 2012, p. 132 et 140.

[SemaySilvestre-Brac2016137-6] {a et b} Semay et Silvestre-Brac 2016, p. 137.

[Frey_2006Frey_20068<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr"_title="Premier">1<sup>er</sup></abbr></span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_1.7</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;1.7.3</span>-7] . 1^er,_sect._1.7,_§ 1.7.3_7-0">↑ Frey 2006, chap. 1^er, sect. 1.7, § 1.7.3, p. 8.

[Penrose2007251-8] Penrose 2007, p. 251.

[TailletVillainFebvre2018414,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''Kronecker_(delta_de)-9] . 2''s.v.''Kronecker_(delta_de)_9-0">↑ Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.Kronecker (delta de), p. 414, col. 2.

[Diu2010229<abbr_class="abbr"_title="Cinquième">5<sup>e</sup></abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="partie(s)"_>part.</abbr>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;17</span>-10] 5^e part.,_chap. 17_10-0">↑ Diu 2010, 5^e part., chap. 17, p. 229.

[Frey_2006Frey_20067-8<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr"_title="Premier">1<sup>er</sup></abbr></span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_1.7</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;1.7.3</span>-11] . 1^er,_sect._1.7,_§ 1.7.3_11-0">↑ Frey 2006, chap. 1^er, sect. 1.7, § 1.7.3, p. 7-8.

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