Oikeakeskipituinen tasoprojektio

YK:n tunnuskuvaan sisältyy likipitäen oikea­keskipituisen taso­projektion mukainen maailman­kartta pohjoisnapa keski­pisteenä.

Oikeakeskipituinen tasoprojektio on tasoprojektioiden luokkaan kuuluva karttaprojektio. Siinä kaikkien kartassa näkyvien pisteiden etäisyydet jostakin valitusta keski­pisteestä lukien ovat suoraan verrannolliset niiden todellisiin, maapallon iso­ympyröitä pitkin mitattuihin etäisyyksiin kyseisestä pisteestä, ja kaikki kartan pisteet ovat myös oikeassa suunnassa kyseisestä keski­pisteestä katsottuna eli niiden atsimuutti on oikea. Jos keskipisteeksi valitaan pohjois- tai etelänapa, pituuspiirit näkyvät kartassa suorina viivoina ja leveyspiirit ympyröinä, joiden etäisyydet navasta ovat oikeassa suhteessa.

Käyttö

Yhdistyneiden kansakuntien lipussa on kuvattuna oikeakeski­pituisen taso­projektion mukainen maailman­kartta pohjoisnapa keskipisteenä.

USGS käyttää oikea­keski­pituista taso­projektiota Yhdysvaltain kartastossa (National Atlas of the United States of America). sekä Mikronesian suurimittakaavaisissa kartoissa. Kartta­projektio soveltuu osoittamaan etäisyydet lento­teitse projektion kesk­ipisteestä luettuina, sekä seismologisiin ja radio­liikenteen tarkoituksiin.

Radion tapauksessa tämä projektio suo mahdollisen suunta-antennien asentamiseen, varsinkin käytettäessä HF-aaltoja tiedonsiirtoon. Antenni voidaan suunnata, tavallisimmin sähköisen roottorin avulla, yksin­kertaisesti etsimällä kartalta paikka, johon viesti on tarkoitus välittää ja kääntämällä antenni kartan osoittamaan kultaan. Kartta on tällöin laadittava niin, että sen keski­piste on mahdollisimman lähellä antennin todellista sijaintia.

Napakeskeistä oikeakeskipituista tasoprojektiota käytetään usein myös tähtikartoissa, erityisesti planisfääreissä.

On kuitenkin huomattava, että vain kartalla näkyvät oikein vain sen keskipisteestä mitatut etäisyydet ja suunnat sekä etäisyydet tämän keskipisteen kautta kulkevia suoria (maan pinnan isoympyröitä) pitkin. Kaikki muut etäisyydet vääristyvät. Alueiden pinta-alat ja muodot vääristyvät sitä enemmän, mitä kauempana ne ovat kyseisestä keskipisteestä.

Jotkin laajakulmaiset kameran linssit, joita sanotaan "kalansilmiksi", saavat aikaan oikeakeskipituisen tasoprojektion valokuvatusta näkymästä. Tällaiset linssit suovat mahdollisen paljon leveämpään näkökenttään kuin perspektiiviset linssit, joiden näkökenttä on aina paljon vähemmän kuin 180 astetta.

Historia

Oikeakeskipituista taso­projektiota on mahdollisesti käytetty jo muinaisessa Egyptissä eräissä pyhissä kirjoissa esiintyneissä tähtikartoissa. Varhaisin tunnettu kirjallinen teksti, jossa sitä kuvataan tarkemmin, on kuitenkin peräisin vasta Abu Rayha Birunilta 1000-luvulta.

Projektiota käytettiin usein renessanssiaikaisissa kartoissa. Gerhardus Mercator kuvasi vuonna 1569 laatimassaan kuuluisassa maailman­kartassa napaseudut erillisissä kartakkeissa tässä projektiossa. Ranskassa ja Venäjällä projektio tunnetaan nimellä Postelin projektio Guillaume Postelin mukaan, joka käytti sitä eräässä vuonna 1581 julkaistussa kartassa.

Tasoprojektioiden vertailua. Ylärivillä vasemmalta: orto­grafinen projektio, kolme eri etäisyyksiltä kuvattua perspektiivistä projektiota, gnomoninen projektio, stereografinen projektio sekä eri etäisyyksiltä vastakkaiselta puolelta kuvattua perspektiivistä projektiota. Alarivillä vasemmalla oikea­keski­pituinen tasoprojektio.

Matemaattinen määritelmä

Karttaprojektiota varten maan pinnalta on valittava jokin paikka kartan keski­pisteeksi, josta katsottuna etäisyydet ja atsimuutti kaikkiin muihin kohtiin kuvautuu oikein. Tämä piste, jonka leveysasteelle käytetään merkintää φ ja pituusasteelle merkintää λ, kuvautuu kartan keskipisteeseen. Kaikki muut tietyllä atsimuutilla olevat pisteet kuvautuvat tämän keskuksen kautta kulkevalle suoralle viivalle, ja kulma θ, jonka tämä suora muodostaa pysty­suoran kanssa, on atsimuuttikulma. Etäisyydelle keski­pisteestä toiseen annettuun pisteeseen käytetään merkintää ρ. Näin ollen maanpinnan piste, jonka atsimuutti keski­pisteestä katsottuna on θ ja etäisyys ρ, kuvautuu kartalle pisteeseen, jonka karteesiset koordinaatit ovat:

$x=\rho \sin \theta$

$y=-\rho \cos \theta$

Yhteys kartan keskipisteestä mitattujen koordinaattien (θ,ρ) sekä saman paikan leveys- ja pituusasteen (φ, λ) välillä voidaan laskea seuraavasti. Pallotrigonometrian mukaan maapallon isoympyrää pitkin mitattu pisteiden (φ₁, λ₀) ja (φ, λ) välinen etäisyys on:

$\cos \rho =\sin \varphi _{1}\sin \varphi \cos \varphi _{1}\cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right)$

Atsimuti ensimmäisestä pisteestä jälkimmäiseen on siis:

$\tan \theta ={\frac {\cos \varphi \sin \left(\lambda -\lambda _{0}\right)}{\cos \varphi _{1}\sin \varphi -\sin \varphi _{1}\cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right)}}$

Saadut arvot ρ ja θ osoittavat siis pisteen sijainnin kartalla napakoordinaateissa.

Jos keskipisteeksi valitaan pohjoisnapa, nämä lausekkeet yksinkertaistuvat muotoon:

:$\rho ={\frac {\pi }{2}}-\varphi$

$\theta =\lambda$

Aiheesta muualla

• Projection reference; Maps of Hemispheres and Continents (Tietoa kaikista yleisimmistä karttaprojektioista) Radical Cartography. Viitattu 18.11.2015.
• Online Azimuthal Equidistant Map Generator wm7d.net. Viitattu 18.11.2015.
• Map Projection: Azimutal Equidistant (Java-applet, jolla voidaan tutkia mittakaavan muuntumisia kartan eri osissa) uff.br. Arkistoitu 27.9.2007. Viitattu 18.11.2015.
• GeographicLib (ohjelmia, joilla voidaan muodostaa oikeakeskipituinen karttaprojektio keskipisteenä mikä tahansa kohta maan pinnalla) geographiclib.sourceforge.net.
• Azimutal Equidistant Projection The Globarine Network. Arkistoitu 19.11.2015. Viitattu 18.11.2015.
• Oikeakeskipituisen tasoprojektion mukainen sääkartta vallitsevista tuulista US National Weather Service.