Puissance extérieure

La puissance extérieure p-ième d'un module E (sur un anneau commutatif) est une construction en algèbre extérieure qui est une solution au problème suivant : existe-t-il un module M, le « plus petit » possible et une application canonique φ : E^p → M telle que pour toute application multilinéaire alternée f définie sur E^p à valeur dans un module F quelconque, il existe une unique application g linéaire définie sur M à valeurs dans F telle que $f=g\circ \varphi$ ?

Construction du produit extérieur

On considère le produit tensoriel :

${\begin{matrix}N=\bigotimes ^{p}E&=&\underbrace {E\otimes _{A}\cdots \otimes _{A}E} \\&&p\end{matrix}}$

On sait que toute application multilinéaire $f:E^{p}\to F$ est en correspondance avec une application linéaire $h:N\to F$ telle que :

$\forall (x_{1},\dots ,x_{p})\in E^{p},f(x_{1},\dots ,x_{p})=h(x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{p})$

Comme f est alternée, l'application h s'annule en tous les tenseurs décomposables $x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{p}$ tels qu'il existe $i,j$ deux indices différents vérifiant $x_{i}=x_{j}$. Considérons le sous-module C de N engendré par les tenseurs de cette forme. Comme C est incluse dans le noyau de h, il existe une unique application multilinéaire g du module quotient N/C telle que :

$\forall (x_{1},\dots ,x_{p})\in E^{p},g({\overline {x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{p}}})=h(x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{p})=f(x_{1},\dots ,x_{p})$

On appelle donc puissance extérieure le quotient N/C et on le note $\bigwedge ^{p}E$. Si $(x_{1},\dots ,x_{p})\in E^{p}$, la classe de l'élément $x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{p}$ se note $x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{p}$ (au lieu de ${\overline {x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{p}}}$ comme écrit précédemment).

Rang, dimension d'un produit extérieur

Lorsque E est un module libre de type fini sur un anneau commutatif A, il possède une base finie $(e_{1},\dots e_{n})$ et la famille suivante :

$F=\left(e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{p}}\right)_{1\leq i_{1}<\cdots <i_{p}\leq n}$

est une base du produit extérieur $\bigwedge ^{p}E$.

En particulier, on déduit le résultat suivant : deux bases finies $(e_{i})$ et $(f_{j})$ d'un module sur un anneau commutatif ont même longueur. En effet, soit n la longueur de l'une, et m la longueur de l'autre. Supposons n < m. Le produit extérieur $\bigwedge ^{m}E$ est le module nul, car en utilisant la propriété précédente, on déduit que la famille vide est une base de $\bigwedge ^{m}E$, par ailleurs, la famille réduite à un élément $\left(f_{1}\wedge \cdots \wedge f_{m}\right)$ est également une base. D'où la contradiction, donc $n\geq m$, par symétrie on déduit $m\geq n$, d'où n = m.