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Empilement de cercles dans un cercle

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L'empilement de cercles dans un cercle est un problème d'empilement bidimensionnel dont l'objectif est d'empiler des cercles unités identiques de nombre n dans le cercle le plus petit possible.

Le tableau suivant présente une solution minimale (dans le cas où plusieurs solutions minimales existent, une seule variante apparaît dans le tableau)[1] :

Nombre de cercles unités de nombre n Rayon du cercle extérieur Densité Optimalité Figure
1 1 1,0000 Trivial
2 2 0,5000 Trivial
3 0,6466... Trivial
4 0,6864... Trivial
5 0,6854... Trivial
Aussi prouvé optimal par Graham (1968)[2]
6 3 0,6667... Trivial
Aussi prouvé optimal par Graham (1968)[2]
7 3 0,7778... Trivial
8 0,7328... Prouvé optimal par Pirl (1969)[3]
9 0,6895... Prouvé optimal par Pirl (1969)[3]
10 3,813... 0,6878... Prouvé optimal par Pirl (1969)[3]
11 0,7148... Prouvé optimal par Melissen (1994)[4]
12 4,029... 0,7392... Prouvé optimal par Fodor (2000)[5]
13 0,7245... Prouvé optimal par Fodor (2003)[6]
14 4,328... 0,7474... Conjecturé optimal[7]
15 0,7339... Conjecturé optimal[7]
16 4,615... 0,7512... Conjecturé optimal[7]
17 4,792... 0,7403... Conjecturé optimal[7]
18 0,7611... Conjecturé optimal[7]
19 0,8034... Prouvé optimal par Fodor (1999)[8]
20 5,122... 0,7623... Conjecturé optimal[7]

Références

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  1. Erich Friedman, Circles in Circles on Erich's Packing Center
  2. a et b R.L. Graham, Sets of points with given minimum separation (Solution to Problem El921), Amer. Math. Monthly 75 (1968) 192-193.
  3. a b et c U. Pirl, Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten, Mathematische Nachrichten 40 (1969) 111-124.
  4. H. Melissen, Densest packing of eleven congruent circles in a circle, Geometriae Dedicata 50 (1994) 15-25.
  5. F. Fodor, The Densest Packing of 12 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 41 (2000) ?, 401–409.
  6. F. Fodor, The Densest Packing of 13 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 44 (2003) 2, 431–440.
  7. a b c d e et f Graham RL, Lubachevsky BD, Nurmela KJ,Ostergard PRJ. Dense packings of congruent circles in a circle. Discrete Math 1998;181:139–154.
  8. F. Fodor, The Densest Packing of 19 Congruent Circles in a Circle, Geom. Dedicata 74 (1999), 139–145.

Liens externes

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