Conjecture de Hilbert-Smith
En mathématiques, la conjecture de Hilbert-Smith concerne les groupes de transformation des variétés ; et en particulier sur les groupes topologiques agissant sur une variété topologique M. La conjecture énonce que tout groupe localement compact agissant continument et fidèlement sur M doit être un groupe de Lie.
Du fait des résultats de structure connus sur le groupe G, il suffit de traiter le cas où G est le groupe additif Zp des entiers p-adiques, pour un certain nombre premier p. Une forme équivalente de la conjecture est que Zp n'a pas d'action fidèle sur une variété topologique.
Les mathématiciens ayant donné leur nom à cette conjecture sont David Hilbert, et le topologue américain Paul Althaus Smith[1]. Elle est considérée par certains comme une meilleure formulation du cinquième problème de Hilbert.
En 1997, Dušan Repovš et Evgenij Ščepin ont prouvé la conjecture de Hilbert-Smith pour les groupes agissant par applications lipschitziennes sur une variété riemannienne, en utilisant les théories des revêtements, de la dimension fractale et de la dimension cohomologique[2].
En 1999, Gaven Martin a étendu leur argument de la théorie des dimensions aux actions quasi-conformes sur une variété riemannienne, et a donné des applications concernant l'unicité du prolongement analytique des systèmes de Beltrami[3].
En 2013, John Pardon a prouvé le cas tridimensionnel de la conjecture de Hilbert-Smith[4].
Références
[modifier | modifier le code]- (en) Paul A. Smith, « Periodic and nearly periodic transformations », dans R. Wilder et W. Ayres, Lectures in Topology, Ann Arbor, MI, University of Michigan Press, , p. 159-190.
- (en) Dušan Repovš et Evgenij V. Ščepin, « A proof of the Hilbert-Smith conjecture for actions by Lipschitz maps », Math. Ann., vol. 308, no 2, , p. 361-364 (DOI 10.1007/s002080050080).
- (en) Gaven Martin, « The Hilbert-Smith conjecture for quasiconformal actions », Electronic Research Announcements of the AMS, vol. 5, no 9, , p. 66-70.
- (en) John Pardon, « The Hilbert-Smith conjecture for three-manifolds », J. Amer. Math. Soc., vol. 26, no 3, , p. 879-899 (DOI 10.1090/s0894-0347-2013-00766-3, arXiv 1112.2324).
