Module simple
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Un module M sur un anneau A est dit simple ou irréductible si M n'est pas le module nul et il n'existe pas de sous-modules de M en dehors de {0} et M[1].
Exemples
[modifier | modifier le code]- Les ℤ-modules simples sont les groupes abéliens simples, c'est-à-dire les groupes cycliques d'ordre premier.
- Les espaces vectoriels simples (sur un corps non nécessairement commutatif) sont les droites vectorielles.
- Étant donné un anneau A et I un idéal à gauche non nul de A, I est un A-module simple si et seulement si I est un idéal minimal à gauche.
Structure des modules simples
[modifier | modifier le code]Soient A un anneau unitaire et M un A-module simple.
- Alors M est un A-module monogène, engendré par n'importe quel élément non nul x de M. En effet, Ax est un sous-module non nul de M, donc c'est M. La réciproque est fausse, par exemple le ℤ-module ℤ est monogène (engendré par 1) mais pas simple.
- Soit x un élément non nul M. Alors l'ensemble des éléments a de A tels que ax = 0 est un idéal à gauche maximal I de A, et l'application a↦ax de A dans M est A-linéaire, et par passage au quotient, définit un isomorphisme de A-modules de A/I sur M.
- Réciproquement, pour tout idéal à gauche J de A, pour que le A-module A/J soit simple, il faut et il suffit que J soit un élément maximal de l'ensemble des idéaux à gauche de A différent de A.
Propriétés
[modifier | modifier le code]- Les modules simples sont les modules de longueur 1.
- Un module simple est un module indécomposable, c'est-à-dire qu'il n'est pas isomorphe à une somme directe de deux modules non nuls. La réciproque est fausse : par exemple, les ℤ-modules de type fini indécomposables sont ℤ et les groupes cycliques d'ordre pn avec p premier et n > 0.
- Contrairement à ce qui se passe pour des espaces vectoriels, un module non nul peut ne pas posséder de sous-module simple. Par exemple, tous les sous-modules non nuls de ℤ sont isomorphes à ℤ donc non simples.
Soient A un anneau, M et N des A-modules et f une application A-linéaire de M dans N. Si M est simple, alors f est soit nulle, soit injective (en effet, le noyau de f est un sous-module de M, donc {0} ou M). Si N est simple, alors f est soit surjective, soit nulle (en effet, l'image de f est un sous module de N, donc {0} ou N)[2].
Si un A-module est simple alors l'anneau de ses endomorphismes est un corps, mais la réciproque est fausse : le ℤ-module ℚ n'est pas simple, et pourtant tout endomorphisme non nul du groupe abélien ℚ est inversible.
Soient K un corps algébriquement clos, A une K-algèbre de dimension finie non nulle et M un A-module simple. Alors l'anneau des endomorphismes de A-module de M est canoniquement isomorphe à K.
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Berhuy Modules : Théorie, pratique... et un peu d'arithmétique, p. 7
- (en) Anthony W. Knapp, Basic Algebra: Digital Second Edition, Anthony W. Knapp, , 735 p. (ISBN 978-1-4297-9998-0, DOI 10.3792/euclid/9781429799980, lire en ligne), p. 559
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Articles connexes
[modifier | modifier le code]- Groupe simple : une définition analogue pour les groupes
- Module semi-simple
- Anneau simple
- Théorème de densité de Jacobson (en)
Bibliographie
[modifier | modifier le code]- Grégory Berhuy, Modules : Théorie, pratique... et un peu d'arithmétique, Paris, Calvage & Mounet, , 388 p. (ISBN 978-2-91-635225-1)
