Calcul des titres et des volumes d'alcools

Le calcul des titres et des volumes d'alcools est utilisé en distillation pour prédire le volume final et le titre alcoolique résultant d'un mélange de deux liquides hydro-alcooliques. La différence de force des liaisons intermoléculaires (liaisons hydrogène) entre les molécules d'eau et les molécules d'alcool (éthanol) entraîne des variations de volume massique en fonction du titre alcoolique qui doivent être prises en compte. La table des densités, utile aussi pour les pesées d'alcool, permet de calculer ces variations de volume massique.

Alcoométrie volumique

Représentation graphique des données des tables alcoométriques internationales

Table des masses volumiques en cg/l de liquides hydro-alcooliques à 20 °C d'après le titre en % volumique à 20 °C
%		0,5	1		2		3		4
0	99820	99744	99670	99596	99523	99451	99381	99311	99241	99173
5	99106	99039	98973	98908	98843	98779	98716	98654	98592	98531
10	98471	98411	98352	98294	98235	98178	98121	98064	98008	97952
15	97897	97842	97787	97733	97679	97625	97571	97517	97463	97409
20	97356	97302	97248	97194	97140	97086	97031	96976	96921	96866
25	96810	96753	96697	96639	96581	96523	96464	96404	96344	96283
30	96221	96159	96095	96031	95966	95901	95834	95766	95698	95629
35	95559	95488	95415	95342	95269	95194	95118	95041	94963	94884
40	94805	94724	94642	94559	94476	94391	94306	94219	94132	94043
45	93954	93864	93773	93681	93588	93495	93400	93305	93209	93112
50	93014	92916	92816	92716	92616	92514	92412	92309	92206	92101
55	91996	91891	91784	91677	91570	91462	91353	91243	91133	91023
60	90911	90800	90687	90574	90460	90346	90231	90115	89999	89882
65	89765	89647	89528	89409	89289	89169	89048	88926	88803	88680
70	88556	88432	88306	88181	88054	87927	87799	87670	87540	87410
75	87279	87148	87015	86882	86748	86613	86478	86341	86204	86066
80	85927	85787	85646	85505	85362	85219	85074	84929	84782	84634
85	84485	84335	84184	84031	83877	83721	83564	83405	83245	83082
90	82918	82752	82583	82413	82239	82063	81885	81703	81518	81330
95	81138	80942	80742	80537	80327	80112	79890	79662	79425	79180
100	78924

On appelle alcool une solution hydro-alcoolique dont le titre en éthanol varie de 0 à 100 %. On nomme Ρ sa masse volumique et T son titre en pourcentage volumique à 20 °C (noté °). À 20 °C la masse volumique de l'air vaut 1,20 g/l à la pression normale.

Masse volumique à 20 °C de l'alcool à 66,80° = 89409 -- 3/5 (89409-89289) = 89337 cg/l.

Le mélange d'un volume V₁ d'alcool de titre T₁ et d'un volume V₂ d'alcool de titre T₂ donne, après refroidissement et dissipation des bulles d'air, un alcool de titre T de volume V inférieur à V₁ V₂. On dit qu'un alcool a été réduit ou l'autre remonté. Les volumes étant à la température du titre (20 °C), la définition des titres et des masses volumiques conduit à deux égalités qui expriment la conservation du volume d'alcool pur extractible et la conservation de la masse :

TV = T₁V₁ T₂V₂ et ΡV = Ρ₁V₁ Ρ₂V₂

Calcul de deux volumes

Si l'on exprime V₂ avec la première égalité et avec la seconde on obtient une équation sans V₂ d'où l'on tire V₁ ,et ensuite V₂ en permutant les indices :

V_{1}=V{\frac {TP_{2}-T_{2}P}{T_{1}P_{2}-T_{2}P_{1}}}

et

V_{2}=V{\frac {T_{1}P-TP_{1}}{T_{1}P_{2}-T_{2}P_{1}}}=V_{1}\ {\frac {T_{1}P-TP_{1}}{TP_{2}-T_{2}P}}

On peut aussi exprimer V₁ en fonction de V₂ et V en fonction de V₁ ou de V₂ .Toute recherche de deux volumes d'un mélange dont les trois titres sont connus trouve ici sa solution. Les calculs sont simplifiés en cas de dilution dans l'eau puisque T₂ est nul.

Exemple : pour remonter à 55° 1 litre d'alcool à 20° avec de l'alcool à 90° on va exprimer V₁^{[note 1]} et V en fonction de V₂ :

$\textstyle V_{1}={\frac {0,55\times 97356\ -\ 0,2\times 91996}{0,9\times 91996\ -\ 0,55\times 82918}}=0,945\ litre\textstyle$ et $\textstyle V={\frac {0,9\times 97356\ -\ 0,2\times 82918}{0,9\times 91996\ -\ 0,55\times 82918}}=1,910\ litre\textstyle$

On obtient également V en reportant 0,9450 dans l'expression de TV ou de PV.

Si l'on opère à 15 °C, le litre d'alcool à 20° devient 0,998 litre^{[note 2]} ; il faut le mélanger à 0,940 litre^{[note 3]} d'alcool à 90° pour obtenir 1,902 litre^{[note 4]} d'alcool à 55°.

Le coefficient de dilatation cubique du verre Pyrex est 0,00001/°C mais celui du polyméthylpentène est trente-quatre fois plus grand ; à 15 °C il faut mesurer 0,94 x 1,0017 = 0,942 litre d'alcool 1 dans un récipient en P.M.P gradué pour 20 °C.

La contraction rapportée à V est $\textstyle {\frac {V_{1} V_{2}}{V}}-1\textstyle$ et $\textstyle 1-{\frac {V}{V_{1} V_{2}}}\textstyle$ rapportée à V₁ V₂ ; c'est-à-dire à 20 °C, $\textstyle 1-{\frac {T_{1}P_{2}\ -\ T_{2}P_{1}}{T(P_{2}-P_{1})\ \ P(T_{1}-T_{2})}}\ \ <0,04\ ou\ 4\%\textstyle$

La très petite “contraction” d'un mélange d'alcools faibles peut être négative : le changement de courbure du graphe de Ρ de T explique cela. S'il n'y avait ni retrait ni expansion la courbe serait droite.

Calcul d'un volume et d'un titre

Si on cherche un volume et un titre il faut appliquer une méthode itérative ; c'est-à-dire évaluer le volume au moyen de l'approximation V = V₁ V₂ ,puis le titre approché avec l'expression de TV et, avec la table, la masse volumique. En déduire une meilleure évaluation du volume avec l'expression de PV et continuer jusqu'à obtenir deux valeurs du titre égales à l'incertitude près (au mieux 0,05° si les composants du mélange sont titrés à l'alcoomètre).

Exemple : à 20 °C, que faut il verser dans une bonbonne de dix litres à moitié pleine d'alcool à 70° pour la remplir d'alcool à 45° ?

V₂ = 5 . . . . . T₂ = 20 . .. . P₂ = 97356 ←- (ne serait-ce pas le titre d'un alcool à 20% au lieu de celui de 70% (88556)) ?

V₂ = 5,1025 . T₂ = 19,60 . P₂ = 97399

V₂ = 5,1003 . T₂ = 19,61 . P₂ = 0,97398 kg/l et on retient 5,100 litres à 19,6°.

Si l'on préfère peser l'alcool 2 de masse P₂V₂ = 4,968 kg, la masse lue en kilogramme entre 9 et 31 °C est, sous pression normale,

{V_{2}}\times {\frac {P_{2}-0,0012}{1-{\frac {0,0012}{P_{poids}}}}}

Elle vaut 4,962 kg si on compte 7 kg/l pour les poids.

À 20 °C on peut aussi mélanger les cinq litres à 70° avec cinq litres à 20° et attendre le refroidissement à 20 °C pour ajuster en une ou deux fois le volume avec de l'eau.

Notes et références

OIML, Tables alcoométriques internationales : Recommandation R22-fr, 1975 (lire en ligne)

Notes

↑ L'indice 1 signale l'alcool le plus fort
↑ 0,998 est égal à masse volumique à 20 °C / masse volumique à 15 °C = 97356 / 97524
↑ 0,940 est égal à 0,945 x 82918 / 83350
↑ 1,902 est égal à 1,91 x 91996 / 92384

Articles connexes

[1] L'indice 1 signale l'alcool le plus fort

[2] 0,998 est égal à masse volumique à 20 °C / masse volumique à 15 °C = 97356 / 97524

[3] 0,940 est égal à 0,945 x 82918 / 83350

[4] 1,902 est égal à 1,91 x 91996 / 92384

[note 1]

[note 2]

[note 3]

[note 4]