Logaritminen asteikko

Logaritminen asteikko tarkoittaa mitta-asteikkoa, jolla varsinaisen suureen arvon sijasta ilmoitetaan sen logaritmi. Logaritminen asteikko on käyttökelpoinen, kun suure saattaa saada aivan eri suuruusluokkaa olevia arvoja tai kun ollaan kiinnostuneita suhteellisesta muutoksesta absoluuttisen sijaan. Logaritmisella asteikolla ilmaistu lukuarvo nimittäin kasvaa aina saman verran, kun itse suureen arvo kasvaa yhtä moninkertaiseksi, esimerkiksi kaksin- tai kymmenkertaiseksi.

Yleisesti käytettyjä logaritmisisia asteikkoja ovat esimerkiksi äänenvoimakkuuden ja vahvistuksen desibeliasteikko, maanjäristysten voimakkuutta ilmaiseva momenttimagnitudi, tähtien magnitudiasteikko^[1] sekä kemiassa käytetty pH-asteikko.^[2]

Logaritmisella asteikolla voidaan tarkoittaa myös yhdensuuntaisten viivojen muodostamaa kaaviota, jossa jokainen viiva vastaa jotakin lukua sillä tavoin, että kutakin lukua vastaavan viivan etäisyys lukua 1 vastaavasta perusviivasta on verrannollinen luvun logaritmiin.

Matemaattinen määritelmä

Jos suureelle A käytetään logaritmista asteikkoa, sille on määriteltävä jokin perustaso A₀, jota vastaa luku 0. Suureen A muita arvoja vastaava lukuarvo logaritmisella asteikolla on tällöin

p=k\log _{b}{\frac {A}{A_{0}}}

,

missä b on käytettävän logaritmin kantaluku ja k jokin vakio, yleensä kokonaisluku, usein 1. Monissa tapauksissa logaritmisella asteikolla käytetään kantalukua 10, toisin sanoen Briggsin logaritmeja, eräissä tapauksissa kuitenkin kantalukua e tai 2, toisin sanoen luonnollista tai binääristä logaritmia.

Siinäkin tapauksessa, että vakion k arvo ei ole 1, asteikon määritelmä voidaan aina muuntaa myös muotoon, jossa logaritmin edessä ei ole kerrointa k. Tällöin on vain kantaluku b korvattava kantaluvulla $b^{\frac {1}{k}}={\sqrt[{k}]{b}}$ .

Muutamille suureille käytetään sellaisiakin logaritmisia asteikkoja, joilla ilmaistu luku on poikkeavasti sitä suurempi, mitä pienempi varsinainen suure on. Tällaiset asteikot määritellään joko niin, että logaritmin kantaluku b on pienempi kuin 1, tai yhtäpitävästi niin, että edellä esitetyssä lausekkeessa oleva kerroin k on negatiivinen. Jälkimmäisessä tapauksessa lukuarvo asteikolla on siis varsinaisen suureen logaritmin vastaluku, joka on sama kuin suureen käänteisarvon logaritmi. Tällaisia tapauksia ovat esimerkiksi kemiassa käytetty pH-asteikko ja tähtitieteessä käytetty tähtien magnitudiasteikko.

Esimerkkejä

Yleisesti käytettyjä logaritmisia asteikkoja ovat esimerkiksi seuraavat:

Maanjäristysen voimakkuudet ilmaistiin aikaisemmin Richterin asteikolla, jonka nyttemmin on korvannut momenttimagnitudiasteikko (MMS). Molemmat ovat logaritmisia asteikkoja, joissa kantalukuna on 10 ja asteikoilla ilmoitetut luvut tarkoittavat eräiden järistyksen voimakkuutta kuvaavien suureiden logaritmeja.^[3]

Äänen voimakkuus ilmaistaan tavallisesti desibeleinä. Äänen voimakkuus desibeleinä saadaan kaavasta $dB=10\cdot \log _{10}{\frac {I}{I_{0}}}$ , missä I on äänen intensiteetti ja I hiljaisinta kuultavaa ääntä vastaava intensiteetti^[2], jolle käytetään arvoa 10^-12 W/m² (eli 10^-16 W/cm²).^[4]

Musiikissa sävelten korkeusero voidaan ilmoittaa esimerkiksi oktaaveina taikka (yleensä tasavireisinä) koko- tai puoliaskelina. Kun äänen taajuus kaksinkertaistuu, sävelkorkeus nousee aina yhden oktaavin verran^[5], joten korkeusero oktaaveina on sama kuin taajuuksien suhteen 2-kantainen logaritmi. Oktaavi jakautuu 12 (tasavireiseen) puoliaskeleeseen, joten sävelten korkeusero puoliaskelina mitattuna on $12\log _{2}{\frac {f_{1}}{f_{2}}}$ . Tavallisesti oktaavia pienemmät korkeuserot kuitenkin ilmaistaan intervallien nimillä kuten sekunti, terssi jne, joista jokainen myös vastaa tietyn suuruista taajuuksien suhdetta.^[5] Mikrointervallien suuruus voidaan ilmoittaa sentteinä eli puoliaskelen sadasosina^[6]^[7]; täten korkeusero sentteinä on $1200\log _{2}{\frac {f_{1}}{f_{2}}}$

Kemiassa liuosten happamuus tai emäksisyys ilmoitetaan tavallisesti pH-arvoina. Liuoksen pH on määritelmän mukaan siinä olevien oksoniumionien (H₃) konsentraation 10-kantaisen logaritmin vastaluku, kun konsentraation yksikkönä on mooli litraa kohti. Arvo 7 vastaa neutraalia, sitä pienemmät arvot hapanta ja suuremmat emäksistä liuosta.^[8]

Tähtien näennäiset kirkkaudet ilmaistaan yleensä niiden magnitudeina, jotka on määritelty niin, että jos kahdesta tähdestä toisen näennäinen kirkkaus on 100 kertaa suurempi kuin toisen, jälkimmäisen (himmeämmän) magnitudi on 5 yksikköä suurempi kuin edellisen (kirkkaamman). Jos tähtien kirkkaudet ovat F₁ ja F₂, on niiden magnitudien erotus siis $5\cdot \log _{100}{\frac {F_{2}}{F_{1}}}=2.5\cdot \log _{1}00{\frac {F_{2}}{F_{1}}}$ . Muutamien kirkkaimpien tähtien magnitudit ovat negatiivisia, esimerkiksi Siriuksen magnitudi on -1,5 ja Auringon -26,8.^[9]

Useissa tapauksissa yhtenä perusteena logaritmisen asteikon käytölle on se, että Weberin–Fechnerin lain mukaan monet ihmisen aistit toimivat logaritmisesti, toisin sanoen aistimuksen koettu voimakkuus on verrannollinen sen aiheuttavan ärsykkeen logaritmiin.^[10] Erityisesti kuuloaisti havaitsee yhtä suuret äänten taajuuksien suhteet yhtä suurina sävelkorkeuden muutoksina siten, että esimerkiksi jokaisella oktaavilla sävelkorkeuden koetaan kasvavan saman verran, vaikka äänen taajuus kasvaa tällöin aina kaksinkertaiseksi.

Asteikkoja, jotka myös voidaan käsittää logaritmisiksi

Toisinaan samakin asteikko voidaan näkökulmasta riippuen katsoa joko lineaariseksi tai logaritmiseksi. Esimerkiksi fysiikassa entropia voidaan määritellä kahdella oleellisesti eri tavalla, jotka kuitenkin voidaan osoittaa yhtäpitäviksi. Vanhemman määritelmän mukaan entropian muutos on yhtä suuri kuin luovutettu tai vastaanotettu lämpömäärä jaettuna absoluuttisella lämpötilalla.^[11] Näin se voidaan ilmaista tavanomaisella lineaarisella asteikolla, yksikkönä joule kelviniä kohti. Myöhemmin Boltzmann kuitenkin osoitti, että systeemien entropia on verrannollinen niiden mikrotilojen lukumäärän logaritmiin, jotka vastaavat samaa makrotilaa. Näin ymmärrettynä entropia-asteikko voidaankin käsittää tämän lukumäärän, ns. statistisen painon (Ω) logaritmiseksi mitta-asteikoksi. Tällöin entropian määrittelee yhtälö $S=k\ln {\Omega }$ , missä S on systeemin entropia, Ω samaa makrotilaa vastaavien mikrotilojen lukumäärä ja k Boltzmannin vakio.^[12]

Tietotekniikassa informaatiota mitataan bitteinä tai tavuina. Tietoyksikön koko ilmaistuna bitteinä tai tavuina on suoraan verrannollinen sen viemään tilaan tietokoneen muistissa taikka levyllä tai muulla vastaavalla tietovälineellä. Näin ymmärrettynä asteikko on lineaarinen. Mutta yhtä hyvin bittien tai tavujen lukumäärä voidaan käsittää myös logaritmiseksi mitaksi sille, kuinka monta erilaista arvoa tietoyksikkö voi saada, toisin sanoen kuinka monta erilaista sisältöä tietyn suuruiseen tilaan olisi mahdollista tallentaa.

Graafinen esitys

Erilaisia graafisia esityksiä. Ylävasemmalla: sekä vaaka- että pystysuunnassa lineaarinen asteikko (lin-lin). Yläoikealla: puolilogaritminen, vaakasuunnassa logaritminen, pystysuunnassa lineaarinen asteikko (lin-log). Alavasemmalla puolilogaritminen: vaakasuunnassa lineaarinen, pystysuunnassa logaritminen asteikko (log-lin). Alaoikealla sekä vaaka- että pystysuunnassa logaritminen asteikko (log-log). Kuhunkin kaavioon on merkitty seuraavien yhtälöiden kuvaajat: y = 10^x (punainen), y = x (vihreä), y = log_e(x) (sininen).

Graafisena esityksenä logaritminen asteikko on yhdensuuntaisten viivojen muodostamaa kaavio, jossa jokainen viiva vastaa jotakin lukua sillä tavoin, että kutakin lukua vastaavan viivan etäisyys lukua 1 vastaavasta perusviivasta on verrannollinen luvun logaritmiin.

Logaritminen ruudukko on ruudukko, jossa sekä vaaka- että pystysuorat viivat muodostavat logaritmisen asteikon. Puolilogaritminen ruudukko, on ruudukko, jossa pystysuorat viivat muodostavat logaritmisen, vaakasuorat sen sijaan tasavälisen eli lineaarisen asteikon, tai päinvastoin.

Paperia, jolle on painettu logaritminen tai puolilogaritminen ruudukko, sanotaan vastaavasti logaritmi- tai puolilogaritmipaperiksi.^[13] Ennen tietokonegrafiikan käyttööntuloa tällaisia papereita käytettiin yleisesti tieteellisten mittaustulosten havainnolliseen esittämiseen.

Laskuviivaimessa luvut on sijoitettu kahdelle logaritmiselle asteikolle, joita voidaan siirtää toistensa suhteen. Kertolaskun suorittaminen laskuviivaimella perustuu siihen, että tulon logaritmi on sen tekijöiden logaritmien summa eli $\log {ab}=\log {a} \log {b}$ .^[14]^[15]

Kaksi logaritmista asteikkoa laskuviivaimella

Lähteet

↑ Määttä, Sami: Logaritmin perusteet 2019. Oulun yliopisto.
↑ ^a ^b Logarithmic scale - Energy Education energyeducation.ca. Viitattu 13.7.2020. (englanniksi)
↑ Perustietoa maanjäristyksistä (kohta Magnitudiasteikot) Seismologian instituutti. Viitattu 16.7.2020.
↑ ”Desibeli”, Otavan iso Fokus, 2. osa (Em–Io), s. 530. Otava, 1973. ISBN 951-1-00273-2
↑ ^a ^b ”Sävel”, Tammen musiikkitietosanakirja, 2. osa (M–Ö), s. 192. Tammi, 1983. ISBN 951-30-5916-2
↑ ”Sentti”, Tammen musiikkitietosanakirja, 2. osa (M–Ö), s. 158. Tammi, 1983. ISBN 951-30-5916-2
↑ Akustiikan perusteet: hertsi, sentti ja desibeli Sibelius-akatemia. Arkistoitu 5.3.2016. Viitattu 16.7.2020.
↑ Matti Tiilikainen, Ilkka Virtamo: ”Protolyysireaktiot vedessä ja pH”, Kemia 1, s. 103–104. WSOY, 1968.
↑ Hannu Karttunen, Pekka Kröger, Heikki Oja, Markku Poutanen: ”Näennäiset magnitudit”, Tähtitieteen perusteet, s. 117–118. Tähtitieteellinen yhdistys Ursa, Valtion painatuskeskus, 1984.
↑ Fechner's Law glosbe.com. Viitattu 16.7.2020.
↑ Vesa Apaja: ”Entropia”, FYSA2041 Statistinen fysiikka, osa A, s. 41–42. (luentomoniste) Jyväskylän yliopisto. Teoksen verkkoversio.
↑ Vesa Apaja: ”Boltzmannin entropia”, FYSA2041 Statistinen fysiikka, osa A, s. 87. (luentomoniste) Jyväskylän yliopisto. Teoksen verkkoversio.
↑ ”Logaritmipaperi”, Otavan iso Fokus, 4. osa (Kr–Mn), s. 2341. Otava, 1973. ISBN 951-1-00388-7
↑ ”Laskuviivain”, Otavan iso Fokus, 4. osa (Kr–Mn), s. 2212. Otava, 1973. ISBN 951-1-00388-7
↑ Yngve Lehtosaari, Jarkko Leino: ”Numeeriset laskut logaritmeilla”, Matematiikka 11, Lukion laajempi kurssi, s. 65. Kirjayhtymä, 1974. ISBN 951-26-0078-1

Aiheesta muualla

Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Logaritminen asteikko Wikimedia Commonsissa

[1] Määttä, Sami: Logaritmin perusteet 2019. Oulun yliopisto.

[Energia-2] Logarithmic scale - Energy Education energyeducation.ca. Viitattu 13.7.2020. (englanniksi)

[3] Perustietoa maanjäristyksistä (kohta Magnitudiasteikot) Seismologian instituutti. Viitattu 16.7.2020.

[4] ”Desibeli”, Otavan iso Fokus, 2. osa (Em–Io), s. 530. Otava, 1973. ISBN 951-1-00273-2

[Tammi-5] ”Sävel”, Tammen musiikkitietosanakirja, 2. osa (M–Ö), s. 192. Tammi, 1983. ISBN 951-30-5916-2

[6] ”Sentti”, Tammen musiikkitietosanakirja, 2. osa (M–Ö), s. 158. Tammi, 1983. ISBN 951-30-5916-2

[7] Akustiikan perusteet: hertsi, sentti ja desibeli Sibelius-akatemia. Arkistoitu 5.3.2016. Viitattu 16.7.2020.

[8] Matti Tiilikainen, Ilkka Virtamo: ”Protolyysireaktiot vedessä ja pH”, Kemia 1, s. 103–104. WSOY, 1968.

[9] Hannu Karttunen, Pekka Kröger, Heikki Oja, Markku Poutanen: ”Näennäiset magnitudit”, Tähtitieteen perusteet, s. 117–118. Tähtitieteellinen yhdistys Ursa, Valtion painatuskeskus, 1984.

[10] Fechner's Law glosbe.com. Viitattu 16.7.2020.

[11] Vesa Apaja: ”Entropia”, FYSA2041 Statistinen fysiikka, osa A, s. 41–42. (luentomoniste) Jyväskylän yliopisto. Teoksen verkkoversio.

[12] Vesa Apaja: ”Boltzmannin entropia”, FYSA2041 Statistinen fysiikka, osa A, s. 87. (luentomoniste) Jyväskylän yliopisto. Teoksen verkkoversio.

[13] ”Logaritmipaperi”, Otavan iso Fokus, 4. osa (Kr–Mn), s. 2341. Otava, 1973. ISBN 951-1-00388-7

[14] ”Laskuviivain”, Otavan iso Fokus, 4. osa (Kr–Mn), s. 2212. Otava, 1973. ISBN 951-1-00388-7

[15] Yngve Lehtosaari, Jarkko Leino: ”Numeeriset laskut logaritmeilla”, Matematiikka 11, Lukion laajempi kurssi, s. 65. Kirjayhtymä, 1974. ISBN 951-26-0078-1

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]