Isoterminen ilmakehä

Isoterminen ilmakehä on fysikaalinen malli gravitaatiokentässä olevalle ilmakehälle, jossa vallitsee kauttaaltaan sama lämpötila. Malli olettaa, että ilmakehän luo pelkästään yksi ideaalikaasu.

Ilmakehätilavuuselementtiin vaikuttavat voimat. p = paine, A = elementin ala, dh = elementin korkeus, g = 9.81 ms^-2 ja $\rho$ = tiheys. Korkeus dh suuresti liioiteltu.

Isotermistä ilmakehää voidaan tarkastella tilastollismekaanisesti. Tilavuuselementin paino (kts. kuva) on tasapainossa paine-eron korkeuden dh yli kanssa. Elementin alapuoli on paineessa p ja yläpuoli paineessa p dp. Newtonin ensimmäisestä laista saamme voimille:

$A\left(p dp\right) \rho Agdh=Ap$

$A\left(p {\frac {dp}{dh}}dh\right) \rho Agdh=Ap$

${\frac {dp}{dh}}=-\rho g\qquad {\mbox{(1)}}$

Emme voi ratkaista (1) sellaisenaan, koska $\rho \equiv \rho \left(h\right)$, eli tiheys on korkeuden funktio. Tarvitsemme siis tiheyden paineen p funktiona. Tätä varten käytämme ideaalikaasun tilanyhtälöä $p=nkT\,\!$, missä n = kaasuhiukkasten määrällinen tiheys, k = Boltzmannin vakio ja T = absoluuttinen lämpötila. Jos hiukkasten keskimassa on m, on $\rho =mn\,\!$, josta

$dp=-\rho gdh=-nmgdh=-{\frac {mgp}{kT}}dh$

Integroidaan 0:sta h:hon

$\int _{p\left(0\right)}^{p\left(h\right)}{\frac {dp}{p}}=-\int _{0}^{h}{\frac {mg}{kT}}dh$

josta

$p\left(h\right)=p_{0}e^{-{\frac {mgh}{kT}}}\qquad {\mbox{(2)}}$

$n\left(h\right)=n_{0}e^{-{\frac {mgh}{kT}}}\qquad {\mbox{(3)}}$

Kaavoista (2) ja (3) havaitaan, että isotermiselle ilmakehälle p ja $\rho$ heikkenevät eksponentiaalisesti korkeuden funktiona. Niissä esiintyy myös Boltzmannin tekijä, jossa energia $E=mgh\,\!$, mikä on odotettavaa, koska mgh on kaasuhiukkasten potentiaalienergia (kun h on pieni).

Tämä malli toimii erittäin hyvin maan ilmakehälle.

Korkeus (h/km)	Paine (p/mbar)	Suhteellinen paine	Isoterminen ilmakehä
0.0	1013	1	1
1.5	840	0.83	0.83
2.4	752	0.74	0.74
3.0	697	0.69	0.69
6.1	465	0.46	0.47
8.5	333	0.33	0.35

Mallilla on useita seurauksia:

• 8 000 metrissä (kuten Himalajalla korkeimmat vuoret), tiheys on n. 40 % merenpinnan arvosta
• painemittaria voi käyttää korkeuden määrittämiseen
• korkeuden funktiona pienenevä ilmantiheys määrittää rajakorkeuden, jolla helikopteria voi lentää
• vesi kiehuu alemmassa lämpötilassa korkealla

Aiheesta muualla

• The isothermal atmosphere Richard Fitzpatrick, University of Texas, 2006