Loi normale asymétrique

Distribution normale asymétrique
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres	$\xi \,$ position (réel) $\omega \,$ échelle (réel positif) $\alpha \,$ forme (asymétrie) (réel)
Support	$x\in (-\infty ; \infty )\!$
Densité de probabilité	${\frac {1}{\omega \pi }}e^{-{\frac {(x-\xi )^{2}}{2\omega ^{2}}}}\int _{-\infty }^{\alpha \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\ dt$
Fonction de répartition	$\Phi \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)-2T\left({\frac {x-\xi }{\omega }},\alpha \right)$ $T(h,a)$ est la fonction T d'Owen
Espérance	$\xi \omega \delta {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$ où $\delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1 \alpha ^{2}}}}$
Variance	$\omega ^{2}\left(1-{\frac {2\delta ^{2}}{\pi }}\right)$
Asymétrie	${\frac {4-\pi }{2}}{\frac {\left(\delta {\sqrt {2/\pi }}\right)^{3}}{\left(1-2\delta ^{2}/\pi \right)^{3/2}}}$
Kurtosis normalisé	$2(\pi -3){\frac {\left(\delta {\sqrt {2/\pi }}\right)^{4}}{\left(1-2\delta ^{2}/\pi \right)^{2}}}$
Fonction génératrice des moments	$2\exp \left(\mu \,t \sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}\right)\Phi (\sigma \delta t)$
Fonction caractéristique	$\exp \left(\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)\left(1 i\,\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma \delta t}{\sqrt {2}}}\right)\right)$

En théorie des probabilités et en statistiques, la distribution normale asymétrique est une loi de probabilité continue qui généralise la distribution normale en introduisant une asymétrie non nulle.

Définition

Soit $\phi (x)$ la densité de probabilité de la loi normale centrée réduite

$\phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$

avec sa fonction de répartition donnée par

$\Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\ dt={\frac {1}{2}}\left[1 \operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]$

avec erf la fonction d'erreur.

Alors la densité de probabilité de la distribution normale asymétrique de paramètre α est donnée par

$f(x)=2\phi (x)\Phi (\alpha x).\,$

Pour ajouter un paramètre de position et un paramètre d'échelle à cela, on utilise la transformation usuelle $x\mapsto {\frac {x-\xi }{\omega }}$. On peut vérifier que l'on retrouve une distribution normale lorsque $\alpha =0$, et que la valeur absolue de l'asymétrie augmente lorsque la valeur absolue de $\alpha$ augmente. La distribution est asymétrique vers la droite si $\alpha >0$ et est asymétrique vers la gauche si $\alpha <0$. La densité de probabilité avec un paramètre de position ξ, un paramètre d'échelle ω, et un paramètre d'asymétrie α devient

$f(x)={\frac {2}{\omega }}\phi \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)\Phi \left(\alpha \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)\right).\,$

Estimation

L'estimateur du maximum de vraisemblance pour $\xi$, $\omega$, et $\alpha$ peut être calculé numériquement, mais il n'existe pas d'expression directe des estimateurs sauf si $\alpha =0$. Si l'on a besoin d'une expression explicite, la méthode des moments peut être appliquée pour estimer $\alpha$ à partir de l'asymétrie empirique de l'échantillon, en inversant l'équation d'asymétrie. Cela donne l'estimateur

$|\delta |={\sqrt {{\frac {\pi }{2}}{\frac {|{\hat {\gamma }}_{3}|^{\frac {2}{3}}}{|{\hat {\gamma }}_{3}|^{\frac {2}{3}} ((4-\pi )/2)^{\frac {2}{3}}}}}}$

où $\delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1 \alpha ^{2}}}}$, et ${\hat {\gamma }}_{3}$ est l'asymétrie empirique. Le signe de $\delta$ est le même que celui de ${\hat {\gamma }}_{3}$. Par conséquent, ${\hat {\alpha }}=\delta /{\sqrt {1-\delta ^{2}}}$.

Référence

(en) A. Azzalini, « A class of distributions which includes the normal ones », Scand. J. Statist., vol. 12,‎ 1985, p. 171–178

Article connexe

Asymétrie (statistique)

Liens externes

• A very brief introduction to the skew-normal distribution
• The Skew-Normal Probability Distribution (and related distributions, such as the skew-t)
• OWENS: Owen's T Function
• Closed-skew Distributions - Simulation, Inversion and Parameter Estimation