Tulon derivoimissääntö

(Ohjattu sivulta Tulosääntö)

Tulon derivoimissääntö on matemaattinen kaava, jonka avulla voidaan laskea derivaatta funktiolle, joka sisältää derivoituvien funktioiden tulon.

Olkoot funktiot ja derivoituvia pisteessä . Tällöin funktio on derivoituva ja


.


Tulon derivoimissääntö voidaan kirjoittaa myös yksinkertaisempaan muotoon:


.


Todistus

muokkaa

Todistetaan tulon derivoimissääntö derivaatan matemaattisen määritelmän, erotusosamäärän raja-arvon, avulla. Tämän määritelmän mukaan

  .'


Olkoon funktio   derivoituva, ja todistetaan että


 


Ilmaistaan yhtälö   funktioiden   ja   avulla

 


Lisätään ja vähennetään termi   yhtälöön   ja järjestetään termit uudelleen:

 


 


Derivaatan määritelmän perusteella

 


ja

  .


Sen lisäksi nyt pätee

  ,


jolloin yhtälöstä   saadaan


  .

Esimerkkejä

muokkaa

Esimerkki 1

muokkaa

Derivoidaan ƒ(x) = x2 sin(x). Koska x2:n derivaatta on 2x ja sin(x):n derivaatta on cos(x), niin tulon derivoimissääntöä käyttämällä saadaan ƒ '(x) = 2x sin(x) x2cos(x).


Yleistyksiä

muokkaa

Useamman kuin kahden funktion tulo

muokkaa

Tulon derivoimissääntöä voidaan käyttää myös useamman kuin kahden funktion yhtälöille. Esimerkiksi kolmen funktion tulon derivaatta on

 


Korkeamman asteen derivaatat

muokkaa

Sääntö voidaan myös yleistää Leibnizin yleinen sääntö avulla n:n asteen derivaatalle:

 

Katso myös binomilause and binomikerroin.