j-invariant
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Le j-invariant, parfois appelé fonction j, est une fonction introduite par Felix Klein pour l'étude des courbes elliptiques, qui a depuis trouvé des applications au-delà de la seule géométrie algébrique, par exemple dans l'étude des fonctions modulaires, de la théorie des corps de classes et du monstrous moonshine.
Motivation : birapport et j-invariant
[modifier | modifier le code]On travaille dans le plan complexe projectif (en) . Soient quatre points distincts , leur birapport est :
Cette quantité est invariante par homographies du plan, mais dépend de l'ordre des quatre nombres considérés.
Par exemple, le birapport de peut valoir, selon l'ordre considéré :
Si on cherche à symétriser cette expression, on obtient une quantité qui reste un invariant des transformations projectives, mais ne dépend plus de l'ordre des nombres :
que l'on appelle le j-invariant. Cette invariance est un premier indice du lien entre le j-invariant et le groupe modulaire.
j-invariant de courbes elliptiques
[modifier | modifier le code]Soit X une courbe elliptique non singulière sur , de forme de Weierstrass :
ayant pour discriminant .
Le j-invariant associé est
Le j-invariant est une application surjective, qui donne une bijection entre les classes d'isomorphismes des courbes elliptiques sur le plan complexe et les nombres complexes.
La notion de j-invariant se généralise aux courbes trigonales.
Références
[modifier | modifier le code]- (en) John Horton Conway et Simon Norton, « Monstrous moonshine », Bulletin of the London Mathematical Society, vol. 11, no 3, , p. 308–339 (DOI 10.1112/blms/11.3.308, MR 0554399)
- (it) Felix Klein, « Sull' equazioni dell' Icosaedro nella risoluzione delle equazioni del quinto grado [per funzioni ellittiche]. », Reale Istituto Lombardo, Rendiconto, Ser, vol. 10, no 2,
- (de) Felix Klein, « Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades », Math. Ann., vol. 14, 1878-1879, p. 111-172
- (en) Andrew Ogg, « Modular Functions », dans The Santa Cruz Conference on Finite Groups 1979, Amer. Math. Soc., , p. 521-532
- (en) Tito Piezas III et Eric Weisstein. j-Function, MathWorld