Puristuskerroin

Puristuskerroin eli puristusmoduuli tai puristuvuuskerroin (tunnus $K$ tai $B$) (engl. Bulk modulus) on kullekin aineelle ominainen suure, joka osoittaa, kuinka suuri voima tarvitaan aineen puristamiseksi kokoon. Se määritellään paineen infinitesimaalisen pienen kasvun suhteena sen aikaansaamaan suhteelliseen tilavuuden muutokseen, toisin sanoen paineen muutoksen ja tilavuuden suhteellisen muutoksen raja-arvona muutoksen lähestyessä nollaa.

Uniforminen, kappaleeseen joka suunnasta kohdistuva puristus.

Puristuskerroin on yksi materiaalin ominaisuuksia kuvaavista elastisista kertoimista. Muut kertoimet kuvaavat toisentyyppisten jännitysten vaikutusta materiaaliin: liukumoduuli eli leikkauskerroin kuvaa leikkausjännityksen ja kimmo- eli Youngin moduuli lineaarisen jännityksen vaikutuksia. Fluideilla näistä vain puristuskerroin on merkityksellinen. Joidenkin ns. anisotrooppisten materiaalien kuten puun ja paperin ominaisuudet riippuvat oleellisesti myös suunnasta, minkä vuoksi nämä kolme kerrointa eivät riitä kuvaamaan erilaisten jännitysten vaikutuksia, vaan on käytettävä Hooken lain yleistettyä muotoa.

Määritelmä

Puristuskerroin $K>0$ voidaan muodollisesti määritellä yhtälöllä

$K=-V{\frac {dP}{dV}}$

missä $P$ on kappaleseen kohdistuva paine, $V$ sen tilavuus ja $dP/dV$ paineen derivaatta tilavuuden suhteen. Jos kappaleen massa on yhden yksikön suuruinen, saadaan:

$K=\rho {\frac {dP}{d\rho }}$

missä ρ on materiaalin tiheys, ja dP/dρ merkitsee paineen derivaattaa tiheyden suhteen, toisin sanoen sitä, kuinka suuri paineen muutos tarvitaan saamaan aikaan tietyn suuruinen pieni tilavuuden muutos. Puristuskertoimen käänteisarvo ilmoittaa aineen kokoonpuristuvuuden, jota sanotaan myös kompressibiliteetiksi.

Määritelmästä seuraa, että puristuskerroin on samaa dimensiota kuin paine. Näin ollen sen yksikkönä voidaan käyttää paineen yksiköitä kuten pascalia. Kiinteiden aineiden ja nesteiden puristuskerroin on kuitenkin niin suuri, että tavallisimmin yksikkönä käytetään mega- (MPa) tai gigapascalia (GPa).

Materiaalin puristuskerroin annetussa paineessa on mahdollista mitata muun muassa jauhediffraktion avulla.

Termodynaaminen tarkastelu

Tarkkaan ottaen puristuskerroin on termodynaaminen suure, ja puristuskertoimen määrittämiseksi on otettava huomioon, miten kappaleen lämpötila muuttuu puristuksen vaikutuksesta. Tärkeitä erikoistapauksia ovat muun muassa isoterminen puristus, jossa kappaleen lämpötila pysyy vakiona ja jota vastaavalle puristuskertoimelle käytetään merkintää $K_{T}$, sekä isentrooppinen puristus, jossa entropia pysyy muuttumattomana ja jota vastaavalle puristuskertoimelle käytetään merkintää $K_{S}$. Näiden välinen ero on tärkeä varsinkin kaasujen tapauksessa.

Ideaalikaasulle isentroopisessa prosessissa pätee:

$PV^{\gamma }=vakio\,\Rightarrow P\propto \left({\frac {1}{V}}\right)^{\gamma }\propto \rho ^{\gamma },$

ja näin ollen ideaalikaasun isentrooppinen puristuskerroin on:

$K_{S}=\gamma P$,

missä P on vallitseva paine ja γ kaasun lämpökapasiteettisuhde, toisin sanoen sen vakiopaineessa ja vakiotilavuudessa mitattujen lämpökapasiteettien suhde.

Vastaavasti isotermisessä prosessissa ideaalikaasulle pätee:

$PV=vakio\,\Rightarrow P\propto {\frac {1}{V}}\propto \rho ,$

minkä vuoksi sen isoterminen puristuskerroin on yksinkertaisesti

$K_{T}=P$

eli vallitsevan paineen suuruinen.

Jos kaasu ei ole ideaalinen, näistä yhtälöistä saadaan sen puristuskertoimelle vain likiarvoja. Fluidissa (nesteessä tai kaasussa) paineaaltojen nopeus c, toisin sanoen äänen nopeus riippuu aineen puristuskertoimesta K ja tiheydestä ρ Newtonin-Laplacen kaavan

$c={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}$

osoittamalla tavalla.

Kiinteillä aineilla $K_{S}$ ja $K_{T}$ ovat arvoltaan hyvin lähellä toisiaan. Kiinteissä aineissa voi esiintyä myös poikittaisia aaltoja. Niissä aaltojen nopeuden määrittämiseen tarvitaan puristuskertoimen lisäksi toinenkin elastinen kerroin, esimerkiksi liukukerroin.

Eräiden aineiden puristuskertoimia

Eräiden kiinteiden aineiden likimääräisiä puristuskertoimia

Aine	Puristuskerroin GPa
Polyuretaani, vaahtomuovi	0,0002
Kovakumi, eboniitti	3
Betoni	8 .. 22
Kalustelasi	21 .. 27
Kvartsilasi	37
Pleksilasi	3,6
Alumiini	75
Hopea	100
Kupari	136
Kulta	185
Valurauta	50..120
Teräs	160
Timantti (lämpötilassa 4 K)	443

Eräiden seosaineiden vaikutus erään peruslasin puristuskertoimeen.

Materiaali, jonka puristuskerroin on 35 GPa, menettää yhden prosentin tilavuudestaan, kun se joutuu 0,35 GPa:n eli 3500 baarin paineen alaiseksi. Tämä on noin 3455 kertaa Maan pinnalla vallitseva normaali ilmanpaine (1 Atm = 1013 mbar = 1013 hPa).

Eräiden muiden aineiden likimääräisiä puristuskertoimia

(20 °C:n lämpötilassa ja 1 Atm:n paineessa)
Elohopea	26,3 GPa
Glyseroli	4,55 GPa
Vesi	2,2 GPa (puristuskerroin kasvaa suurissa paineissa)
Metanoli	0,825 MPa
Etanoli	0,806 MPa
Rikkihappo	0,35
Ilma	142 kPa (adiabaattinen puristuskerroin)
Ilma	101 kPa (puristuskerroin vakiolämpötilassa)
Kiinteä helium	50 MPa (arviolta)

Mikroskooppinen alkuperä

Atomien välinen potentiaali ja lineaarinen kimmoisuus

Atomien välinen potentiaali (vasemmanpuoleinen kuvio) ja voima (oikeanpuoleinen kuvio)

Koska lineaarinen elastisuus on suora seuraus atomien välisistä vuorovaikutuksista, se liittyy niiden välisten sidosten laajenemiseen tai kokoonpuristumiseen. Kiteisillä aineilla se voidaan sen vuoksi johtaa atomien välisestä potentiaalista.

Tarkastellaan ensin kahden vuorovaikuttavan atomin muodostaman systeemin potentiaalienergiaa. Jos ne aluksi ovat hyvin kaukana toisistaan, niiden välillä vallitsee vetovoima. Kun ne lähestyvät toisiaan, niiden potentiaalienergia pienenee. Toisaalta atomien ollessa hyvin lähellä toisiaan niiden potentiaalienergia on niiden välisen poistovoiman vuoksi hyvin korkea. Yhdessä nämä potentiaalit saavat aikaan, että on olemassa atomien välinen etäisyys, jossa niiden potentiaalienergia on minimissään. Tämä tapahtuu sellaisella etäisyydellä a₀, missä veto- ja poistovoimat kumoavat toisensa eli niiden summa on nolla:

$F=-{\partial U \over \partial r}=0$

missä U on atomien välinen potentiaali ja r niiden välinen etäisyys. Tämä merkitsee, että atomit ovat tasapainossa.

Tämän kahden atomin mallin laajentamiseksi kiinteään kappaleeseen käsitellään yksinkertaista mallia, aluksi yksiulotteista atomien ketjua, jossa atomien välinen etäisyys on a ja tasapainoetäisyys a₀. Sen potentiaalienergian riippuvuus etäisyydestä on muodoltaan samankaltainen kuin kahden atomin tapauksessakin, ja se saa miniminsä kohdassa a₀. Potentiaalienergian Taylorin kehitelmä on:

$u(a)=u(a_{0}) \left({\partial u \over \partial r}\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0}) {1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2} O\left((a-a_{0})^{3}\right)$.

Tasapainossa lausekkeen ensimmäinen derivaatta on 0, joten hallitsevana on sarjan seuraava, neliöllinen termi. Kun poikkeama tasapainoasemasta on pieni, korkeamman kertaluvun termit voidaan jättää huomioon ottamatta. Lauseke saa muodon:

$u(a)=u(a_{0}) {1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}$

$F(a)=-{\partial u \over \partial r}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})$

mikä selvästi kuvaa lineaarista kimmoisuutta.

Derivointi on suoritettu käsittelemällä kahta vierekkäistä atomia, jolloin Hooken kerroin on:

$K=a_{0}*{dF \over dr}=a_{0}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}$

Tämä kaava voidaan helposti laajentaa kolmiulotteiseen tapaukseen, jossa atomien välisen etäisyyden sijasta käytetään atomitilavuutta (Ω). Tällöin saadaan:

$K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)_{\Omega =\Omega _{0}}$

Puristuskerroin ja atomin säde

Edellä olevassa tarkastelussa puristuskerroin liittyy suoraan atomien väliseen potentiaaliin ja atomitilavuuteen. Atomien välisen potentiaalin tarkastelua voidaan edelleen kehittää, jotta saadaan yhteyksiä puristuskertoimen ja aineen muiden ominaisuuksien välille. Yleensä atomien välinen potentiaali voidaan esittää etäisyyden funktiona, jossa on kaksi termiä, toinen vetävälle ja toinen hylkivälle voimalle:

$u=-Ar^{-n} Br^{-m}$

missä A > 0 esittää vetävää ja B > 0 hylkivää voimaa. Yleensä n ja m ovat kokonaislukuja, josta m on suurmempi kuin n, sillä hylkivä voima vaikuttaa vain pienillä etäisyyksillä. Tasapainossa u saa pienimmän arvonsa, jolloin sen ensimmäinen derivaatta on 0:

$\left({\partial u \over \partial r}\right)_{r_{0}}=Anr^{-n-1} -Bmr^{-m-1}=0$

${B \over A}={n \over m}r_{0}^{m-n}$

$u=-Ar^{-n}\left(1-{B \over A}r^{n-m}\right)=-Ar^{-n}\left(1-{n \over m}r_{0}^{m-n}r^{n-m}\right)$

Luku n on tavallisesti välillä 1...6, m taas välillä 9..12. Kun r on lähellä tasapainoetäisyyttä r₀, jälkimmäinen termi voidaan jättää huomioon ottamatta ja lauseen toiselle derivaatalle saadaan arvo

$\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}=-An(n 1)r_{0}^{-n-2}$.

Koska atomin säteen r ja tilavuuden Ω välillä on yhteys

$\Omega ={4\pi \over 3}r^{3}$,

saadaan

$\left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)\left({\partial r \over \partial \Omega }\right)^{2}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)\Omega ^{-{\frac {4}{3}}}$

ja edelleen

$K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2}u \over \partial r^{2}}\right)_{\Omega =\Omega _{0}}\propto r_{0}^{-n-3}$.

Monissa tapauksissa, esimerkiksi metalleilla ja ioniyhdisteillä, vetävä voima on sähköstaattinen, jolloin n = 1 ja saadaan:

$K\propto r_{0}^{-4}$

Tämä pätee atomeille, joilla on samankaltaiset sidosominaisuudet. Tämä yhteys on voitu todentaa alkalimetalleilla ja monilla ioniyhdisteillä.