ماتریس یک‌ها

در ریاضیات، ماتریس یک‌ها ماتریسی است که در آن همه‌ی درایه‌ها برابر با عدد یک است. مثال‌هایی از اینگونه ماتریس‌ها :

$J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{1,2}={\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}.\quad$

ویژگی‌ها

$J_{n,n}$ را یک ماتریس n × n از یک‌ها در نظر بگیرید، خواص زیر را برای J داریم :

• اثر J برابر n است، همچنین تنها زمانی دترمینان ناصفر (در اینجا برابر ۱) است که n برابر ۱ باشد ، در غیر این صورت دترمینان برابر صفر می‌شود.
• چند جمله‌ای مشخصه J برابر $(x-n)x^{n-1}$ است.
• رتبه J برابر ۱ است و دو مقدار ویژه دارد، یکی n با مرتبه تکرار 1 و دیگری 0 با مرتبه تکرار n − 1 .
• برای هر $k=1,2,\ldots .$ داریم $J^{k}=n^{k-1}J$ .
• در ضرب هادامار، J عنصر خنثی است .

اگر J را به عنوان یک ماتریس در اعداد حقیقی بررسی کنیم، ویژگی‌های زیر نیز برقرارند :

• ماتریس ${\tfrac {1}{n}}J$ ماتریسی خودتوان است .
• ماتریس نمایی J برابر $\exp(J)=I {\frac {e^{n}-1}{n}}J$ است .

کاربردها

ماتریس یک‌ها در زمینه ترکیبیات کاربردهایی دارند، به طور خاص‌تر در استفاده از روش‌های جبری برای نظریه گراف . به عنوان مثال، اگر A ماتریس همسایگی گراف n-راسی و بدون جهت G و J ماتریس یک‌ها از همان بُعد باشند، آنگاه G یک گراف منتظم است اگر و تنها اگر AJ = JA .

جستارهای وابسته

• ماتریس صفر ، ماتریسی که در آن همه‌ی درایه‌ها صفر هستند.
• ماتریس تک ورودی