Matrice de Sylvester

En algèbre linéaire, la matrice de Sylvester de deux polynômes apporte des informations d'ordre arithmétique sur ces polynômes. Elle tient son nom de James Joseph Sylvester. Elle sert à la définition du résultant de deux polynômes.

Définition

Soient p et q deux polynômes non nuls, de degrés respectifs m et n

$p(z)=p_{0} p_{1}z p_{2}z^{2} \cdots p_{m}z^{m},\;q(z)=q_{0} q_{1}z q_{2}z^{2} \cdots q_{n}z^{n}.$

La matrice de Sylvester associée à p et q est la matrice carrée $(n m)\times (n m)$ définie ainsi :

• la première ligne est formée des coefficients de p, suivis de zéros

  ${\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$ ;

• la seconde ligne s'obtient à partir de la première par permutation circulaire vers la droite ;
• les n – 2 lignes suivantes s'obtiennent en répétant la même opération ;
• la ligne n 1 est formée des coefficients de q, suivis de zéros

  ${\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$ ;

• les m – 1 lignes suivantes sont formées par des permutations circulaires.

Ainsi dans le cas m = 4 et n = 3, la matrice obtenue est

$S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}.$

Le déterminant de la matrice de p et q est appelé déterminant de Sylvester ou résultant de p et q.

Remarque : si m = 0 (p constant), alors la matrice n'a aucune ligne formée des coefficients de q ; c'est la matrice scalaire p₀ Id_n. De même, si n = 0, c'est la matrice q₀ Id_m. Si m = n = 0 (p et q constants), la matrice de Sylvester est la matrice vide donc le résultant de p et q vaut 1.

Applications

L'équation de Bézout d'inconnues les polynômes x (de degré < n) et y (de degré < m)

$xp yq=0$

peut être réécrite matriciellement

$(S_{p,q})^{t}{\begin{pmatrix}{\tilde {x}}\\{\tilde {y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

dans laquelle t désigne la transposition, ${\tilde {x}}$ est le vecteur de taille n des coefficients du polynôme x (dans l'ordre décroissant), et ${\tilde {y}}$ le vecteur de taille m des coefficients du polynôme y.

Ainsi le noyau de la matrice de Sylvester donne toutes les solutions de cette équation de Bézout avec $\deg x<\deg q$ et $\deg y<\deg p$.

Le rang de la matrice de Sylvester est donc relié au degré du PGCD de p et q.

$\deg(\mathrm {pgcd} (p,q))=m n-\mathrm {rang} ~S_{p,q}.$

Notamment, le résultant de p et q est nul si et seulement si p et q ont un facteur commun de degré supérieur ou égal à 1.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sylvester matrix » (voir la liste des auteurs).