Groupe opposé

En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, un groupe opposé est une manière de construire un groupe à partir d'un autre en renversant l'ordre de son opération interne.

Plus précisément, si (G,*) est un groupe, on peut définir une autre opération interne sur G en posant

g*_{\text{op}}g':=g'*g

pour tous éléments g et g' de G. Cela définit un groupe (G,*_op) appelé groupe opposé^[1] du groupe G.

Propriétés

(G,*) et (G,*_op) ont le même élément neutre.
Le symétrique d'un élément g de G est le même pour la loi * ou la loi *_op.
Le groupe opposé du groupe opposé de G est G lui-même.
Un groupe est égal à son groupe opposé si et seulement s'il est commutatif.
G est toujours isomorphe à son groupe opposé via l'application g ↦ g^-1 qui est un antiautomorphisme.
La notion de groupe opposé permet d'éclaircir les rapports entre actions à gauche et actions à droite d'un groupe sur un ensemble.

↑ N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, ch. I, § 4, n^o 1; Paris, Hermann, 1970, p. 29.