Väli

Matematiikassa väli on (osittain tai täysin) järjestetyn joukon osajoukko, jonka alkiot sijaitsevat jonkin kahden kiinteän rajan välillä.

Määritelmä

Olkoon $(X,\leq )$ järjestetty joukko ja $a,b\in X$, missä $a<b\,$. Tällöin pisteiden a ja b välinen

• suljettu väli on joukko

$[a,b]=\{x\in X:a\leq x\leq b\},$

• avoin väli on joukko

$(a,b)=\{x\in X:a<x<b\},$

• oikealta puoliavoin väli on joukko

$[a,b)=\{x\in X:a\leq x<b\},$

• vasemmalta puoliavoin väli on joukko

$(a,b]=\{x\in X:a<x\leq b\},$

missä merkinnällä $<\,$ tarkoitetaan järjestyksen $\leq$ antamaa relaatiota: alkioilla $a,b\in X$ pätee $a<b\,$ jos ja vain jos $a\leq b$ ja $a\neq b$ .

Yleisesti joukko $\Delta \subset X$ on väli jos se voidaan kirjoittaa jollain edellä olevalla tavalla.

Päätepisteiden kuulumattomuus voidaan ilmaista myös väärinpäin kirjoitetuilla hakasulkeilla, esimerkiksi avoin väli on tällöin $]a,b[\ =\{x\in X:a<x<b\}$

Sovelluksia

Tunnettu esimerkki järjestetystä joukosta, jossa välien käyttö on osoittautunut erittäin hyödylliseksi on (laajennettu) reaaliakseli ${\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty \}\cup \{ \infty \}$ varustettuna tavallisella lukujen ja äärettömyyksien suurutta mittaavalla järjestyksellä. Tässä avaruudessa nimittäin voidaan välien helposti konstruoida topologioita avaruuteen $\mathbb {R}$ ja niille voidaan määritellä päätepisteiden etäisyyden avulla helposti geometrinen mitta. Täällä siis välit koostuvat niistä reaaliluvuista, jotka ovat jonkin kahden kiinteän luvun (tai /-äärettömän) välissä.

Esimerkiksi väli avoin väli $(0,1)\subset \mathbb {R}$ koostuu janasta nollasta yhteen, jossa päätepisteitä ei oteta mukaan ja vastaavasti $[0,1]$ samasta janasta, johon lisätään päätepisteet.

Joukossa $\mathbb {R}$ avoimet välit muodostavat kannan euklidiselle topologialle ja puoliavoimet välit muodostavat kannan niin sanotulle puoliavoimelle topologialle.

Tulovälit

Vaikka välin käsite on vahvasti sidoksissa joukon järjestykseen, välien käsite voidaan myös yleistää järjestettyjen joukkojen tuloavaruuksille. Tuloavaruuksiin ei voi yleisesti periyttää järjestystä tulon jäsenistä, kuten jo esimerkiksi tason $\mathbb {R} ^{2}$ käy.

Olkoon $(X_{j},\leq _{j})$ osittain tai täysin järjestettyjä joukkoja, missä $j\in J$ ja J jokin epätyhjä joukko. Tällöin joukko $A\subset \prod _{j\in J}X_{j}$ on tuloväli, jos on olemassa välit $\Delta _{j}\subset X_{j}$ siten, että

$A=\prod _{j\in J}\Delta _{j}.$

Esimerkiksi avaruudessa $\mathbb {R} ^{n}$ tulovälit (kutsutaan tässä tapauksessa myös n-välit) ovat n:n reaaliakselin välin tuloja eli eräänlaisia useampiulotteisia laatikoita (avaruudessa $\mathbb {R} ^{2}$ tulovälit ovat suorakaiteita ja avaruudessa $\mathbb {R} ^{3}$ tulovälit ovat särmiöitä).

Avaruudessa $\mathbb {R} ^{n}$ avoimien välien tuloina saadut tulovälit muodostavat avaruuden normitopologialle kannan.