نابرابری کوشی–شوارتز

یکی از نامساوی‌های مهم و پرکاربرد در ریاضیات، نامساوی کوشی-شوارتس (به انگلیسی: Cauchy-Schwarz inequality) است که به نام‌های «نامساوی کوشی»، «نامساوی شوارتس»، «نامساوی کوشی-بونیاکوفسکی-شوارتس» و «نامساوی لاگرانژ» نیز مشهور است. علت این نامگذاری‌ها، شیوه‌های گوناگون گسترش یافتن این نامساوی به فضاهای مختلف است که در زمینه‌های مختلفی مانند جبر خطی، آنالیز ریاضی و نظریه احتمالات مطرح می‌شود. نابرابری کوشی-شوارتز به عنوان یکی از مهم‌ترین نابرابری‌های ریاضیات شناخته می‌شود و به نام آگوستین لویی کوشی و هرمن امندوس شوارتز خوانده می‌شود.

بیان نابرابری

نابرابری کوشی-شوارتز بیان می‌کند که برای هر دو بردار دلخواه x و y در فضای ضرب داخلی داریم:

$|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$

که در آن $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ضرب داخلی است. هم‌چنین با گرفتن ریشه دوم طرفین و با توجه به متریک القاء شده توسط این عملگر ضرب داخلی، نامساوی به شکل زیر نوشته می‌شود:

$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|\,$

حالت تساوی رخ می‌دهد اگر و فقط اگر x و y وابستهٔ خطی باشند.

حالات خاص

لم تیتو

برای لم تیتو ( همچنین بنام نامساوی برگستورم، فرم انگل یا لم T2 نیز شناخته می‌شود) داریم، برای اعداد حقیقی و مثبت داریم:

${\displaystyle {\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}\quad \equiv \quad {\frac {u_{1}^{2}}{v_{1}}} {\frac {u_{2}^{2}}{v_{2}}} \cdots {\frac {u_{n}^{2}}{v_{n}}}\geq {\frac {\left(u_{1} u_{2} \cdots u_{n}\right)^{2}}{v_{1} v_{2} \cdots v_{n}}}.}$

برای اثبات کافیست تا ضرب داخلی روی فضای برداری $\mathbb {R} ^{n}$ را در نظر بگیرید و با جایگذاری $u_{i}'={\frac {u_{i}}{\sqrt {v_{i}}}}$ و $v_{i}'={\sqrt {v_{i}}}$ حکم نتیجه می‌شود.

نامساوی کوشی-شوارتز در دایره واحد صفحه اقلیدسی.

صفحه اقلیدسی (R²)

فضای برداری حقیقی $\mathbb {R} ^{2}$، نشان دهنده صفحه دو بعدی است که در آن ضرب داخلی همان حاصل ضرب نقطه‌ای است. اگر $\mathbf {v} =\left(v_{1},v_{2}\right)$ و $\mathbf {u} =\left(u_{1},u_{2}\right)$ آنگاه نابرابری کوشی-شوارتز می شود:

$\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}=(\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\cos \theta )^{2}\leq \|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2},$

که در آن θ، زاویه بین u و v است.

حالت بالا شاید ساده‌ترین شکل برای درک نابرابری باشد، زیرا مجذور کسینوس حداکثر می‌تواند ۱ باشد، که زمانی اتفاق می‌افتد که بردارها در یک جهت یا مخالف هم باشند. همچنین می توان آن را بر حسب مختصات برداری $u_{1},u_{2},v_{1}{\text{و}}v_{2}$ تنظیم کرد:

$\left(u_{1}v_{1} u_{2}v_{2}\right)^{2}\leq \left(u_{1}^{2} u_{2}^{2}\right)\left(v_{1}^{2} v_{2}^{2}\right),$

که در آن تساوی برقرار است اگر و فقط اگر بردار $\left(u_{1},u_{2}\right)$ در جهت یکسان یا مخالف $\left(v_{1},v_{2}\right)$ باشد یا اگر یکی از آنها بردار صفر است.

فضای n-بعدی مختلط (Cⁿ)

اگر $x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {C}$ و $y_{1},\ldots ,y_{n}\in \mathbb {C}$ اعداد مختلط دلخواه باشند، و نماد بار نشان‌دهندهٔ مزدوج مختلط باشد، نابرابری را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد:

$|x_{1}{\bar {y}}_{1} \cdots x_{n}{\bar {y}}_{n}|^{2}\leq (|x_{1}|^{2} \cdots |x_{n}|^{2})(|y_{1}|^{2} \cdots |y_{n}|^{2}).$

در R

$$\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).$$

منابع

• محمد صال‌مصلحیان و فاطمه عبدالله‌زاده گنابادی، "بازنگاهی به نامساوی کوشی-شوارتس"، فرهنگ و اندیشۀ ریاضی سال ٣۶، شمارۀ ۶١ (پاییز و زمستان ١٣٩۶) صص. ٩٩ تا ١١۵