از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
در جبر خطی ، ماتریسِ الحاقیِ (به انگلیسی : Adjugate matrix or Adjunct matrix ماتریسِ مربعی ، ترانهادهٔ ماتریسِ همسازه‌هایِ آن ماتریس، است. ماتریسِ همسازه‌ها (به انگلیسی : matrix of cofactors or comatrix ماتریس وارون استفاده می‌شود.
فرض کنید
A
{\displaystyle A}
کِهادِ
i
j
{\displaystyle ij}
A
{\displaystyle A}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
A
{\displaystyle A}
M
i
j
{\displaystyle \mathbf {M} _{ij}}
همسازۀ
i
j
{\displaystyle ij}
A
{\displaystyle A}
C
i
j
=
(
−
1
)
i
j
M
i
j
.
{\displaystyle \mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i j}\mathbf {M} _{ij}.\,}
حال، ماتریس الحاقیِ ماتریسِ
A
{\displaystyle A}
C
{\displaystyle \mathbf {C} }
C
{\displaystyle \mathbf {C} }
a
d
j
(
A
)
=
C
T
.
{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{T}.\,}
ماتریس الحاقی ماتریس ۲ × ۲
A
=
(
a
b
c
d
)
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}}}
برابر است با
adj
(
A
)
=
(
d
−
b
−
c
a
)
.
{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix}}.}
ماتریس ۳ × ۳ زیر را در نظر بگیرید
A
=
(
A
11
A
12
A
13
A
21
A
22
A
23
A
31
A
32
A
33
)
=
(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
)
.
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}.}
ماتریس الحاقی، ترانهادهٔ ماتریس همسازهٔ آن است، پس
C
=
(
|
A
22
A
23
A
32
A
33
|
−
|
A
21
A
23
A
31
A
33
|
|
A
21
A
22
A
31
A
32
|
−
|
A
12
A
13
A
32
A
33
|
|
A
11
A
13
A
31
A
33
|
−
|
A
11
A
12
A
31
A
32
|
|
A
12
A
13
A
22
A
23
|
−
|
A
11
A
13
A
21
A
23
|
|
A
11
A
12
A
21
A
22
|
)
=
(
|
5
6
8
9
|
−
|
4
6
7
9
|
|
4
5
7
8
|
−
|
2
3
8
9
|
|
1
3
7
9
|
−
|
1
2
7
8
|
|
2
3
5
6
|
−
|
1
3
4
6
|
|
1
2
4
5
|
)
.
{\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix} \left|{\begin{matrix}A_{22}&A_{23}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{23}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|& \left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{22}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|& \left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\ \left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{22}&A_{23}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{21}&A_{23}\end{matrix}}\right|& \left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix} \left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|& \left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|& \left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\ \left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|& \left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}.}
بنابراین خواهیم داشت
adj
(
A
)
=
(
|
A
22
A
23
A
32
A
33
|
−
|
A
12
A
13
A
32
A
33
|
|
A
12
A
13
A
22
A
32
|
−
|
A
21
A
23
A
31
A
33
|
|
A
11
A
13
A
31
A
33
|
−
|
A
11
A
13
A
21
A
23
|
|
A
21
A
22
A
31
A
32
|
−
|
A
11
A
12
A
31
A
32
|
|
A
11
A
12
A
21
A
22
|
)
=
(
|
5
6
8
9
|
−
|
2
3
8
9
|
|
2
3
5
6
|
−
|
4
6
7
9
|
|
1
3
7
9
|
−
|
1
3
4
6
|
|
4
5
7
8
|
−
|
1
2
7
8
|
|
1
2
4
5
|
)
{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix} \left|{\begin{matrix}A_{22}&A_{23}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|& \left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{22}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{23}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|& \left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{21}&A_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\ \left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{22}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|& \left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix} \left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|& \left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|& \left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|\\&&\\ \left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|& \left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}}
که
|
A
i
m
A
i
n
A
j
m
A
j
n
|
=
det
(
A
i
m
A
i
n
A
j
m
A
j
n
)
.
{\displaystyle \left|{\begin{matrix}A_{im}&A_{in}\\\,\,A_{jm}&A_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left({\begin{matrix}A_{im}&A_{in}\\\,\,A_{jm}&A_{jn}\end{matrix}}\right).}
ماتریس الحاقی خواص زیر را دارد
a
d
j
(
I
)
=
I
{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I} \,}
a
d
j
(
A
B
)
=
a
d
j
(
B
)
a
d
j
(
A
)
{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {AB} )=\mathrm {adj} (\mathbf {B} )\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\,}
a
d
j
(
c
A
)
=
c
n
−
1
a
d
j
(
A
)
{\displaystyle \mathrm {adj} (c\mathbf {A} )=c^{n-1}\mathrm {adj} (\mathbf {A} )}
برای تمام ماتریس های مربعی A و B
