Empilement de cercles dans un cercle
Apparence
L'empilement de cercles dans un cercle est un problème d'empilement bidimensionnel dont l'objectif est d'empiler des cercles unités identiques de nombre n dans le cercle le plus petit possible.
Le tableau suivant présente une solution minimale (dans le cas où plusieurs solutions minimales existent, une seule variante apparaît dans le tableau)[1] :
Nombre de cercles unités de nombre n | Rayon du cercle extérieur | Densité | Optimalité | Figure |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1,0000 | Trivial | |
2 | 2 | 0,5000 | Trivial | |
3 | 0,6466... | Trivial | ||
4 | 0,6864... | Trivial | ||
5 | 0,6854... | Trivial Aussi prouvé optimal par Graham (1968)[2] |
||
6 | 3 | 0,6667... | Trivial Aussi prouvé optimal par Graham (1968)[2] |
|
7 | 3 | 0,7778... | Trivial | |
8 | 0,7328... | Prouvé optimal par Pirl (1969)[3] | ||
9 | 0,6895... | Prouvé optimal par Pirl (1969)[3] | ||
10 | 3,813... | 0,6878... | Prouvé optimal par Pirl (1969)[3] | |
11 | 0,7148... | Prouvé optimal par Melissen (1994)[4] | ||
12 | 4,029... | 0,7392... | Prouvé optimal par Fodor (2000)[5] | |
13 | 0,7245... | Prouvé optimal par Fodor (2003)[6] | ||
14 | 4,328... | 0,7474... | Conjecturé optimal[7] | |
15 | 0,7339... | Conjecturé optimal[7] | ||
16 | 4,615... | 0,7512... | Conjecturé optimal[7] | |
17 | 4,792... | 0,7403... | Conjecturé optimal[7] | |
18 | 0,7611... | Conjecturé optimal[7] | ||
19 | 0,8034... | Prouvé optimal par Fodor (1999)[8] | ||
20 | 5,122... | 0,7623... | Conjecturé optimal[7] |
Références
[modifier | modifier le code]- Erich Friedman, Circles in Circles on Erich's Packing Center
- R.L. Graham, Sets of points with given minimum separation (Solution to Problem El921), Amer. Math. Monthly 75 (1968) 192-193.
- U. Pirl, Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten, Mathematische Nachrichten 40 (1969) 111-124.
- H. Melissen, Densest packing of eleven congruent circles in a circle, Geometriae Dedicata 50 (1994) 15-25.
- F. Fodor, The Densest Packing of 12 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 41 (2000) ?, 401–409.
- F. Fodor, The Densest Packing of 13 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 44 (2003) 2, 431–440.
- Graham RL, Lubachevsky BD, Nurmela KJ,Ostergard PRJ. Dense packings of congruent circles in a circle. Discrete Math 1998;181:139–154.
- F. Fodor, The Densest Packing of 19 Congruent Circles in a Circle, Geom. Dedicata 74 (1999), 139–145.