Principia Mathematica

Principia Mathematica on kolmiosainen matematiikan perusteita käsittelevä teos, jonka kirjoittivat Alfred North Whitehead ja Bertrand Russell ja joka julkaistiin vuosina 1910–1913. Se pyrkii johtamaan kaikki matemaattiset totuudet joukosta hyvin määriteltyjä symbolisen logiikan aksioomia ja päättelysääntöjä.

Principia Mathematica sai innoituksensa Gottlob Fregen varhaisemmista logiikan töistä, jotka johtivat Russellin havaitsemiin paradokseihin (Russellin paradoksi). Principia Mathematica vältti nämä rakentamalla yksityiskohtaisen tyyppiteorian: joukolla on korkeampi tyyppi kuin sen osilla, eikä näin voida puhua "kaikkien joukkojen joukosta" ja muista rakennelmista, jotka johtivat paradokseihin.

Principia Mathematica luetaan yleensä yhdeksi merkittävimmistä ja uraauurtavimmista teoksista matemaattisen logiikan ja filosofian alalla. Modern Libraryn mukaan se oli 1900-luvun 23. merkittävin teos.

Sisältö

Teos käsittelee ainoastaan joukko-oppia, kardinaalilukuja, ordinaalilukuja ja reaalilukuja. Siihen ei kuulunut reaalianalyysin syvällisempiä teoreemoja, mutta kolmannen osan loppuun mennessä asiantuntijoille oli selvää, että suuri osa tunnettua matematiikkaa oli periaatteessa kehiteltävissä käytetyllä formalismilla. Oli myös selvää, kuinka pitkä tällaisesta esityksestä tulisi.

Whitehead ja Russell suunnittelivat neljättä geometriaa käsittelevää osaa, mutta myönsivät työn käyneen ylivoimaiseksi kolmannen osan valmistuttua.

Avoimia kysymyksiä

Teos jätti avoimeksi sen, voitaisiinko sen aksioomista johtaa ristiriitoja (johdonmukaisuus), ja sen, olisiko olemassa matemaattinen väittämä, jota ei voitaisi sen enempää todistaa kuin kumotakaan järjestelmän avulla (täydellisyys).

Propositiologiikka itsessään tiedettiin sekä johdonmukaiseksi että täydelliseksi, mutta sama ei ollut selvää Principian joukko-opin aksioomista (katso Hilbertin toinen ongelma).

Gödelin epätäydellisyyslause tarjosi odottamatonta lisävalaistusta näihin kahteen toiseensa liittyvään kysymykseen. Gödelin ensimmäinen epätäydellisyyslause osoitti, ettei Principia voinut olla sekä johdonmukainen että täydellinen. Lauseen mukaan jokaista riittävän vahvaa loogista järjestelmää (kuten Principiaa) kohtaan oli olemassa väite G, joka pohjimmiltaan sanoo "Väittämää G ei voida todistaa". Tällainen väittämä on eräänlainen catch-22 -kehäpäätelmäristiriita: jos G on todistettavissa, se on epätosi, jolloin järjestelmä on epäjohdonmukainen; ja jos G ei ole todistettavissa, se on tosi, jolloin järjestelmä on epätäydellinen. Toisin sanoen väittämää "Principian järjestelmässä ei ole ristiriitoja" ei voi todistaa todeksi tai epätodeksi Principian järjestelmässä, ellei siinä ole ristiriitoja.

Gödelin toinen epätäydellisyyslause osoitti, ettei aritmetiikkaa voida käyttää todistamaan sen omaa sisäistä johdonmukaisuutta, jolloin sitä ei voida käyttää varsinkaan minkään sitä vahvemman johdonmukaisuuden todistamiseen.

Katso myös

• Gottlob Fregen Begriffsschrift
• Isaac Newtonin Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
• Bertrand Russellin Principles of Mathematics

Aiheesta muualla

• Stanford Encyclopedia of Philosophy: (englanniksi)
  • Principia Mathematica (A. D. Irvine)
  • The Notation in Principia Mathematica (Bernard Linsky)
• Principia Mathematica online (University of Michigan Historical Math Collection): (englanniksi)
  • Volume I
  • Volume II
  • Volume III