Rayon de Schwarzschild

En physique et en astronomie, le rayon de Schwarzschild est le rayon de l'horizon d'un trou noir de Schwarzschild, lequel est un trou noir dont la charge électrique et le moment cinétique sont nuls. Cela signifie qu'en dessous de ce rayon tous les photons (circulant à la vitesse de la lumière) ont (en oubliant qu'on est dans un cadre relativiste) des trajectoires elliptiques et ne peuvent s'échapper^{[N 1]}.

Par extension, c'est une longueur intervenant dans la description relativiste du champ gravitationnel créé par une distribution de masse à symétrie sphérique.

Il peut être défini, en première approximation, comme le rayon d'une sphère à partir duquel la masse de l'objet est tellement compacte que la vitesse de libération est égale à la vitesse de la lumière dans le vide, de sorte que la lumière elle-même ne peut s'en échapper.

Il entre dans la définition du trou noir, modélisé par Karl Schwarzschild. En effet, si le rayon de la distribution de masse de l'objet considéré est inférieur au rayon de Schwarzschild, l'objet considéré est un trou noir dont l'horizon est la sphère de rayon égal au rayon de Schwarzschild.

Mise en évidence

L'éponyme^{col. 1chap. 12,_§ 12-12-3">[2]}^,^{s.v.''_Schwarzschild_radius-4">[3]}^,^{et_al.''_2008199leçon_n^o 8,_§ VIII.2.4,_e)-5">[4]} du rayon de Schwarzschild^{col. 2''s.v.''_rayon_de_Schwarzschild-6">[5]} est l'astronome allemand Karl Schwarzschild (1873-1916) qui l'a mis en évidence, fin 1915^[6]^,^{[N 2]}, en apportant la première solution exacte à l'équation d'Einstein^{et_al.''_2009193-11">[9]}. Cette solution, appelée métrique de Schwarzschild, correspond au champ gravitationnel extérieur à une distribution sphérique de masse dans le vide^{et_al.''_2009193-11">[9]}. Elle s'est avérée ultérieurement décrire un trou noir.

Le rayon de Schwarzschild est une des deux singularités non-triviales de la métrique^{col. 1''s.v.''_métrique_de_Schwarzschild-12">[10]}^,^{[N 3]}.

Désignation

Le rayon de Schwarzschild est appelé rayon parce qu'il est associé à la coordonnée radiale r du système de coordonnées de Schwarzschild^[15] et qu'il a la dimension d'une longueur^{col. 2''s.v.''_rayon_de_Schwarzschild-6">[5]}^,^{col. 1''s.v.''_métrique_de_Schwarzschild-12">[10]}. Mais, dans le cas d'un trou noir, il ne doit pas être interprété comme la distance qui sépare la singularité de l'horizon^{col. 2''s.v.''_rayon_de_Schwarzschild-6">[5]}^,^{fig._12-37chap. 12,_§ 12-12-19">[16]}.

Le rayon de Schwarzschild est aussi connu comme le rayon gravitationnel^[17] mais cette même expression sert également à désigner la moitié du rayon de Schwarzschild^{chap. 9,_sect._9.3,_§ 9.3.1-21">[18]}.

Il est aussi appelé la singularité de Schwarzschild^{§ 11.4-22">[19]}^,^{col. 2''s.v.''_singularité_de_Schwarzschild-23">[20]} car il est une des singularités de la métrique^{[N 4]}.

Notation

Le rayon de Schwarzschild est couramment noté $R_{\mathrm {S} }$ ^{col. 2''s.v.''_rayon_de_Schwarzschild-6">[5]}^,^{chap. 5,_sec. 5.1,_§ 5.1.2-25">[21]}.

Expression

En unités usuelles, il est défini par^{col. 2''s.v.''_rayon_de_Schwarzschild-6">[5]}^,^{chap. 5,_sec. 5.1,_§ 5.1.2-26">[22]} :

R_{\mathrm {S} }\equiv {\frac {2GM}{c^{2}}}

,

où :

$R_{\mathrm {S} }$ est le rayon de Schwarzschild, en mètre ;
$G$ est la constante gravitationnelle, en mètre cube par kilogramme par seconde au carré ;
$M$ est la masse de l'objet, en kilogramme ;
$c$ est la vitesse de la lumière dans le vide, en mètre par seconde.

En unités géométriques, il est donné par^{§ 11.4-22">[19]}^,^{chap. 9,_sect._9.3,_§ 9.3.1-27">[23]} :

R_{\mathrm {S} }=2m

,

avec^{chap. 9,_sect._9.3,_§ 9.3.1-27">[23]} :

m={\frac {GM}{c^{2}}}

.

Le rayon de Schwarzschild est ainsi proportionnel à la masse de l'objet^{et_al.''_2009153n. 5-28">[24]} : $R_{\mathrm {S} }\propto {M}$ .

La constante gravitationnelle $G$ et la vitesse de la lumière dans le vide $c$ sont deux constantes physiques :

$G=$ 6,674 30(15) × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻² (valeur standard actuelle selon CODATA 2018) ;
$c=$ 2,997 924 58 × 10⁸ m/s.

Par suite :

{\frac {2G}{c^{2}}}=

1,485 23(3) × 10⁻²⁷ m/kg

Et :

R_{s}=M\times

1,485 23(3) × 10⁻²⁷ m

Soit donc

$R_{s}=a\times M$

avec $a=1{,}48523\times 10^{-27}.$

Masse volumique moyenne de l'astre contenu dans le volume de Schwarzschild

La masse volumique moyenne $r$ de l'astre de masse $M$ contenu dans la sphère de rayon $R_{s}$

$r={\frac {b}{M^{2}}}$

avec $b=7,28669\times 10^{79}$

On peut voir ainsi que :

plus le trou noir est massif, plus sa masse volumique moyenne est faible
a contrario, plus la masse du trou noir est faible, plus sa densité est élevée

Ainsi :

la masse d'un trou noir d'une densité de 1 000 kg/m³ (celle de l'eau), est égale à 2,699 387 × 10³⁸ kg, soit environ 135 millions de fois la masse du Soleil
la masse d'un trou noir de masse volumique voisine de celle des noyaux des atomes, soit 2,3 × 10¹⁷ kg/m³,est de 3,168 1 × 10³¹ kg, soit environ 16 fois la masse du Soleil

Pesanteur au niveau de l'horizon du trou noir

$g=G\times {\frac {M}{R_{s}^{2}}}={\frac {G}{a^{2}}}\times {\frac {1}{M}}$

$g={\frac {p}{M}}$ m/s² ; avec $p=3,02565\times 10^{43}$ ^[Quoi ?]

Plus la masse du trou noir est élevée, d'autant moindre est la pesanteur au niveau de l'horizon du trou noir.

dans le cas du trou noir de densité moyenne = 1 et de masse 2,663 87 × 10³⁸ kg, l'accélération vaut (3,025 65 × 10⁴³)/(2,663 87 × 10³⁸) = 1,135 8 × 10⁵ m/s² ; soit près de 11 600 fois la pesanteur terrestre
dans le cas du trou noir de masse volumique moyenne égale à celle du noyau des atomes, de masse 3,168 1 × 10³¹ kg, l'accélération vaut (3,025 65 × 10⁴³)/(3,168 1 × 10³¹) = 9,550 4 × 10¹¹ m/s², soit près de 10¹¹ fois la pesanteur terrestre.

Ces valeurs considérables attestent que la matière contenue dans les trous noirs ci-dessus est soumise à des pressions gigantesques^[Quoi ?].

Dimension

En analyse dimensionnelle, le rayon de Schwarzschild a la dimension d'une longueur^{col. 2''s.v.''_rayon_de_Schwarzschild-6">[5]} :

[R_{s}]=L

.

Valeur approchée

La valeur approchée du rayon de Schwarzschild est obtenue par :

${\begin{aligned}R_{s}&\approx {\frac {M}{M_{\odot }}}\times 2\,953{,}1\;(\pm 0,3)\;{\text{m}}\\&\approx {\frac {M}{10^{9}M_{\odot }}}\times 19{,}7405\;(\pm 0{,}002)\;{\text{UA}}\end{aligned}}$

où :

$M$ est la masse de l'objet ;
${M_{\odot }}$ est la masse du Soleil ;
${\text{UA}}$ est l’unité astronomique.

Donc, approximativement, une masse solaire correspond à 3 km de rayon et un milliard de masses solaires correspond à 20 UA de rayon (soit à peu près l’orbite d’Uranus).

Explication

À la fin du XVIII^e siècle, dans le cadre de la théorie corpusculaire de la lumière^{chap. 8,_sect._8.1,_§ 8.1.3-29">[25]} d'Isaac Newton (1643-1727), John Michell (1724-1793) dès 1783, puis Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), en 1796^{chap. 8,_sect._8.1,_§ 8.1.3-29">[25]} , ont tous deux obtenu le rayon critique $2 GM / c 2$ en s'appuyant sur les lois newtoniennes du mouvement et de la gravitation^{chap. 4-30">[26]} et le principe d'équivalence^{chap. 8,_sect._8.1,_§ 8.1.3-29">[25]}^,^{chap. 4-30">[26]} et en considérant, d'une part, que nul objet ne peut s'échapper d'un corps si sa vitesse est inférieure à $\sqrt 2 GM / R$ et, d'autre part, que la lumière se propage dans le vide à une vitesse $c$ finie^{chap. 4-30">[26]}. C'est cette approche qui est exposée ci-après.

Pour un objet placé dans un champ de gravité d'un corps, la vitesse de libération, notée $v_{L}$ et exprimée en m/s, est obtenue par :

v_{L}={\sqrt {\frac {2GM}{D}}}

,

où :

$G$ est la constante gravitationnelle ;
$M$ est la masse du corps, exprimée en kilogrammes (kg) ;
$D$ est la distance de l'objet au centre du corps, exprimée en mètres (m).

Cette valeur s'obtient en deux temps :

1) On dit que, pour un satellite, il y a équilibre entre la force centrifuge et l'attraction de l'astre central de masse M : on obtient une « vitesse de satellisation » $v$ qui est indépendante de la masse du satellite. $D\cdot v^{2}=G\cdot M$ et $v$ dépend de $D$ (voir les lois de Kepler).

2) Pour définir la vitesse de libération $V_{L}$ , on recherche l'énergie cinétique requise pour s'échapper de l'attraction de l'astre central. Pour ce faire, on intègre, entre $D$ et l'infini, la valeur de cette énergie cinétique à la distance $D$ . On obtient $V_{L}^{2}\cdot D=2\cdot G\cdot M$ . Ici non plus, la masse du satellite n'intervient pas et $V_{L}^{2}=2\cdot v_{D}^{2}$ où $v_{D}$ est la vitesse de satellisation à la distance $D$ .

Considérons maintenant un objet (satellite) placé à la surface de cette sphère centrale de rayon $R$ , alors :

v_{L}={\sqrt {\frac {2GM}{R}}}

.

Recherchons la valeur de $R$ pour $v_{L}=c$ .

c={\sqrt {\frac {2GM}{R}}}\Leftrightarrow c^{2}={\frac {2GM}{R}}\Leftrightarrow R={\frac {2GM}{c^{2}}}

Il est le rayon critique prévu par la géométrie de Schwarzschild : si une étoile ou tout autre objet atteint un rayon égal ou inférieur à son rayon de Schwarzschild (qui dépend de sa masse), alors elle devient un trou noir, et tout objet s'approchant à une distance de celui-ci inférieure au rayon de Schwarzschild ne pourra s'en échapper.

Notions connexes

Paramètre gravitationnel standard

Le rayon de Schwarzschild est lié au paramètre gravitationnel standard, noté $\mu$ et égal au produit de la constante gravitationnelle $G$ par la masse $M$ de l'objet, soit : $\mu =GM$ .

En effet, $R_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}={\frac {2}{c^{2}}}\times {GM}={\frac {2}{c^{2}}}\times {\mu }$ .

Masse de Planck

La masse de Planck, notée $m_{P}$ , est, par définition, la masse pour laquelle le rayon de Schwarzschild et la longueur d'onde de Compton, notée $\lambda _{C}$ , sont égaux à la longueur de Planck, notée $\ell _{P}$ .

Masse linéique de Planck

La masse linéique de Planck normalisée est celle d'un trou noir de Schwarzschild de diamètre quelconque.

2\;R_{s}={\frac {4G}{c^{2}}}\;M

Ce même facteur ${\frac {4GM}{c^{2}}}$ intervient dans de nombreuses autres quantités en relativité générale. Par exemple, le rayon minimal d'une orbite circulaire stable autour d'un objet est ${\frac {6GM}{c^{2}}}=3R_{s}$ : si un objet orbite à moins de trois rayons de Schwarzschild d'un autre, il entrera en collision avec la surface (ou sera avalé dans le cas d'un trou noir).

Définition et calcul

Le terme rayon de Schwarzschild est utilisé en physique et en astronomie pour donner un ordre de grandeur de la taille caractéristique à laquelle des effets de relativité générale deviennent nécessaires pour la description d'objets d'une masse donnée.

Les seuls objets qui ne sont pas des trous noirs et dont la taille est du même ordre que leur rayon de Schwarzschild sont les étoiles à neutrons (ou pulsars), ainsi que, curieusement, l'Univers observable en son entier.

Les distorsions de l'espace-temps au voisinage d'un trou noir rendent le concept de distance un peu subtil. Le terme de rayon de Schwarzschild se réfère en fait au rayon que l'on associerait à un objet d'une circonférence donnée en géométrie euclidienne : il n'est pas possible de mesurer le rayon d'un trou noir en le traversant (puisque rien ne peut s'en échapper), il est par contre possible d'en mesurer la circonférence en faisant le tour sans y pénétrer.

Ce rayon est de ce fait appelé horizon du trou noir (on ne peut voir ce qui se passe à l'intérieur). Le rayon de Schwarzschild est proportionnel à la masse de celui-ci.

Calcul classique

Un calcul de la vitesse de libération de la lumière utilisant uniquement les équations de Newton avait été fait dès 1784 par John Michell.

En mécanique newtonienne, l'énergie cinétique d'un corps en orbite autour du trou noir est donnée par :

E_{cin}={\frac {1}{2}}mv^{2}

,

et son énergie potentielle par :

E_{pot}={\frac {GMm}{R}}

,

où :

$G$ est la constante de gravitation,
$M$ la masse du trou noir,
$m$ la masse du corps,
$v$ sa vitesse,
$R$ leur distance.

Si l'énergie potentielle est supérieure à l'énergie cinétique, le corps en orbite ne peut pas s'échapper. En égalisant ces énergies dans le cas d'un corps se déplaçant à la vitesse de la lumière, on obtient :

R_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}\approx {\frac {M}{M_{\odot }}}\times 2\,953\;{\rm {m{\grave {e}}tres}},

où $R_{s}$ est le rayon de Schwarzschild en mètres, $M_{\odot }$ la masse du Soleil et $c$ la vitesse de la lumière. Toute particule (y compris la lumière) se trouvant à une distance inférieure à $R_{s}$ du trou noir ne peut pas avoir suffisamment d'énergie cinétique pour se libérer de son influence. La valeur exacte de ce rayon est modifiée dans le cas où l'objet considéré possède une charge électrique non nulle ou un moment cinétique. En pratique, seul le moment cinétique joue un rôle, la charge électrique étant négligeable dans toutes les configurations où des trous noirs sont produits, mais dans tous les cas, le rayon de Schwarzschild exprimé en kilomètres est de l'ordre de trois fois la masse de l'objet considéré exprimée en masses solaires.

Calcul relativiste

Le rayon de Schwarzschild est défini par la valeur au-delà de laquelle la métrique de Schwarzschild devient valide et définit un espace-temps de Schwarzschild.

Dans ce système de coordonnées sphériques, la métrique de Schwarzschild a la forme :

{\begin{aligned}\mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {R_{\mathrm {S} }}{r}}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2} \left(1-{\frac {R_{\mathrm {S} }}{r}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2} r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2},\end{aligned}}

$R_{\mathrm {S} }={\frac {2GM}{c^{2}}}$ est le rayon de Schwarzschild associé à l'objet massif, qui est la valeur où la métrique devient invalide (intervalle d'espace-temps infini) et représente de ce fait un horizon pour cette métrique.

L'espace-temps de Schwarzschild^{chap. IV,_sect._5-31">[27]} est une variété d'espace-temps dont la topologie, définie à partir du domaine de validité de la métrique pour $M>0$ , est le produit^{chap. IV,_sect._5-31">[27]} :

\left(\mathbb {R} ^{3}\cap \left\{r>a>{\frac {2GM}{c^{2}}}\right\}\right)\times \mathbb {R} \cong S^{2}\times \mathbb {R} _{ }\times \mathbb {R}

,

où $a$ est le rayon du corps de masse $M$ ^{chap. IV,_sect._5-31">[27]}.

Rayon de Schwarzschild des objets astronomiques

Le rayon de l'horizon d'un trou noir de Kerr extrémal est égal à la moitié du rayon de Schwarzschild^{chap. 6,_sec. 6.11,_§ 6.11.2-32">[28]}.

Du fait de la petitesse de la quantité ${\frac {G}{c^{2}}}$ dans les unités usuelles, le rayon de Schwarzschild d'un objet astrophysique est très petit : pour la masse de la Terre, il est de seulement 8,9 millimètres. Puisque le rayon moyen de la Terre est d'environ 6 370 kilomètres, la Terre devrait être comprimée jusqu'à atteindre 4 × 10²⁶ fois sa densité actuelle avant de pouvoir s'effondrer en un trou noir. La masse volumique de l'objet ainsi formé soit 2 × 10²⁷ g/cm³ serait très supérieure à celle du noyau des atomes (valeur typique 2 × 10¹⁷ g/cm³). Il n'est pas facile de former des trous noirs de faible masse.

Un trou noir stellaire typique a un rayon qui se compte en dizaines de kilomètres. Pour un objet de la masse du Soleil, le rayon de Schwarzschild est d'environ 2,95 kilomètres, ce qui est bien inférieur aux 700 000 kilomètres du rayon actuel du Soleil. Le rayon de Schwarzschild du Soleil est également sensiblement plus petit que le rayon que le Soleil aura après avoir épuisé son carburant nucléaire, soit plusieurs milliers de kilomètres quand il sera devenu une naine blanche. Des étoiles plus massives peuvent cependant s'effondrer en trous noirs à la fin de leur vie. Dans le cas d'un trou noir supermassif, du genre de ceux que l'on trouve au centre de nombreuses galaxies, le trou noir a une masse de quelques millions à plusieurs milliards de masses solaires, pour un rayon de plusieurs millions à plusieurs milliards de kilomètres, soit moins que la taille de l'orbite de Neptune. Cette petite taille rend difficile la détection directe des trous noirs, faute d'une résolution angulaire suffisante. Il reste cependant possible d'imager directement le trou noir central de notre Galaxie par des méthodes d'interférométrie à très longue base (VLBI). D'éventuels trous noirs primordiaux, de très faible masse (quelques milliards de tonnes) pourraient éventuellement exister. De tels trous noirs seraient de taille microscopique, et ne seraient détectables que par leur rayonnement, résultant du phénomène d'évaporation des trous noirs.

Utilisations

Le rayon de Schwarzschild apparaît dans l'expression de nombreux effets relativistes, tels que l'avance du périhélie^{col. 1-2''s.v.''_avance_du_périhélie-33">[29]} ou l'effet Shapiro.

Notes et références

Notes

↑ Le demi-rayon de Schwarzschild ou rayon gravitationnel^[1] est la moitié du rayon de Schwarzschild (pour lequel ces trajectoires sont circulaires).
↑ Entre le 18 novembre 1915, date de parution de l'article d'Einstein sur lequel Schwarzschild s'appuie^[7], et le 22 décembre suivant, date de la lettre par laquelle celui-ci annonce sa découverte à Einstein^chap. IV,_II,_4-9">[8].
↑ L'autre singularité non-triviale de la métrique de Schwarzschild est sa singularité en $r = 0$ ^chap. 8,_sec. 8.1,_introduction-13">[11]^,^{chap. 5,_sec. 5.5-14">[12]} pour $m \neq 0$ ^{chap. IV,_sec. 5-15">[13]}.
À noter qu'en raison de la présence de $sin 2 (θ)$ dans la métrique de Schwarzschild, l'inverse^{n. 1chap. 8,_sec. 8.1,_introduction-16">[14]} de celle-ci présente deux autres singularités : $θ = 0$ et $θ = π$ ^{chap. 5,_sec. 5.5-14">[12]}. Il s'agit de deux singularités de coordonnées^{chap. 8,_sec. 8.1,_introduction-13">[11]}.
↑ L'expression singularité de Schwarzschild peut aussi désigner la singularité gravitationnelle située au-delà de l'horizon des événements d'un trou noir de Schwarzschild^col. 2''s.v.''_singularité_de_Schwarzschild-23">[20].

Références

↑ (en) Gravitational radius sur astrophysicsformulas.com (consulté le 12 juin 2014)
col. 1chap. 12,_§ 12-12_3-0">↑ Comins 2016, chap. 12, § 12-12, p. 374, col. 1.
s.v.''_Schwarzschild_radius_4-0">↑ Law 2017, s.v. Schwarzschild radius.
et_al.''_2008199leçon_n^o 8,_§ VIII.2.4,_e)_5-0">↑ Pérez et al. 2008, leçon n^o 8, § VIII.2.4, e), p. 199.
↑ ^col. 2''s.v.''_rayon_de_Schwarzschild_6-0">a col. 2''s.v.''_rayon_de_Schwarzschild_6-1">b col. 2''s.v.''_rayon_de_Schwarzschild_6-2">c col. 2''s.v.''_rayon_de_Schwarzschild_6-3">d col. 2''s.v.''_rayon_de_Schwarzschild_6-4">e et col. 2''s.v.''_rayon_de_Schwarzschild_6-5">f Taillet, Villain et Febvre 2013, s.v. rayon de Schwarzschild, p. 580, col. 2.
↑ Bičák 2000, p. 20.
↑ Einsenstead 1982, p. 158.
chap. IV,_II,_4_9-0">↑ Smerlak 2016, chap. IV, II, 4.
↑ ^{et_al.''_2009193_11-0">a et et_al.''_2009193_11-1">b} Hobson et al. 2009, p. 193.
↑ ^col. 1''s.v.''_métrique_de_Schwarzschild_12-0">a et col. 1''s.v.''_métrique_de_Schwarzschild_12-1">b Taillet, Villain et Febvre 2013, s.v. métrique de Schwarzschild, p. 434, col. 1.
↑ ^chap. 8,_sec. 8.1,_introduction_13-0">a et chap. 8,_sec. 8.1,_introduction_13-1">b Cheng 2009, chap. 8, sec. 8.1, introduction, p. 142.
↑ ^chap. 5,_sec. 5.5_14-0">a et chap. 5,_sec. 5.5_14-1">b Hawking et Ellis 1973, chap. 5, sec. 5.5, p. 150.
chap. IV,_sec. 5_15-0">↑ Choquet-Bruhat 2008, chap. IV, sec. 5, p. 78.
n. 1chap. 8,_sec. 8.1,_introduction_16-0">↑ Cheng 2009, chap. 8, sec. 8.1, introduction, p. 142, n. 1.
↑ (en) Tomás Ortín, Gravity and strings [« Gravitation et cordes »], Cambridge, Cambridge University Press, coll. « Cambridge monographs on mathematical physics », mars 2015, 2^e éd. (1^re éd. mars 2004), 1 vol., XXVI-1015, 26 cm (ISBN 978-0-521-76813-9 et 0-521-76813-6, OCLC 910903353, BNF 43904548, DOI 10.1017/CBO9780511616563, Bibcode 2015grst.book.....O, SUDOC 189066709, lire en ligne), p. 293, n. 6n. 6&rft.tpages=1 vol., XXVI-1015&rft.isbn=978-0-521-76813-9&rft_id=info:doi/10.1017/CBO9780511616563&rft_id=info:oclcnum/910903353&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Rayon de Schwarzschild">.
fig._12-37chap. 12,_§ 12-12_19-0">↑ Comins 2016, chap. 12, § 12-12, p. 375, fig. 12-37.
↑ Hakim 2001, p. 222.
chap. 9,_sect._9.3,_§ 9.3.1_21-0">↑ Heyvaerts 2012, chap. 9, sect. 9.3, § 9.3.1, p. 194.
↑ ^§ 11.4_22-0">a et § 11.4_22-1">b Feynman 2001, leçon 11, § 11.4, p. 187.
↑ ^col. 2''s.v.''_singularité_de_Schwarzschild_23-0">a et col. 2''s.v.''_singularité_de_Schwarzschild_23-1">b Taillet, Villain et Febvre 2013, s.v. singularité de Schwarzschild, p. 626, col. 2.
chap. 5,_sec. 5.1,_§ 5.1.2_25-0">↑ Lambourne 2010, chap. 5, sec. 5.1, § 5.1.2, p. 150.
chap. 5,_sec. 5.1,_§ 5.1.2_26-0">↑ Lambourne 2010, chap. 5, sec. 5.1, § 5.1.2, p. 150 (5.8).
↑ ^chap. 9,_sect._9.3,_§ 9.3.1_27-0">a et chap. 9,_sect._9.3,_§ 9.3.1_27-1">b Heyvaerts 2012, chap. 9, sect. 9.3, § 9.3.1, p. 194.
et_al.''_2009153n. 5_28-0">↑ Hobson et al. 2009, n. 5, p. 153.
↑ ^chap. 8,_sect._8.1,_§ 8.1.3_29-0">a chap. 8,_sect._8.1,_§ 8.1.3_29-1">b et chap. 8,_sect._8.1,_§ 8.1.3_29-2">c Rougé 2002, chap. 8, sect. 8.1, § 8.1.3, p. 120.
↑ ^chap. 4_30-0">a chap. 4_30-1">b et chap. 4_30-2">c Schutz 2003, chap. 4, p. 36.
↑ ^chap. IV,_sect._5_31-0">a chap. IV,_sect._5_31-1">b et chap. IV,_sect._5_31-2">c Choquet-Bruhat 2008, chap. IV, sect. 5, p. 78.
chap. 6,_sec. 6.11,_§ 6.11.2_32-0">↑ Manton et Mee 2017, chap. 6, sec. 6.11, § 6.11.2, p. 192.
col. 1-2''s.v.''_avance_du_périhélie_33-0">↑ Taillet, Villain et Febvre 2013, s.v. avance du périhélie, p. 53, col. 1-2.

Voir aussi

Bibliographie

Publications originales

[Schwarzschild 1916] (de) Karl Schwarzschild, « Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie » [« Sur le champ gravitationnel d'une masse ponctuelle d'après la théorie d'Einstein »], Sitzungsberichte der Königlich-Preußischen Akademie der Wissenschaften [« Comptes rendus de l'Académie royale des sciences de Prusse »],‎ 1916, p. 189-196 (Bibcode 1916SPAW.......189S, lire en ligne [PDF]).

Dictionnaires et encyclopédies

[Law 2017] (en) Jonathan Law (éd.), A dictionary of science [« Un dictionnaire des sciences »], Oxford, Oxford University Press, coll. « Oxford Quick Reference », mars 2017, 7^e éd., 1 vol., 1006, 20 cm (ISBN 978-0-19-873837-4, EAN 9780198738374, OCLC 986789834, BNF 45484325, SUDOC 200646346, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.Schwarzschild radius1 vol., 1006&rft.isbn=978-0-19-873837-4&rft_id=info:oclcnum/986789834&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Rayon de Schwarzschild">.
[Taillet, Villain et Febvre 2013] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., février 2013 (réimpr. 2015), 3^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-899, 24 cm (ISBN 978-2-8041-7554-2, OCLC 842156166, BNF 43541671, SUDOC 167932349, lire en ligne)1 vol., X-899&rft.isbn=978-2-8041-7554-2&rft_id=info:oclcnum/842156166&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Rayon de Schwarzschild">.

Ouvrages de vulgarisation scientifique

[Comins 2016] Neil F. Comins (trad. de l'anglais américain par Richard Taillet et Loïc Villain), À la découverte de l'Univers : les bases de l'astronomie et de l'astrophysique [« Discovering the essential Universe »], Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll. / sciences, août 2016, 2^e éd. (1^re éd. nov. 2011), 1 vol., XIX-480, ill. et fig., 21 × 27,5 cm (ISBN 978-2-8073-0294-5, EAN 9782807302945, OCLC 957579963, BNF 45103679, SUDOC 19480870X, présentation en ligne, lire en ligne)vol., XIX-480&rft_id=info:oclcnum/957579963&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Rayon de Schwarzschild">.
[Hakim 2001] Rémi Hakim, Gravitation relativiste, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / astrophysique », juill. 2001, 2^e éd. (1^re éd. janv. 1994), 1 vol., XV-310, ill. et fig., 15,8 × 23 cm (ISBN 2-86883-370-5 et 2-271-05198-3, EAN 9782868833709, OCLC 50236119, BNF 39918721, SUDOC 060559675, présentation en ligne, lire en ligne)vol., XV-310&rft_id=info:oclcnum/50236119&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Rayon de Schwarzschild">.
[Manton et Mee 2017] (en) Nicholas Manton et Nicholas Mee, The physical world : an inspirational tour of fundamental physics, Oxford, OUP, hors coll., avril 2017, 1^re éd., XIII-556 p., 18,9 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-879593-3 et 978-0-19-879611-4, EAN 9780198795933, OCLC 1035765342, DOI 10.1093/oso/9780198795933.001.0001, SUDOC 220453225, présentation en ligne, lire en ligne)XIII-556&rft_id=info:doi/10.1093/oso/9780198795933.001.0001&rft_id=info:oclcnum/1035765342&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Rayon de Schwarzschild">.
[Smerlak 2016] Matteo Smerlak, Les trous noirs, Paris, Presses universitaires de France, coll. « Que sais-je ? » (n^o 4003), mars 2016, 1^re éd., 1 vol., 126, 11,5 × 17,6 cm (ISBN 978-2-13-063009-8, EAN 9782130630098, OCLC 946571004, BNF 45015423, SUDOC 192516817, présentation en ligne)1 vol., 126&rft.isbn=978-2-13-063009-8&rft_id=info:oclcnum/946571004&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Rayon de Schwarzschild">.

Manuels d'enseignement supérieur et notes de cours

[Cheng 2009] (en) Ta-Pei Cheng, Relativity, gravitation and cosmology : a basic introduction, Oxford et New York, OUP, coll. « Oxford master series in particle physics / astrophysics, and cosmology » (n^o 11), novembre 2009, 2^e éd. (1^re éd. février 2005), XIII-435 p., 18,9 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-957363-9 et 978-0-19-957364-6, EAN 9780199573639, OCLC 690512927, BNF 42174504, DOI 10.1093/acprof:oso/9780199573639.001.0001, SUDOC 139366741, présentation en ligne, lire en ligne)XIII-435&rft_id=info:doi/10.1093/acprof:oso/9780199573639.001.0001&rft_id=info:oclcnum/690512927&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Rayon de Schwarzschild">.
[Gourgoulhon 2014] Éric Gourgoulhon, Relativité général (cours d'introduction à la relativité générale donné en 2^de année du master recherche Astronomie, astrophysique et ingénierie spatiale de la Fédération des enseignements d'astronomie et d'astrophysique d'Île-de-France, année universitaire 2013-2014), Paris, Observatoire de Paris, mars 2014, 1 vol., 341, 30 cm (présentation en ligne, lire en ligne [PDF])1 vol., 341&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Rayon de Schwarzschild">.
[Feynman 2001] Richard Feynman (trad. de l'anglais par Céline Laroche), Leçons sur la gravitation [« Feynman lectures on gravitation »] (notes de cours), Paris, O. Jacob, coll. « Sciences », novembre 2001 (réimpr. octobre 2007), 1^re éd., 1 vol., 278, 14,5 × 22 cm (ISBN 978-2-7381-1038-1, EAN 9782738110381, OCLC 50419539, BNF 37719654, SUDOC 059349336, présentation en ligne, lire en ligne)1 vol., 278&rft.isbn=978-2-7381-1038-1&rft_id=info:oclcnum/50419539&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Rayon de Schwarzschild">.
[Heyvaerts 2012] Jean Heyvaerts, Astrophysique : étoiles, univers et relativité (cours et exercices corrigés), Paris, Dunod, coll. « Sciences Sup », août 2012, 2^e éd. (1^re éd. sept. 2006), 1 vol., X-384, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-058269-3, EAN 9782100582693, OCLC 816556703, BNF 42740481, SUDOC 163817030, présentation en ligne, lire en ligne)vol., X-384&rft.isbn=978-2-10-058269-3&rft_id=info:oclcnum/816556703&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Rayon de Schwarzschild">.
[Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009] Michael Hobson, George Efstathiou et Anthony N. Lasenby (trad. de l'anglais par Loïc Villain, révisé par Richard Taillet), Relativité générale [« General relativity : an introduction for physicists »], Bruxelles, De Boeck, décembre 2009, 1^re éd., 1 vol., XX-554, 18 cm (ISBN 978-2-8041-0126-8, OCLC 690272413, BNF 42142174, SUDOC 140535705, présentation en ligne, lire en ligne)1 vol., XX-554&rft.isbn=978-2-8041-0126-8&rft_id=info:oclcnum/690272413&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Rayon de Schwarzschild">.
[Lambourne 2010] (en) Robert J. A. Lambourne, Relativity, gravitation and cosmology [« Relativité, gravitation et cosmologie »], Cambridge et Milton Keynes, CUP et OU, hors coll., juillet 2010, 1^re éd., 310 p., 20,9 × 26,3 cm (ISBN 978-0-521-76119-2 et 978-0-521-13138-4, EAN 9780521761192, OCLC 690873048, Bibcode 2010rgc..book.....L, SUDOC 145497909, présentation en ligne, lire en ligne).
[Pérez et al. 2008] José-Philippe Pérez (dir.), Olivier Pujol, Christophe Lagoute, Pascal Puech et Éric Anterrieu, Physique : une introduction, Bruxelles, De Boeck Université, mars 2008, 1^re éd., 1 vol., XII-492, ill. et fig., 21,5 × 27,5 cm (ISBN 978-2-8041-5573-5, EAN 9782804155735, OCLC 244443184, BNF 41139171, SUDOC 122944461, présentation en ligne, lire en ligne)vol., XII-492&rft_id=info:oclcnum/244443184&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Rayon de Schwarzschild">.
[Rougé 2002] André Rougé, Introduction à la relativité, Palaiseau, École polytechnique, juillet 2002 (réimpr. mars 2008), 2^e éd., 1 vol., 182, 17 × 24 cm (ISBN 978-2-7302-0940-3, EAN 9782730209403, OCLC 423892061, BNF 38954812, SUDOC 070449449, présentation en ligne, lire en ligne)1 vol., 182&rft.isbn=978-2-7302-0940-3&rft_id=info:oclcnum/423892061&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Rayon de Schwarzschild">.

Ouvrages fondamentaux

[Choquet-Bruhat 2008] (en) Yvonne Choquet-Bruhat, General relativity and the Einstein equations [« Relativité générale et équations d'Einstein »], Oxford et New York, OUP, coll. « Oxford mathematical monographs », décembre 2008, 1^re éd., XXIV-785 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-0-19-923072-3, EAN 9780199230723, OCLC 493785270, DOI 10.1093/acprof:oso/9780199230723.001.0001, SUDOC 130297577, présentation en ligne, lire en ligne)XXIV-785&rft_id=info:doi/10.1093/acprof:oso/9780199230723.001.0001&rft_id=info:oclcnum/493785270&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Rayon de Schwarzschild">.
[Hawking et Ellis 1973] (en) Stephen W. Hawking et George F. R. Ellis, The large scale structure of space-time [« La structure à grande échelle de l'espace-temps »], Cambridge, CUP, coll. « Cambridge monographs on mathematical physics », mai 1973 (réimpr. février 2023), 1^re éd., XI-391 p., 15,1 × 22,7 cm (ISBN 0-521-20016-4 et 0-521-09906-4, EAN 9780521200165, OCLC 299342801, BNF 37358308, DOI 10.1017/CBO9780511524646, Bibcode 1973lsss.book.....H, SUDOC 004735110, présentation en ligne, lire en ligne [PDF])XI-391&rft_id=info:doi/10.1017/CBO9780511524646&rft_id=info:oclcnum/299342801&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Rayon de Schwarzschild">

Autres

[Bičák 2000] (en) Jiří Bičák, « Selected solutions of Einstein's field equations : their role in general relativity and astrophysics », dans Bernd G. Schmidt (éd.), Einstein's field equations and their physical implications : selected essays in honour of Jürgen Ehlers [« Les équations du champ d'Einstein et leurs implications physiques : essais en l'honneur de Jürgen Ehlers »], Berlin et New York, Springer, coll. « Lecture notes in physics » (n^o 540), mars 2000, 1^re éd., 1 vol., XIII-433, 24 cm (ISBN 3-540-67073-4, OCLC 490408208, SUDOC 052238679, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 1, p. 1-126 (Bibcode : 2000LNP...540....1B, résumé, lire en ligne)[[Bibcode]] : [https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2000LNP...540....1B 2000LNP...540....1B], [https://arxiv.org/abs/gr-qc/0004016 résumé], [https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0004016.pdf%20format=pdf lire en ligne])&rft.tpages=1 vol., XIII-433&rft.isbn=3-540-67073-4&rft_id=info:oclcnum/490408208&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Rayon de Schwarzschild">.
[Einsenstead 1982] Jean Eisenstaedt, « Histoire et singularités de la solution de Schwarzschild (1915-1923) », Archive for History of Exact Sciences, vol. 27, n^o 2,‎ juin 1982, p. 157-198 (OCLC 5547723531, DOI 10.1007/BF00348347, JSTOR 41133669, Bibcode 1982AHES...27..157E).
[Schutz 2003] (en) Bernard Schutz, Gravity from the ground up : an introductory guide to gravity and general relativity [« un guide d'introduction à la gravitation et à la relativité générale »], Cambridge, Cambridge University Press, hors coll., décembre 2003, 1^re éd., 1 vol., XXVI-462, 20,1 × 25,4 cm (ISBN 978-0-521-45506-0, EAN 9780521455060, OCLC 492472672, DOI 10.1017/CBO9780511807800, SUDOC 075868741, présentation en ligne, lire en ligne)1 vol., XXVI-462&rft.isbn=978-0-521-45506-0&rft_id=info:doi/10.1017/CBO9780511807800&rft_id=info:oclcnum/492472672&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Rayon de Schwarzschild">.

Articles connexes

Liens externes

[Oxford Index] (en) « Schwarzschild radius » [« rayon de Schwarzschild »], notice d'autorité n^o 20110803100447401 de l'Oxford Index [html], sur la base de données Oxford Reference de l'OUP.
(en) Cours astr160 de l'université Yale

[2] Le demi-rayon de Schwarzschild ou rayon gravitationnel^[1] est la moitié du rayon de Schwarzschild (pour lequel ces trajectoires sont circulaires).

[10] Entre le 18 novembre 1915, date de parution de l'article d'Einstein sur lequel Schwarzschild s'appuie^[7], et le 22 décembre suivant, date de la lettre par laquelle celui-ci annonce sa découverte à Einstein^chap. IV,_II,_4-9">[8].

[17] L'autre singularité non-triviale de la métrique de Schwarzschild est sa singularité en $r = 0$ ^chap. 8,_sec. 8.1,_introduction-13">[11]^,^{chap. 5,_sec. 5.5-14">[12]} pour $m \neq 0$ ^{chap. IV,_sec. 5-15">[13]}.
À noter qu'en raison de la présence de $sin 2 (θ)$ dans la métrique de Schwarzschild, l'inverse^{n. 1chap. 8,_sec. 8.1,_introduction-16">[14]} de celle-ci présente deux autres singularités : $θ = 0$ et $θ = π$ ^{chap. 5,_sec. 5.5-14">[12]}. Il s'agit de deux singularités de coordonnées^{chap. 8,_sec. 8.1,_introduction-13">[11]}.

[24] L'expression singularité de Schwarzschild peut aussi désigner la singularité gravitationnelle située au-delà de l'horizon des événements d'un trou noir de Schwarzschild^col. 2''s.v.''_singularité_de_Schwarzschild-23">[20].

[1] (en) Gravitational radius sur astrophysicsformulas.com (consulté le 12 juin 2014)

[Comins2016374,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span><span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;12</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;12-12</span>-3] . 1chap. 12,_§ 12-12_3-0">↑ Comins 2016, chap. 12, § 12-12, p. 374, col. 1.

[Law2017''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''_Schwarzschild_radius-4] s.v.''_Schwarzschild_radius_4-0">↑ Law 2017, s.v. Schwarzschild radius.

[Pérez_2008Pérez_''<abbr_class="abbr_"_title="et_alii_(«_et_d’autres_»)"_lang="la">et_al.</abbr>''_2008199leçon_<abbr_class="abbr"_title="numéro">n<sup>o</sup></abbr>&nbsp;8,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="8"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">VIII</span></abbr>.2.4</span>,_e)-5] t_al.''_2008199leçon_n^o 8,_§ VIII.2.4,_e)_5-0">↑ Pérez et al. 2008, leçon n^o 8, § VIII.2.4, e), p. 199.

[TailletVillainFebvre2013580,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''_rayon_de_Schwarzschild-6] . 2''s.v.''_rayon_de_Schwarzschild_6-0">a col. 2''s.v.''_rayon_de_Schwarzschild_6-1">b col. 2''s.v.''_rayon_de_Schwarzschild_6-2">c col. 2''s.v.''_rayon_de_Schwarzschild_6-3">d col. 2''s.v.''_rayon_de_Schwarzschild_6-4">e et col. 2''s.v.''_rayon_de_Schwarzschild_6-5">f Taillet, Villain et Febvre 2013, s.v. rayon de Schwarzschild, p. 580, col. 2.

[Bičák_2000Bičák_200020-7] Bičák 2000, p. 20.

[Einsenstead1982158-8] Einsenstead 1982, p. 158.

[Smerlak2016<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="4"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">IV</span></abbr></span>,_<abbr_class="abbr_"_title="2"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">II</span></abbr>,_4-9] . IV,_II,_4_9-0">↑ Smerlak 2016, chap. IV, II, 4.

[Hobson_2009Hobson_''<abbr_class="abbr_"_title="et_alii_(«_et_d’autres_»)"_lang="la">et_al.</abbr>''_2009193-11] {et_al.''_2009193_11-0">a et et_al.''_2009193_11-1">b} Hobson et al. 2009, p. 193.

[TailletVillainFebvre2013434,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''_métrique_de_Schwarzschild-12] . 1''s.v.''_métrique_de_Schwarzschild_12-0">a et col. 1''s.v.''_métrique_de_Schwarzschild_12-1">b Taillet, Villain et Febvre 2013, s.v. métrique de Schwarzschild, p. 434, col. 1.

[Cheng2009142<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;8</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;8.1,_introduction-13] . 8,_sec. 8.1,_introduction_13-0">a et chap. 8,_sec. 8.1,_introduction_13-1">b Cheng 2009, chap. 8, sec. 8.1, introduction, p. 142.

[HawkingEllis1973150<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;5</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;5.5-14] . 5,_sec. 5.5_14-0">a et chap. 5,_sec. 5.5_14-1">b Hawking et Ellis 1973, chap. 5, sec. 5.5, p. 150.

[Choquet-Bruhat200878<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="4"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">IV</span></abbr></span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;5-15] . IV,_sec. 5_15-0">↑ Choquet-Bruhat 2008, chap. IV, sec. 5, p. 78.

[Cheng2009142,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="note(s)"_>n.</abbr>&nbsp;1</span><span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;8</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;8.1,_introduction-16] . 1chap. 8,_sec. 8.1,_introduction_16-0">↑ Cheng 2009, chap. 8, sec. 8.1, introduction, p. 142, n. 1.

[Ortín_2015-18] (en) Tomás Ortín, Gravity and strings [« Gravitation et cordes »], Cambridge, Cambridge University Press, coll. « Cambridge monographs on mathematical physics », mars 2015, 2^e éd. (1^re éd. mars 2004), 1 vol., XXVI-1015, 26 cm (ISBN 978-0-521-76813-9 et 0-521-76813-6, OCLC 910903353, BNF 43904548, DOI 10.1017/CBO9780511616563, Bibcode 2015grst.book.....O, SUDOC 189066709, lire en ligne), p. 293, n. 6n. 6&rft.tpages=1 vol., XXVI-1015&rft.isbn=978-0-521-76813-9&rft_id=info:doi/10.1017/CBO9780511616563&rft_id=info:oclcnum/910903353&rfr_id=info:sid/fr.wikipedia.org:Rayon de Schwarzschild">.

[Comins2016375,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="figure(s)"_>fig.</abbr>_12-37</span><span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;12</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;12-12</span>-19] ._12-37chap. 12,_§ 12-12_19-0">↑ Comins 2016, chap. 12, § 12-12, p. 375, fig. 12-37.

[Hakim2001222-20] Hakim 2001, p. 222.

[Heyvaerts2012194<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;9</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_9.3</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;9.3.1</span>-21] . 9,_sect._9.3,_§ 9.3.1_21-0">↑ Heyvaerts 2012, chap. 9, sect. 9.3, § 9.3.1, p. 194.

[Feynman2001187leçon_11,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;11.4</span>-22] § 11.4_22-0">a et § 11.4_22-1">b Feynman 2001, leçon 11, § 11.4, p. 187.

[TailletVillainFebvre2013626,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''_singularité_de_Schwarzschild-23] . 2''s.v.''_singularité_de_Schwarzschild_23-0">a et col. 2''s.v.''_singularité_de_Schwarzschild_23-1">b Taillet, Villain et Febvre 2013, s.v. singularité de Schwarzschild, p. 626, col. 2.

[Lambourne2010150<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;5</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;5.1,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;5.1.2</span>-25] . 5,_sec. 5.1,_§ 5.1.2_25-0">↑ Lambourne 2010, chap. 5, sec. 5.1, § 5.1.2, p. 150.

[Lambourne2010150_(5.8)<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;5</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;5.1,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;5.1.2</span>-26] . 5,_sec. 5.1,_§ 5.1.2_26-0">↑ Lambourne 2010, chap. 5, sec. 5.1, § 5.1.2, p. 150 (5.8).

[Heyvaerts2012194<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;9</span>,_<span_class="nowrap">sect._9.3</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;9.3.1</span>-27] . 9,_sect._9.3,_§ 9.3.1_27-0">a et chap. 9,_sect._9.3,_§ 9.3.1_27-1">b Heyvaerts 2012, chap. 9, sect. 9.3, § 9.3.1, p. 194.

[Hobson_2009Hobson_''<abbr_class="abbr_"_title="et_alii_(«_et_d’autres_»)"_lang="la">et_al.</abbr>''_2009153<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="note(s)"_>n.</abbr>&nbsp;5</span>-28] t_al.''_2009153n. 5_28-0">↑ Hobson et al. 2009, n. 5, p. 153.

[Rougé2002120<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;8</span>,_<span_class="nowrap">sect._8.1</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;8.1.3</span>-29] . 8,_sect._8.1,_§ 8.1.3_29-0">a chap. 8,_sect._8.1,_§ 8.1.3_29-1">b et chap. 8,_sect._8.1,_§ 8.1.3_29-2">c Rougé 2002, chap. 8, sect. 8.1, § 8.1.3, p. 120.

[Schutz200336<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>-30] . 4_30-0">a chap. 4_30-1">b et chap. 4_30-2">c Schutz 2003, chap. 4, p. 36.

[Choquet-Bruhat200878<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="4"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">IV</span></abbr></span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_5</span>-31] . IV,_sect._5_31-0">a chap. IV,_sect._5_31-1">b et chap. IV,_sect._5_31-2">c Choquet-Bruhat 2008, chap. IV, sect. 5, p. 78.

[MantonMee2017192<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;6</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;6.11,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;6.11.2</span>-32] . 6,_sec. 6.11,_§ 6.11.2_32-0">↑ Manton et Mee 2017, chap. 6, sec. 6.11, § 6.11.2, p. 192.

[TailletVillainFebvre201353,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1-2</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''_avance_du_périhélie-33] . 1-2''s.v.''_avance_du_périhélie_33-0">↑ Taillet, Villain et Febvre 2013, s.v. avance du périhélie, p. 53, col. 1-2.

[N 1]

col. 1chap. 12,_§ 12-12-3">[2]

s.v.''_Schwarzschild_radius-4">[3]

et_al.''_2008199leçon_n^o 8,_§ VIII.2.4,_e)-5">[4]

col. 2''s.v.''_rayon_de_Schwarzschild-6">[5]

[6]

[N 2]

et_al.''_2009193-11">[9]

col. 1''s.v.''_métrique_de_Schwarzschild-12">[10]

[N 3]

[15]

fig._12-37chap. 12,_§ 12-12-19">[16]

[17]

chap. 9,_sect._9.3,_§ 9.3.1-21">[18]

§ 11.4-22">[19]

col. 2''s.v.''_singularité_de_Schwarzschild-23">[20]

[N 4]

chap. 5,_sec. 5.1,_§ 5.1.2-25">[21]

chap. 5,_sec. 5.1,_§ 5.1.2-26">[22]

chap. 8,_sect._8.1,_§ 8.1.3-29">[25]

chap. 4-30">[26]

chap. IV,_sect._5-31">[27]

chap. 6,_sec. 6.11,_§ 6.11.2-32">[28]

col. 1-2''s.v.''_avance_du_périhélie-33">[29]

[1]

[7]

chap. IV

chap. 8

chap. 5,_sec. 5.5-14">[12]

n. 1chap. 8,_sec. 8.1,_introduction-16">[14]

v · m Étoiles
Classes de luminosité et types spectraux	Classes de types spectraux : Type précoce Type intermédiaire Type tardif Hypergéante (0) : Variable lumineuse bleue bleue (O0-A0) jaune (fin A0 - début K0) rouge (K0-M0) Supergéante (I) : bleue (OI-BI) blanche (AI) jaune (FI-GI) rouge (KI-MI) Géante lumineuse (II) Géante (III) : bleue (OIII-BIII-certaines AIII) rouge (KIII-MIII) Sous-géante (IV) Naine (séquence principale = V) : bleue (OV) bleu-blanc (BV) blanche (AV) jaune-blanc (FV) jaune (GV) orange (KV) rouge (MV) Sous-naine (VI) : Type O (OVI) Type B (BVI) Naine (stade évolué) : bleue blanche rouge noire Classes particulières : Étoile de type solaire Naine brune (objet substellaire)
Types	Étoile double Étoile en fuite Étoile intergalactique Traînarde bleue Étoile Be Étoile à enveloppe Étoile [Be] Étoile binaire Étoile variable Étoile multiple Étoiles hypothétiques
Binaires	À contact À éclipses À enveloppe commune Astrométrique Détachée Semi-détachée Spectroscopique TTL Visuelle X X à faible masse X à forte masse gamma Sursauteur X Étoile symbiotique Pulsar binaire Microquasar
Variables	Désignation des étoiles variables Céphéide Cataclysmique Polaire Éruptive (type UV Ceti) Herbig Ae/Be Lumineuse bleue Semi-régulière Type Alpha² Canum Venaticorum Type Beta Lyrae Type BY Draconis Type Delta Scuti Type FU Orionis Type Mira Type RR Lyrae Type T Tauri Type W Virginis Wolf-Rayet Sursauteur gamma mou Blanche à pulsations À battements de cœur
Multiples	Système stellaire Amas stellaire Superamas stellaire Association stellaire Association OB Amas ouvert Amas globulaire Blue blobs
Compositions	Métallicité Am Ap et Bp roAp Baryum Carbone CH CN Hélium Hélium extrême He-weak Lambda Bootis Mercure et manganèse PG 1159 Plomb Type S Technétium
Objets compacts	Proto-étoile à neutrons Étoile à neutrons Magnétar Pulsar Désignation Double Milliseconde X X anormal Trou noir Microquasar Quasar
Hypothétiques	Coatlicue Étoile congelée Étoile de fer Étoile noire (gravité semi-classique) Étoile noire (matière noire) Étoile à préons Étoile à quarks Gravastar Naine bleue Étoile Q Objet de Thorne-Żytkow Quasi-étoile
Classifications	Désignations stellaires Bayer Flamsteed Chronologie Diagramme de Hertzsprung-Russell Type spectral Classe de luminosité Séquence principale Branche des géantes rouges Bande d'instabilité Blue loop Red clump Branche asymptotique des géantes Étoile post-AGB Population stellaire I II III
Catalogues	Barnard Henry Draper Gliese Hipparcos Messier NGC Washington (étoiles doubles) Aitken (étoiles doubles)
Listes	Brillantes Brillantes en apparence Brillantes et proches Extrêmes Géantes Hypothétiques Plus massives Moins massives Noms traditionnels Noms officiellement reconnus par l'UAI Proches
Formation (pré-séquence principale)	Nuage moléculaire Géant Disque d'accrétion Instabilité gravitationnelle Nébuleuse obscure Région HI Région HII Globule de Bok Protoétoile Globule obscur Fonction de masse initiale Objet Herbig-Haro Pré-séquence principale Trajet de Hayashi
Nébuleuses (post-séquence principale)	Rémanent de supernova Nébuleuse de vent de pulsar Protonébuleuse planétaire Nébuleuse planétaire
Physique stellaire	Astérosismologie Bulle de Wolf-Rayet Champ magnétique stellaire Cinématique stellaire Compacité Effondrement gravitationnel Évolution stellaire Freinage magnétique Instabilité de Rayleigh-Taylor Jet Limite d'Eddington Limite d'Oppenheimer-Volkoff Lobe de Roche Masse de Chandrasekhar Mécanisme de Kelvin-Helmholtz Nucléosynthèse stellaire Micronova Nova Naine Rouge lumineuse Kilonova Supernova À effondrement de cœur Par production de paires Thermonucléaire Hypernova Unnova Rayon de Schwarzschild Réaction alpha Rotation stellaire Sursaut gamma Transfert de rayonnement Excès de couleur Flash de l'hélium Tremblement d'étoile Zone de convection
Soleil	Activité Apex Boucle coronale Chromosphère Constante Couronne Cycle Éclipse Éjection de masse coronale Éruption 1859 1989 2012 Filament Héliopause Héliosismologie Onde de Moreton Photosphère Protubérance Rayonnement Région de transition Spicule Sursaut Vent

v · m Trou noir
Type	Schwarzschild En rotation Chargé (en) Virtuel
Dimension	Micro Extrémal Électronique Stellaire De masse intermédiaire Supermassif Quasar galaxie active blazar amas
Formation	Évolution stellaire Effondrement gravitationnel Étoile à neutrons autres Objet compact étrange exotique Limite d'Oppenheimer-Volkoff Naine blanche Supernova Hypernova Unnova Sursaut gamma
Propriété	Thermodynamique entropie Rayon de Schwarzschild Relation M-sigma Horizon physique horizon d'un trou noir horizon des événements dyadosphère Oscillations quasi périodiques Sphère de photons Ergosphère Évaporation Processus de Penrose Processus de Blandford–Znajek (en) Accrétion de Bondi Spaghettification Événement de rupture par effet de marée Lentille gravitationnelle
Modèle	Singularité gravitationnelle théorèmes sur les singularités Trou noir primordial Gravastar Étoile noire (mécanique newtonienne) Étoile d'énergie noire (en) Étoile noire (semi-classique) Effondrement gravitationnel objet à magnétosphère s'effondrant éternellement (en) Fuzzball Trou blanc Singularité nue Singularité de l'anneau Singularité d'Immirzi (en) Paradigme de la membrane (en) Kugelblitz Trou de ver Quasi-étoile
Problèmes	Théorème de calvitie Paradoxe de l'information Censure cosmique Trou noir sans singularité Principe holographique Complémentarité Mur de feu ER = EPR
Métrique	Schwarzschild Kerr Reissner–Nordström Kerr–Newman
Observation	Rossi X-ray Timing Explorer Système stellaire hyper compact
Liste	Trous noirs Les plus massifs Quasars Microquasars
Autre	Historique Voyage vers un trou noir (en)