Esilyhde ja lyhde

Esilyhde on lyhdeteoriassa lyhteen määrittelemiseksi tehtävän operaation ensimmäinen vaihe.

Olkoon X topologinen avaruus. Tällöin voidaan määritellä X:n esilyhde ${\mathcal {F}}$, johon sisältyy:

• Abelin ryhmä ${\mathcal {F}}(U)$ jokaiselle avoimelle joukolle $U\subset F$.
• Ryhmähomomorfismi (joka on rajoittumakuvaus) $\rho _{UV}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V)$ jokaiselle avoimelle joukolle $V\subseteq U$,

jolle on voimassa

• ${\mathcal {F}}(\emptyset )=0$.
• $\rho _{UU}={\text{Id}}$.
• Jos $W\subseteq V\subseteq U$ ovat avoimia, niin $\rho _{UW}=\rho _{VW}\circ \rho _{UV}$.

Esilyhdettä sanotaan lyhteeksi, jos sillä on voimassa yksikäsitteisyys ja liimausominaisuudet. Olkoon $I$ indeksijoukko:

• (Yksikäsitteisyys) Olkoon $U\subset X$ avoin, $s\in {\mathcal {F}}(U),\{U_{i}\}_{i}$ $U$:n avoin peite. Jos $s|_{U_{i}}=0$ kaikilla $i\in I$, niin $s=0$.
• (Liimaus) Merkintätapa kuten yksikäsitteisyydessä. Olkoot $s_{i}\in {\mathcal {F}}(U_{i}),i\in I$ sektioita, joille $s_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}$. Tällöin on olemassa sektio $s\in {\mathcal {F}}(U)$ siten, että $s|_{U_{i}}=s_{i}$.

Samoin voidaan määritellä renkaiden lyhde, algebrojen lyhde yli kiinteän kunnan ja niin edelleen.