Espace L2

En mathématiques, l'espace L² est le cas particulier p = 2 de l'espace L^p.

Plus explicitement, si Ω est un espace mesuré, muni d'une mesure positive, µ (par exemple un ouvert de ℝⁿ muni de la mesure de Lebesgue), on considère d'abord l'espace — souvent noté ℒ²(μ) — des fonctions mesurables définies sur Ω (à valeurs réelles ou complexes) qui sont de carré intégrable au sens de l'intégrale de Lebesgue. Il est muni de la forme hermitienne positive définie par

$(f,g)_{\mathrm {L} ^{2}}=\int _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x)$.

On définit alors l'espace de Hilbert L²(μ) (ou L²(Ω) si µ est la mesure de Lebesgue) comme le quotient de ℒ²(μ) par le sous-espace vectoriel des fonctions nulles presque partout. Ce quotient identifie donc les fonctions qui sont dans la même classe pour la relation d'équivalence « f ~ g » ssi « f et g sont égales presque partout ».

Processus du second ordre

La notation L² a parfois une autre signification :

Définition — Un processus stochastique est dit du second ordre si, en tout site, il est à valeurs réelles et de carré intégrable (l'espérance de son carré est finie). On note L² l'ensemble des processus du second ordre

On parle également de champ du second ordre. Un processus gaussien est du second ordre.

Un cas important est celui des fonctions aléatoires stationnaires d'ordre 2.

Articles connexes

• Espace L¹
• Espace L^∞
• Espace L¹_loc
• Espace de suites ℓ^p
• Espace de Sobolev