Aallokemuunnos

Aallokemuunnos on 1980-luvulta lähtien yleistynyt sovelletun matematiikan menetelmä, jota hyödynnetään mm. digitaalisessa signaalinkäsittelyssä ja harmonisessa analyysissä. Se on korvaamassa monessa sovellutuksessa Fourier-muunnoksen. Toisin kuin Fourier-muunnoksessa, joka määrittelee signaalin jatkuvien trigonometristen funktioiden lineaarikombinaationa, aallokemuunnoksessa signaalin muodostavat osafunktiot ovat lokaaleja.

Aallokemuunnos tehdään suodattamalla syötesignaali käyttäen kantafunktiosta johdettujen aalloke- ja skaalausfunktioiden eri tavalla skaalattuja ja aika-avaruudessa siirrettyjä variaatioita.

Yleisesti käytössä on ns. diskreetti aallokemuunnos, jossa aallokkeiden skaalaus ja siirto määritellään diskreettien kokonaislukuparametrien avulla. On myös olemassa ns. jatkuva aallokemuunnos, jossa skaalaus- ja siirtoparametrit voivat olla mitä tahansa reaalilukuja.

Diskreetti aallokemuunnos

Olkoon $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$ aallokefunktio tai "äiti-aalloke". Sen muodostomaa funktioperhettä

$\lbrace \psi _{j,k}(x)={\sqrt {2}}^{j}\psi (2^{j}x-k):j\in \mathbb {Z} ,k\in \mathbb {Z} \rbrace$

kutsutaan aallokejärjestelmäksi, jonka avulla voidaan määritellä diskreetti aallokemuunnos:

${\mathcal {W}}(f)(j,k)=\langle f,\psi _{j,k}\rangle ,$

missä $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ on funktioavaruuden $L^{2}(\mathbb {R} )$ sisätulo. Aallokemuunnoksen arvoja $\langle f,\psi _{j,k}\rangle$ kutsutaan funktion $f$ aallokekertoimiksi. Fourier-muunnoksen tavoin niiden avulla on mahdollista analysoida funktion ominaisuuksia eri skaaloissa tai taajuuksilla, mutta lokaalisti: jokainen aalloke $\psi _{j,k}$ on keskitetty ainoastaan $\sim 2^{-j}$ pituiselle osalle avaruutta $\mathbb {R}$. Parametrin $j$ kasvaessa aallokkeiden koko pienenee ja niillä voidaan analysoida funktiota $f$ entistä pienemmillä väleillä, eli korkeammalla resoluutiolla.

Erityisen suosittuja ovat aallokefunktiot $\psi$, joiden muodostama aallokejärjestelmä on avaruuden $L^{2}(\mathbb {R} )$ (tai sen aliavaruuden) kanta. Tällaisia aallokeperheitä on vuosien mittaan kehitetty lukuisia. Esim. Alfréd Haarin kehittämä Haarin aalloke, Ingrid Daubechiesin kompaktikantajaiset aallokeperheet ja Jean Morletin kompleksilukuarvoinen Morlet-aallokke..

Kannan määritelmän mukaisesti kaikki avaruuden alkiot voidaan esittää kannan avulla. Aallokkeiden tapauksessa mikä tahansa $f\in L^{2}(\mathbb {R} )$ voidaan ilmaista sen aallokertoimien avulla:

$f(x)=\sum _{j\in \mathbb {Z} }\sum _{k\in \mathbb {Z} }\langle f,\psi _{j,k}\rangle \psi _{j,k}(x).$

Tällöin lineaarinen analyysioperaattori ${\mathcal {W}}:L^{2}(\mathbb {R} )\longrightarrow \ell ^{2}(\mathbb {Z} ^{2})$ on Hilbertin avaruuksien välinen unitaarinen operaattori, jonka käänteismuunnos (eli synteesioperaattori) on

${\mathcal {W}}^{-1}({\boldsymbol {c}})(x)=\sum _{j\in \mathbb {Z} }\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{j,k}\psi _{j,k}(x)$,

millä tahansa ${\boldsymbol {c}}=(c_{j,k})\in \ell ^{2}(\mathbb {Z} ^{2})$.

Kirjallisuutta

• Boggess, Albert; Narcowich, Francis J.: A First Course in Wavelets with Fourier Analysis. New Jersey, USA: John Wiley & Sons, 2015.

• Daubechies, Ingrid: Ten lectures on wavelets. Pennsylvania, USA: SIAM, 1992. ISBN 0-89871-274-2

• Mallat, Stéphane: A Wavelet Tour of Signal Processing. USA: Elsevier, 1999. ISBN 978-0-12-466606-1