Force de marée

La force de marée est une force qui s'exerce cycliquement sur les couches superficielles de deux corps célestes qui tournent autour du centre d'inertie du système, et qui est à l'origine des marées (sur Terre, les marées océaniques, atmosphériques et terrestres). Elle résulte du déséquilibre entre la force d'attraction gravitationnelle des deux corps et la force d'inertie d'entraînement due au mouvement de révolution.

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La comète Shoemaker-Levy 9 en 1994 après avoir été brisée par les forces de marée de Jupiter au cours d’un passage précédent, en 1992.

Principe

Principe de base

Les forces d'attraction qu'exerce l'astre 1 sur les astres 2 et 3, notées F_1/2 et F_1/3, peuvent se décomposer en une composante moyenne F et une composante différentielle f_1/2 et f_1/3. Cette composante différentielle tend à éloigner les astres 2 et 3 (haut) ou à les rapprocher (bas).

Imaginons deux masses d'un même côté d'un astre et alignées sur la direction de cet astre qu'on nommera par la suite « primaire » (mais qui n'est pas forcément le plus massif des trois), qui les attire. En vertu de la loi d'attraction universelle, la plus proche de l'astre sera plus attirée que l'autre et tendra donc à s'en séparer. Imaginons maintenant une autre configuration où la ligne qui joint les deux masses est perpendiculaire à la ligne qui va de leur centre de masse à l'astre. Les forces d'attraction ont des directions convergentes (vers l'astre) ; ainsi les masses auront une tendance à se rapprocher. Ainsi, l'astre primaire sera à la fois responsable du mouvement accéléré de l'ensemble des deux masses, plus précisément de leur centre de masse, mais aussi responsable de forces qui régissent le mouvement relatif de ces deux masses et qu'on appelle forces de marée. La force de marée est donc une interaction gravitationnelle indirecte entre ces masses induite par un ou plusieurs astres primaires.

L'expression exacte de cette force de marée sera dérivée plus loin. Le résultat essentiel, dans le cas le plus fréquent où une des masses, par exemple la Terre, est beaucoup plus grande que l'autre, par exemple une petite masse d'eau de l'océan ou un satellite de la Terre, et où la distance qui les sépare est beaucoup plus petite que la distance à l'astre primaire (la distance Terre-Lune par exemple), est que dans la configuration alignée cette force de marée est « centrifuge » et a pour intensité

2\mathrm {G} \,m\,\mathrm {M_{L}} r/\mathrm {R} ^{3}

où r est la distance de la masse d'eau au centre de la Terre, m la masse d'eau, R la distance Terre Lune (la Lune est l'astre primaire ici), $\mathrm {M_{L}}$ la masse de la Lune, et G la constante universelle de la gravitation. Dans l'autre configuration envisagée, la force de marée est « centripète » et deux fois moins intense.

Cette force de marée, s'exerçant entre les constituants d'un satellite (dans ce cas, les deux masses considérées sont parties intégrantes d'un seul et même corps), tend à le déformer, voire parfois à le briser (voir la photographie de la brisure de la comète Shoemaker-Levy 9 par les forces de marée dues à Jupiter) lorsque la force de marée centrifuge l'emporte sur l'interaction gravitationnelle directe des deux parties ou sur les forces de cohésion de ces mêmes parties (voir ci-dessous la sous-section sur la limite de Roche).

Dans le cas où ce satellite a une rotation propre non synchrone avec sa révolution autour de l'astre, la déformation périodique qui en résulte est responsable des marées océaniques et/ou terrestres. De plus cette déformation périodique entraîne, par le biais des forces de friction, un échauffement du satellite. Ces forces de friction sont aussi à l'origine d'un couple qui tend à synchroniser sa rotation propre et sa révolution autour de l'astre, comme c'est déjà le cas pour la Lune qui nous montre toujours la même face. Ce même phénomène est également responsable du ralentissement progressif de la rotation de la Terre d'environ 2 ms/siècle. Ces forces de friction sont enfin responsables de la modification de l'orbite, le satellite pouvant s'écraser sur l'astre ou, au contraire, s'en éloigner comme c'est le cas pour l'orbite de la Lune qui s'éloigne d'environ 4 cm par an de la Terre.

Expression détaillée de la force de marée

Notons m₁ et m₂ les masses des objets soumis à marée et ${\vec {\mathrm {F} }}_{1}$ et ${\vec {\mathrm {F} }}_{2}$ les forces exercées par l'astre primaire sur chacune d'elles. L'étude du mouvement relatif se fait dans un référentiel centré au centre de masse des deux masses, noté CM, et dont les axes sont fixes par rapport aux étoiles. Le mouvement d'ensemble des deux masses est régi par la force résultante

{\vec {\mathrm {F} }}_{1} {\vec {\mathrm {F} }}_{2}

et son CM possède l'accélération

({\vec {\mathrm {F} }}_{1} {\vec {\mathrm {F} }}_{2})/(m_{1} m_{2})

.

Ce référentiel n'est pas galiléen ; aussi à la force d'attraction, on doit ajouter la force d'inertie qui est l'opposé du produit de la masse par l'accélération. Ainsi la force de marée sur la masse 1 dans ce référentiel non galiléen est

{\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {t} }={\vec {\mathrm {F} }}_{1}-m_{1}{\frac {{\vec {\mathrm {F} }}_{1} {\vec {\mathrm {F} }}_{2}}{m_{1} m_{2}}}={\frac {m_{2}{\vec {\mathrm {F} }}_{1}-m_{1}{\vec {\mathrm {F} }}_{2}}{m_{1} m_{2}}}=-{\frac {\mathrm {G} \,m_{1}m_{2}\mathrm {M} }{m_{1} m_{2}}}\left({\frac {{\vec {r}}_{1}}{r_{1}^{3}}}-{\frac {{\vec {r}}_{2}}{r_{2}^{3}}}\right)=-{\frac {\mathrm {G} \,m_{1}\mathrm {M} }{1 m_{1}/m_{2}}}\left({\frac {{\vec {r}}_{1}}{r_{1}^{3}}}-{\frac {{\vec {r}}_{2}}{r_{2}^{3}}}\right)

avec l'indice t pour tide (marée en anglais), et l'expression opposée pour la masse 2. Dans la dernière expression^[1], on a utilisé l'écriture de la force gravitationnelle sur la masse 1

{\vec {\mathrm {F} }}_{1}=-\mathrm {G} \,m_{1}\mathrm {M} {\vec {r}}_{1}/r_{1}^{3}

où ${\vec {r}}_{1}$ est le vecteur qui part du CM de l'astre primaire et se termine au CM de la masse 1.

Dans la majorité des situations, le rapport m₁/m₂ est petit et c'est pourquoi $1 m_{1}/m_{2}\approx 1$ dans l'expression ci-dessus, ce qui fait disparaitre la masse m2 de l'expression. C'est le cas en particulier de la force de marée induite par la Lune entre la Terre (masse m₂) et une masse d'eau de l'océan (masse m₁) ou un fragment de la croûte terrestre ou un satellite artificiel de la Terre. Alors le centre de masse 1-2 est celui de la masse m₂ et on notera ${\vec {r}}_{2}=-{\vec {\mathrm {R} }}$ le vecteur qui va de l'astre primaire au CM de la masse lourde et ${\vec {r}}$ le rayon vecteur entre les deux masses, comme sur la figure. On posera

m₁ = m

et

{\vec {r}}_{1}=-{\vec {\mathrm {R} }} {\vec {r}}

.

L'expression de la force de marée devient

{\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {t} }=-\mathrm {G} \,m\,\mathrm {M} \left({\frac {-{\vec {\mathrm {R} }} {\vec {r}}}{(\mathrm {R} ^{2}-2\,{\vec {r}}{\vec {\mathrm {R} }} r^{2})^{3/2}}}-{\frac {-{\vec {\mathrm {R} }}}{\mathrm {R} ^{3}}}\right)

On s'intéresse aux situations où r/R est très petit et où on peut utiliser le développement limité

(1 \varepsilon )^{\alpha }=1 \alpha \,\varepsilon  \mathrm {O} (\varepsilon ^{2})

(α = -3/2), ce qui donne

{\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {t} }=-{\frac {\mathrm {G} \,m\,\mathrm {M} }{\mathrm {R} ^{3}}}\left((-{\vec {\mathrm {R} }} {\vec {r}})\left(1 {\frac {3{\vec {r}}{\vec {\mathrm {R} }}}{\mathrm {R} ^{2}}} \mathrm {O} ((r/\mathrm {R} )^{2})\right) {\vec {\mathrm {R} }}\right)

Le premier terme non négligeable est la force de marée représentée en direction et intensité sur la figure^[2]

{\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {t} }=-{\frac {\mathrm {G} \,m\,\mathrm {M} }{\mathrm {R} ^{3}}}\left({\vec {r}}-3\,{\vec {\mathrm {R} }}\left({\frac {{\vec {r}}{\vec {\mathrm {R} }}}{\mathrm {R} ^{2}}}\right)\right).

La force de marée induite par la Lune, astre primaire, qui régit le mouvement relatif du satellite S par rapport à la Terre est représentée en rouge en direction et en intensité par les flèches. Notons la symétrie par rapport au centre de la Terre.

Évidemment, la force de marée exercée par la masse m sur M est l'opposée ; cependant ces forces n'ont pas le même support et elles engendrent un couple qui tend à aligner les trois astres. Notons, et ce n'est pas du tout intuitif, que les forces sont opposées pour deux points opposés de la masse M (par exemple l'un plus proche de l'astre primaire, l'autre plus loin du côté opposé ce qui explique le caractère semi-diurne de nos marées), et correspondent à des forces centrifuges maximales lorsque les trois masses sont alignées ${\vec {r}}\cdot {\vec {\mathrm {R} }}=\pm r\mathrm {R}$ d'intensité $2\mathrm {G} m\mathrm {M} r/\mathrm {R} ^{3}$ et à des forces centripètes d'intensité deux fois plus faibles dans le plan équatorial à cette ligne c’est-à-dire ${\vec {r}}\cdot {\vec {\mathrm {R} }}=0$ .

On peut reprendre pas à pas le même raisonnement dans le cas où il y a plusieurs astres primaires induisant une action gravitationnelle indirecte entre les masses 1 et 2 pour montrer que la force de marée totale est la somme vectorielle des forces de marée dues à chaque astre avec une intensité qui va comme le rapport M/R³ de chaque astre primaire. C'est ainsi que les forces de marées sur et au voisinage de la Terre, dues au Soleil représentent la moitié de celles dues à la Lune (le Soleil est situé beaucoup plus loin que la Lune mais sa masse est beaucoup plus importante).

Limite de Roche

Article détaillé : Limite de Roche.

La force de marée centrifuge dans le cas où les deux masses et l'astre primaire sont alignés peut dépasser l'attraction gravitationnelle directe entre les deux masses. Imaginons par exemple que l'astre primaire soit une planète de masse volumique constante ρ_P, de rayon R_P donc de masse

M_{P}={\frac {4\,\pi }{3}}\,\rho _{P}\,R_{P}^{3}

,

que la masse m₂ soit un satellite naturel de rayon R_S fait de matière de masse volumique ρ_S donc de masse

m_{2}=M_{S}={\frac {4\,\pi }{3}}\,\rho _{S}\,R_{S}^{3}

.

À la surface du satellite sur une masse test m₁ = m, la force centrifuge de marée due à la planète est égale, ainsi que nous l'avons vu, à

\mathrm {F_{t}} =2\mathrm {G} m\mathrm {M_{P}} \mathrm {R_{S}} /d^{3}

où d est la distance du satellite à sa planète. Quant à la force d'attraction gravitationnelle que le satellite exerce sur la masse test, elle vaut, en vertu de la loi de Newton

\mathrm {F_{a}} =\mathrm {G} \,m\,\mathrm {M_{S}} /\mathrm {R_{S}} ^{2}

.

Tant que la force de marée est inférieure à la force d'attraction, la masse test reste liée au satellite ; dès qu'elle devient supérieure la masse test est arrachée. Il existe une limite d_R de la distance de la planète au satellite, appelée limite de Roche^[3], donnée par

F_t = F_a

en deçà de laquelle le satellite se brise sous l'effet de la force de marée. Le calcul de cette limite est immédiat :

\mathrm {d_{R}} =\mathrm {R_{P}} \left({\frac {2\rho _{\mathrm {P} }}{\rho _{\mathrm {S} }}}\right)^{1/3}

.

Marées océanique et terrestre

Cette force de marée due à la Lune et au Soleil entre la Terre et une masse d'eau de l'océan modifie périodiquement la surface du globe qui tourne sur lui-même, ce qui se traduit par les marées océaniques. Mais il en est de même pour un fragment de la croûte terrestre bien que solide ; ce phénomène constitue les marées terrestres. Il en résulte une déformation périodique de la surface de la Terre et des océans.

Pour estimer l'ordre de grandeur de cette déformation, imaginons le géoïde terrestre comme une goutte liquide statique. Sa surface doit être une équipotentielle de la somme des potentiels gravitationnel, centrifuge (rotation propre de la Terre) et de marée. Si on ne prend pas en compte ce potentiel de marée, cette équipotentielle est un ellipsoïde de révolution étudié par Maclaurin. À une altitude z au-dessus de cet ellipsoïde, le potentiel est g z où g est l'accélération locale de la pesanteur.

Il est facile de vérifier que le potentiel dont dérive la force de marée ${\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {t} }=-m\;{\vec {\nabla }}\mathrm {V_{t}}$ (avec $m$ la masse du point matériel considéré) est donné par

\mathrm {V_{t}} ({\vec {r}})={\frac {\mathrm {G} \mathrm {M} }{2\mathrm {R} ^{3}}}\left(r^{2}-3\left({\frac {{\vec {r}}{\vec {\mathrm {R} }}}{\mathrm {R} }}\right)^{2}\right)

En prenant la Lune comme seul astre primaire (R est la distance Terre-Lune), l'équation de l'équipotentielle qui détermine la forme de la surface d'une goutte liquide est

gz {\frac {\mathrm {G} \mathrm {M_{L}} }{2\mathrm {R} ^{3}}}\left(r^{2}-3({\vec {r}}{\vec {\mathrm {R} }}/\mathrm {R} )^{2}\right)=\mathrm {Cste}

Il existe deux points de la surface ( $r\simeq \mathrm {R_{T}}$ ) du globe sur la droite partant du centre de la Terre vers la Lune ( ${\vec {r}}$ parallèle à ${\vec {\mathrm {R} }}$ ) où la force de marée est maximale, centrifuge. Il existe une ligne de points, intersection du globe avec un plan perpendiculaire à cette droite passant par le centre de la Terre, tels que ${\vec {r}}$ perpendiculaire à ${\vec {\mathrm {R} }}$ . Ainsi, en notant z_h et z_b les altitudes pour ces deux situations, l'égalité des potentiels s'écrit, en admettant que l'accélération locale de la pesanteur reste inchangée,

gz_{\mathrm {h} } {\frac {\mathrm {G} \mathrm {M_{L}} }{2\mathrm {R} ^{3}}}\left(r^{2}-3(r\mathrm {R} /\mathrm {R} )^{2}\right)=gz_{\mathrm {b} } {\frac {\mathrm {G} \mathrm {M_{L}} }{2\mathrm {R} ^{3}}}r^{2}

La différence d'altitude maximale z_h - z_b (marnage) due à la marée est de

(3\mathrm {G} \mathrm {M_{L}} \mathrm {R_{T}} ^{2})/(2g\mathrm {R} ^{3})

,

soit, tenant compte de la relation

g=\mathrm {G} \mathrm {M_{T}} /\mathrm {R_{T}} ^{2}

,

environ

(3\mathrm {M_{L}} \mathrm {R_{T}} ^{4})/(2\mathrm {M_{T}} \mathrm {R} ^{3})

.

Cette valeur vaut 0,5 m ; si on tient compte en plus de l'action du Soleil dans une configuration où Terre-Lune-Soleil sont alignés (syzygie) cette valeur monte à 0,75 m. La valeur réelle des marées océaniques diffère considérablement de cette valeur.

L'explication de cette différence repose sur de nombreuses considérations. Il y a d'abord un phénomène complexe de résonance. La période propre des océans est relativement longue, environ 30 heures. Cela veut dire que si la Lune disparaissait soudain, le niveau des océans oscillerait avec une période de 30 heures et une amplitude décroissant progressivement jusqu'à ce que l'énergie emmagasinée soit dissipée (cette valeur de 30 h est fonction uniquement de la gravité terrestre et de la profondeur moyenne des océans, on peut consulter l'article Tsunami). La Lune stimule les océans avec une période d'environ 12 heures 25 minutes, la moitié du jour lunaire. Cette différence entre la période de la stimulation et la période propre d'oscillation explique le retard de marée d'environ six heures, c'est-à-dire que la marée basse se produit quand la Lune culmine supérieurement ou inférieurement, un résultat tout à fait opposé à l'intuition commune.

Entre en cause ensuite la topographie : avec une configuration en entonnoir (l'ensemble Manche/baie du mont Saint-Michel est l'un des exemples les plus fameux), l'effet de la marée est localement amplifié. Inversement, une mer fermée comme la Méditerranée connaît des marées faibles.

La période propre d'oscillation de la croûte terrestre est d'environ 57 minutes, beaucoup plus petite que la période de stimulation de marée ; aussi la marée terrestre est-elle en phase avec la Lune. Son amplitude est de l'ordre de quelques dizaines de centimètres.

Déjà bien connue des Grecs, qui avaient observé la variation de débit des sources liée aux phases de la Lune, cette marée terrestre d'environ 25 cm a, un moment, troublé les physiciens du CERN dans l'analyse de leurs résultats. Elle modifiait la trajectoire des particules tournant dans cet immense accélérateur avec une périodicité anormale. Il n'y a cependant, pour le moment, aucune preuve que ce mouvement imperceptible de la croûte terrestre soit lié aux déclenchements de tremblements de terre^[4].

Une conséquence de cette déformation est la dissipation de marée^[5]. Cette déformation a priori dans la direction de l'axe Terre-Lune, pratiquement fixe (un tour en 28 jours) est entraînée par la rotation de la Terre par des forces de friction et par la présence des continents. Cela a deux conséquences : la friction diminue la vitesse de rotation et la Lune s'éloigne de la Terre. En effet, la résultante des forces d'attraction de la Terre déformée par la Lune n'est plus sur l'axe Terre-Lune mais légèrement entrainée par la rotation propre de la Terre. Il y a donc une force infime qui accélère la Lune pour la libérer.

Marées extraterrestres

Systèmes planète-satellite

Comme la Lune, les planètes et leurs satellites subissent des forces de marée, avec trois effets :

évolution de la période de rotation du satellite, vers la période de révolution (ou vers une résonance spin-orbite différente de 1:1, quand l'orbite est suffisamment excentrique) ;
évolution de la période de rotation de la planète, vers la période de révolution ;
évolution de la distance planète-satellite : accroissement si la période de révolution est supérieure à la période de rotation de la planète, diminution dans le cas contraire.

On remarquera que les deux premières évolutions tendent vers un équilibre (synchronisation ou résonance), mais que la troisième s'éloigne de l'équilibre : si le satellite est plus éloigné que la distance à laquelle la période de révolution serait égale à la période de rotation de la planète, il s'éloigne encore plus (orbite super-synchrone) ; s'il est plus proche il se rapproche encore (orbite sous-synchrone).

Exemples :

de nombreux satellites des planètes et des planètes mineures sont en rotation synchrone, dont la Lune, Phobos, Déimos et Charon ;
la planète naine Pluton est en rotation synchrone (Charon et Pluton se présentent mutuellement toujours la même face) ;
des deux satellites de Mars, l'un (Déimos) s'éloigne et sera sans doute perdu par Mars dans le futur, l'autre (Phobos) se rapproche et finira par s'écraser sur Mars (après s'être disloqué lors du passage par la limite de Roche).

Les forces de marée sont à l'origine de courants dans les liquides et de déformations dans les solides, auxquels s'opposent des frottements (surtout dans les liquides) qui engendrent un échauffement. On attribue à cet échauffement le volcanisme et plus généralement l'intense activité géologique de Io, un satellite de Jupiter dont on pense qu'il comporte un océan magmatique au-dessous de sa croûte silicatée.

Systèmes satellite-satellite

Deux satellites d'une même planète peuvent exercer mutuellement des forces de marée. Les effets de ces forces mutuelles sont normalement plus faibles que ceux résultant des forces dues à la planète, mais ils peuvent leur être supérieurs en présence d'une résonance entre les périodes orbitales des deux satellites. C'est ce qui a été suggéré pour Io, Europe et Ganymède (trois des quatre satellites galiléens de Jupiter), en résonance 4:2:1 et sensibles aux marées en raison de la présence d'un océan d'eau sous la croûte de glace^[6]^,^[7].

Systèmes Soleil-planète

Comme une planète et l'un de ses satellites, le Soleil et l'une de ses planètes ou planètes mineures exercent mutuellement des forces de marée.

Exemples :

sur Terre la marée d'origine solaire est nettement sensible, d'amplitude moitié moindre environ que celle d'origine lunaire ;
sous l'effet des forces de marée d'origine solaire, Mercure a acquis une période de rotation en résonance 3:2 avec sa période de révolution.

Systèmes planète-planète

Comme pour les satellites d'une même planète, les planètes du Système solaire exercent en principe des forces mutuelles de marée, mais elles sont extrêmement faibles. On a émis l'hypothèse que la quasi synchronisation dans un rapport 5:1 de la période synodique de Vénus (par rapport à la Terre, donc) et de son jour solaire était due aux forces de marée, mais il est plus probable que ce soit une coïncidence non permanente^[8]^,^[9]^,^[10].

Trous noirs

Le cas le plus spectaculaire est celui d’un objet en orbite proche autour d’un trou noir stellaire (ou encore d’une étoile à neutrons). La masse proprement astronomique du trou noir et sa petite taille autorisent un corps (une étoile ou une planète) à s’en approcher beaucoup et alors la différence de force gravitationnelle entre les deux faces de l’objet est gigantesque. Cet écart est tel que tout corps un tant soit peu volumineux est déchiqueté par la force de marée. C’est ce qui explique le commentaire qui accompagne toujours les descriptions de ce qui arriverait à un vaisseau spatial qui plongerait dans un trou noir stellaire : il serait détruit par les forces de marée avant même d’en avoir atteint l’horizon.

Cependant, à l’extérieur du trou noir, l’effet diminue au fur et à mesure que sa masse augmente. Dans le cas d’un trou noir galactique, dont la masse se mesure en millions de masses solaires, le rayon de l’horizon est suffisamment grand pour que la force de marée à ses environs soit sans danger pour un être humain qui se trouverait là.

En effet, l’amplitude des effets de marées subi par un corps de taille a situé à une distance d d’une masse M s’écrit comme le produit du gradient du champ gravitationnel par la taille de l’objet, soit :

g_{\mathrm {m} }\simeq {\frac {\mathrm {G} \mathrm {M} a}{d^{3}}}

où G est la constante de Newton. Pour un être humain (où a vaut de l’ordre d’un mètre), la valeur maximale de g_m supportable est de l’ordre de l’accélération de la pesanteur terrestre g ; cela correspond à une situation où une personne suspendue par les mains serait lestée d’une masse de l’ordre de 100 kilogrammes, au-delà, elle serait écartelée. Cela correspond donc à la contrainte :

{\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {M_{T}} }}<{\frac {d^{3}}{a\mathrm {R_{T}} ^{2}}}

où M_T et R_T correspondent à la masse et le rayon de la Terre.

Pour un trou noir, la taille R de l’horizon est donnée approximativement par la formule

\mathrm {R} \simeq {\frac {\mathrm {G} \mathrm {M} }{c^{2}}}

.

Pour un observateur traversant l’horizon (d = R), la contrainte devient :

\mathrm {M} >{\frac {c^{3}}{\mathrm {G} }}{\sqrt {\frac {a}{g}}}

soit de l’ordre de la centaine de milliers de masses solaires. Pour un trou noir plus massif, comme un trou noir galactique, il est donc possible de passer l’horizon sans dommage.

Notes et références

↑ Si la masse n'est pas isotrope il y a des termes correctifs proportionnel à $r_{1}^{-4}$ , négligeables dans la plupart des situations.
↑ Une manière rapide, mais qui n'explique rien, de dériver cette expression est d'écrire le potentiel gravitationnel total et de le développer en puissance de ${\vec {r}}{\vec {\mathrm {R} }}/\mathrm {R} ^{2}$ . On retrouve la force en prenant le gradient par rapport à ${\vec {r}}$ du terme d'ordre 2.
↑ avec une majuscule, il s'agit d'un nom propre et non pas du matériau.
↑ Laurent Métivier, « Les marées terrestres, la dynamique du manteau et la sismicité » [PDF], Géomatique Expert.
↑ Christian Buty, « Rotation de la terre sur elle-même et distance terre-lune », Comité de liaison enseignants et astronomes.
↑ (en) R. Fritts, « Jupiter’s ocean moons raise tidal waves on one another », Eos, vol. 101,‎ 20 août 2020 (DOI 10.1029/2020EO148166).
↑ (en) Hamish C. F. C. Hay, Antony Trinh et Isamu Matsuyama, « Powering the Galilean Satellites with Moon‐Moon Tides », Geophysical Research Letters, vol. 47, n^o 15,‎ 16 août 2020, article n^o e2020GL088317 (DOI 10.1029/2020GL088317).
↑ (en) Gold et Soter, « Atmospheric Tides and the Resonant Rotation of Venus », Icarus, vol. 11, n^o 3,‎ 1969, p. 356-366 (DOI 10.1016/0019-1035(69)90068-2, Bibcode 1969Icar...11..356G).
↑ (en) Shapiro, Campbell et De Campli, « Nonresonance Rotation of Venus », The Astrophysical Journal, vol. 230,‎ juin 1979, L123–L126 (DOI 10.1086/182975, Bibcode 1979ApJ...230L.123S).
↑ (en) Nicola Scafetta, « The complex planetary synchronization structure of the solar system », Duke University, Durham,‎ 2 mai 2014, p. 2 (lire en ligne).

Voir aussi

[1] Si la masse n'est pas isotrope il y a des termes correctifs proportionnel à $r_{1}^{-4}$ , négligeables dans la plupart des situations.

[2] Une manière rapide, mais qui n'explique rien, de dériver cette expression est d'écrire le potentiel gravitationnel total et de le développer en puissance de ${\vec {r}}{\vec {\mathrm {R} }}/\mathrm {R} ^{2}$ . On retrouve la force en prenant le gradient par rapport à ${\vec {r}}$ du terme d'ordre 2.

[3] vec une majuscule, il s'agit d'un nom propre et non pas du matériau.

[4] Laurent Métivier, « Les marées terrestres, la dynamique du manteau et la sismicité » [PDF], Géomatique Expert.

[5] Christian Buty, « Rotation de la terre sur elle-même et distance terre-lune », Comité de liaison enseignants et astronomes.

[6] (en) R. Fritts, « Jupiter’s ocean moons raise tidal waves on one another », Eos, vol. 101,‎ 20 août 2020 (DOI 10.1029/2020EO148166).

[7] (en) Hamish C. F. C. Hay, Antony Trinh et Isamu Matsuyama, « Powering the Galilean Satellites with Moon‐Moon Tides », Geophysical Research Letters, vol. 47, n^o 15,‎ 16 août 2020, article n^o e2020GL088317 (DOI 10.1029/2020GL088317).

[8] (en) Gold et Soter, « Atmospheric Tides and the Resonant Rotation of Venus », Icarus, vol. 11, n^o 3,‎ 1969, p. 356-366 (DOI 10.1016/0019-1035(69)90068-2, Bibcode 1969Icar...11..356G).

[9] (en) Shapiro, Campbell et De Campli, « Nonresonance Rotation of Venus », The Astrophysical Journal, vol. 230,‎ juin 1979, L123–L126 (DOI 10.1086/182975, Bibcode 1979ApJ...230L.123S).

[10] (en) Nicola Scafetta, « The complex planetary synchronization structure of the solar system », Duke University, Durham,‎ 2 mai 2014, p. 2 (lire en ligne).

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