Stokastinen prosessi

Stokastisilla prosesseilla tarkoitetaan ajassa sattumanvaraisesti eteneviä todellisuuden prosesseja kuvaavia matemaattisia prosesseja. Usein kyseessä on pisteen satunnaisen liikkeen tutkiminen jossakin sopivassa koordinaatistossa.

Tutkittaessa todellisuuden ilmiöitä törmätään tilanteisiin, joissa ilmiön kehityksen ennustaminen tarkasti ei ole mahdollista. Lentokoneen ennakoimattomat keinahtelut ilmassa, lintulajin kannanvaihtelut tietyssä biotoopissa, lämpötilan satunnaiset heilahtelut sääasemalla, geenin yleistyminen eliöpopulaatiossa tai yksittäisen molekyylin liike kaasusäiliössä muodostavat tällaisia prosesseja, joissa on enemmän tai vähemmän myös aivan sattumasta johtuvia tapahtumia. Mainitun tyyppisen ilmiön etenemistä ajan funktiona sanotaan stokastiseksi prosessiksi. Koska prosessin kulkuun liittyy satunnaisuutta, sitä tutkittaessa tarvitaan todennäköisyyslaskentaa.

Esimerkkejä stokastisista prosesseista ovat matemaattinen Brownin liike eli Wienerin prosessi, Poissonin prosessi, Cauchyn prosessi, Ornsteinin–Uhlenbeckin prosessi, Besselin prosessi, Bernoullin prosessi ja Huntin prosessi.

Edellä luetellut prosessit ovat Markovin prosesseja: ne alkavat joka hetki uudestaan eli eivät lainkaan muista menneisyyttään. Niiden tulevaisuuteen vaikuttaa vain nykyhetken tilanne eikä se, miten siihen on tultu. Markovin prosessit ovat laaja ja tärkeä stokastisten prosessien osa.

Esimerkki prosessista, joka ei ole Markovin prosessi, on satunnaiskulusta muokattu jatkuva prosessi, jossa piste liikkuu reaaliakselilla kokonaisluvun kohdalta aikayksikössä tasaisella nopeudella pituusyksikön verran oikealle tai vasemmalle. Sovimme, että kokonaisten aikayksikköjen hetkellä prosessi on aina kokonaisluvun kohdalla arpomassa "lanttia heittämällä" silmänräpäyksellisesti, kumpaan suuntaan mennä. Kun ajan hetki on esimerkiksi $t=2,5$ , prosessin tiedetään olevan joidenkin peräkkäisten kokonaislukujen välin keskellä. Kuitenkaan ei voida päätellä, onko se menossa oikealle vai vasemmalle, ellei "muisteta", missä se oli hiukan aiemmin. Prosessin jatkoon vaikuttavat siis myös hetkeä $t=2,5$ aiemmat tapahtumat, joten kyseessä ei ole Markovin prosessi.

Stokastiset prosessit esitetään matematiikassa usein niin, että ajatellaan prosessin kaikkien mahdollisten kulkureittien (polkujen) muodostavan yhden joukon. Sitten prosessin kulkemaa polkua seurataan ajan mukana. Prosessi valitsee jonkin tietyn mahdollisen polun sattumalta. Kuitenkaan polun "ollessa kesken" sen jatkoa ei voida vielä varmasti ennustaa. Polkuja on nimittäin niin paljon, että tähän asti kuljetulla polun alkupäällä on usein vielä ääretön määrä jatkomahdollisuuksia.

Toinen tapa esittää prosesseja on tulkita ne ajan t funktiona x(t). Tällöin x(t) on pisteen sijainti hetkellä t. Joskus tämä yhdistetään myös edellä käsiteltyyn prosessin kaikkien mahdollisten polkujen joukkoon merkitsemällä $x(t)=x(t,\omega )$ , jossa $\omega$ on prosessin tällä kerralla "valitsema" polku.

Markovin prosessin tapauksessa voidaan prosessin kulkua hallita joskus siirtymätodennäköisyyksien avulla. Kun prosessi on jollakin hetkellä pisteessä x ja sen sijainnin tiheysfunktio ajan $t$ kuluttua $p(t;x,y)$ , siirtymätodennäköisyys ajan $t$ kuluessa pisteestä $x$ alueeseen $A$ saadaan integroimalla $p(t;x,y)y$ :n suhteen alueen $A$ yli. Saatu integraali, siirtymätodennäköisyys $P(t;x,A)$ , kertoo, millä todennäköisyydellä prosessi löytyy ajan $t$ kuluttua alueesta $A$ , kun sen nykysijainti $x$ tunnetaan.