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Inégalité de Carleman

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L'inégalité de Carleman est une inégalité démontrée par Torsten Carleman en 1922[1] et reliant la somme des moyennes géométriques des premiers termes d'une série à termes positifs et la somme de cette série :

La constante e est la meilleure possible. L'inégalité est stricte sauf pour la suite nulle.

Démonstration de l'inégalité

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Soit pour tout , . Observons que , et que donc . Soit . Alors, d'après l'inégalité arithmético-géométrique,

Une inversion de somme conduit alors à

Or la suite de nombres rationnels croît vers le nombre irrationnel e, donc pour tout . D'où

et cette inégalité est stricte lorsque N est assez grand, à moins que la suite ne soit identiquement nulle. L'inégalité de Carleman s'en déduit en faisant tendre N vers l'infini.

Si l'on considère

alors le membre de droite de l'inégalité de Carleman est égal à HN est le N-ième nombre harmonique, tandis que le membre de gauche admet, puisque d'après la formule de Stirling, l'équivalent

lorsque . Ceci montre que la constante est la meilleure possible.

Note et référence

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  1. T. Carleman, « Sur les fonctions quasi-analytiques », Conférences faites au cinquième congrès des mathématiciens scandinaves tenu à Helsingfors du 4 au 7 juillet 1922, p. 181-196.

Articles connexes

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