Planckin vakio

Planckin vakio on erityisesti kvanttimekaniikassa esiintyvä luonnonvakio, joka yhdistää taajuuden ja energian yksiköt toisiinsa. Vuonna 2019 käyttöön otetun SI-yksiköiden määritelmän mukaan kilogramma määritellään sekunnin ja metrin avulla kiinnittämällä Planckin vakion tarkaksi arvoksi^[1]

h=6{,}626\,070\,15\cdot 10^{-34}\ {\mbox{J}}\cdot {\mbox{s}}

.

Usein käytetään myös redusoitua Planckin vakiota

\hbar ={\frac {h}{2\pi }}

,

joka eroaa Planckin vakiosta kertoimella 2π, ja yhdistää kulmataajuuden ja energian yksiköt toisiinsa.

Määritelmä

Vakio on nimetty Max Planckin mukaan. Hän oletti vuonna 1900, että sähkömagneettinen säteily syntyy tietyn suuruisina kvantteina, joiden energia on suoraan verrannollinen säteilyn taajuuteen. Tämän ilmaisee lauseke

E=hf,

missä E on kvantin eli fotonin energia, h Planckin vakio ja f säteilyn taajuus.

Redusoitu Planckin vakio

Usein on kätevämpää käyttää vakion $h$ sijasta redusoitua Planckin vakiota

\hbar ={\frac {h}{2\pi }}.

Vakiota $\hbar$ kutsutaan toisinaan myös Diracin vakioksi Paul Diracin mukaan ^lähde?. Puhekielessä yleisiä ilmauksia ovat myös h-viiva ja englannin kielestä lainattu h-bar [hoobaar]. Redusoitua Planckin vakiota käytettäessä fotonin energia voidaan esittää muodossa:

E=\hbar \omega ,

missä $\omega$ on säteilyn kulmataajuus eli taajuus kerrottuna $2\pi$ :llä.

Redusoidun Planckin vakion likiarvo on $\hbar =1{,}054571800\times 10^{-34}\ {\mbox{J}}\cdot {\mbox{s}}=6{,}582119514\times 10^{-16}\ {\mbox{eV}}\cdot {\mbox{s}}$ ^[2].

Redusoitu Planckin vakio osoittautuu kvanttimekaniikassa hyödylliseksi yksiköksi, sillä hiukkasen ratapyörimismäärä ja bosonisten hiukkasten spin ovat kvantittuneet siten, että ne voivat saada vain arvoja, jotka ovat ℏ:n monikertoja. Fermionisten hiukkasten spin puolestaan voi saada arvot (1/2)ℏ, (3/2)ℏ, (5/2)ℏ, ja niin edelleen.

Historia

Mustan kappaleen säteily

Oletus kvantista oli alun perin matemaattinen temppu, jolla mustan kappaleen säteilystä saadut koetulokset saatiin sovitettua jollekin käyrälle. Tämä yhtälö, eli Planckin laki, oli ensimmäinen asiayhteys, jossa Planckin vakio esiintyi. Myöhemmin kuitenkin osoittautui, että energiakvantti (tässä tapauksessa fotoni) oli luonnossa esiintyvä asia, ei ainoastaan matemaattinen oletus.^[3] Planckin laki antaa mustan kappaleen säteilyn energiatiheysjakauman $u(\nu )$ säteilyn taajuuden $\nu$ funktiona

u(\nu )d\nu ={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{h\nu /{kT}}-1}}d\nu ,

missä h on Planckin vakio, c valonnopeus, k Boltzmannin vakio ja T mustan kappaleen absoluuttinen lämpötila.

Valosähköinen ilmiö

Valosähköinen ilmiö on prosessi, jossa valo irrottaa sähkövarautuneesta pinnasta elektroneja. Ilmiön havaitsi ensimmäisenä Alexander Becquerel vuonna 1839, ja Heinrich Hertz teki siitä ensimmäisen laajan tutkimuksen vuonna 1887. Mittaamalla elektronien liike-energia havaittiin, että valon intensiteetti ei vaikuttanut energiaan, vaan ainoastaan valon taajuus. Valosähköinen ilmiö esiintyi vain tietyn minimienergian yläpuolella, ja irtoavien elektronien energia oli suoraan verrannollinen valon taajuuteen. Klassinen aalto (esim. meren aalto) käyttäytyisi toisin; suuremmalla aallolla oli enemmän energiaa. Albert Einstein selitti ilmiön sillä, että valokvantin energia on suoraan sen taajuuden funktio:

E=h\nu .\,

Kokeet osoittivat Einsteinin väitteen todeksi; energian ja taajuuden kerroin oli Planckin vakio. Einstein sai Nobelin fysiikan palkinnon vuonna 1921 valosähköisen ilmiön selittämisestä.

Atomien rakenne

Ernest Rutherfordin atomimallissa elektronit kiersivät atomiydintä, mutta teorian ongelma oli se, että sähkömagneettisessa kentässä liikkuvan elektronin pitäisi menettää energiaa säteilemällä sähkömagneettisena säteilynä. Niels Bohr esitti Planckin tutkimusten perusteella, että atomissa elektronilla oli vain muutama sallittu energiatila, joiden energiat ovat (n = 1, 2, ...)

E_{n}=-{\frac {hc_{0}R_{\infty }}{n^{2}}},

missä R on kokeellisesti mitattu Rydbergin vakio, joka mitattiin spektroskooppisilla menetelmillä. Koska atomi pystyy menettämään energiaa vain siirtymällä sallittujen energiatilojen välillä, se ei voi säteillä koko ajan näitä siirtymiä pienempiä määriä energiaa, ja siten atomi pysyy vakaana.

Bohr esitti ensi kertaa redusoidun Planckin vakion. Kokonaispyörimismäärän J ja sen z-suuntaisen projektion J_z sallitut arvot ovat:

{\begin{aligned}J^{2}=j(j 1)\hbar ^{2},\qquad &j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots ,\\J_{z}=m\hbar ,\qquad \qquad \quad &m=-j,-j 1,\ldots ,j.\end{aligned}}

Lähteet

↑ 26^th CGPM (2018) – Resolutions adopted 13.−16.11.2018. Bureau International des Poids et Mesures. Viitattu 26.11.2018. (englanniksi) (ranskaksi)
↑ https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?hbar
↑ Kumar, Manjit. Quantum. Icon Books, Lontoo 2009.

[1] 26^th CGPM (2018) – Resolutions adopted 13.−16.11.2018. Bureau International des Poids et Mesures. Viitattu 26.11.2018. (englanniksi) (ranskaksi)

[2] ttps://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?hbar

[3] Kumar, Manjit. Quantum. Icon Books, Lontoo 2009.

[1]

[2]

[3]