فاکتوریل‌های صعودی و نزولی

در ریاضیات، فاکتوریل نزولی،^[۱] (به انگلیسی: Descending Factorial) (اسامی دیگر فاکتوری سقوط کننده، ضرب دنباله‌ای سقوط‌کننده، یا فاکتوریل تحتانی) به صورت این چندجمله‌ای تعریف می‌گردد:

$(x)_{n}=x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n 1)=\prod _{k=1}^{n}(x-k 1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x-k).$

همچنین فاکتوریل صعودی^[۱] (به انگلیسی: Ascending Factorial) (نام‌های دیگر: فاکتوریل بالارونده، چندجمله‌ای پوکهامر، فاکتوریل بالارونده، ضرب دنباله‌ای بالارونده، یا فاکتوریل فوقانی) نیز به این صورت تعریف می‌گردد:

$x^{(n)}=x^{\overline {n}}=x(x 1)(x 2)\cdots (x n-1)=\prod _{k=1}^{n}(x k-1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x k).$

هرگاه $n=0$ باشد (حاصلضرب تهی)، مقدار هرکدام از این فاکتوریل‌ها را ۱ فرض می‌کنند. این نمادها را جمعاً توان‌های فاکتوریل می‌نامند.^[۲]

نماد پوکهامر (Pochhammer Symbol) که توسط لئو آگوست پوکهامر معرفی شد، دارای نماد $(x)_{n}$ بوده که در آن n عدد صحیح نامنفی است. ممکن است این نماد در کتب و مقالات مؤلفان مختلف، بسته به قراردادهای بکار رفته توسط آن‌ها، در مواردی نمایانگر فاکتوریل نزولی، و در موارد دیگر نمایانگر فاکتوریل صعودی باشد. در حقیقت خود پوکهامر از این نماد برای معنای دیگری، یعنی ضریب دوجمله‌ای ${\tbinom {x}{n}}$ استفاده نمود.^[۳]

در این مقاله، نماد $(x)_{n}$ را جهت نمایش فاکتوریل نزولی و نماد $x^{(n)}$ را جهت نمایش فاکتوریل صعودی به کار می‌بریم. این قراردادها در ترکیبیات استفاده شده‌اند،^[۴] گرچه نمادگذاری دونالد کنوث، یعنی $x^{\underline {n}},x^{\overline {n}}$ برای این اشیاء ریاضیاتی به‌طور فزاینده ای در حال معروف شدن می‌باشند.^[۲]^[۵] در نظریه توابع خاص (به خصوص توابع فوق‌هندسی) و در مرجع استاندارد Aabramowitz and Stegun، از نماد پوکهامر $(x)_{n}$ جهت نمایش فاکتوریل صعودی استفاده شده‌است.^[۶]^[۷]

هنگامی که x عدد صحیح مثبتی باشد، $(x)_{n}$ تعداد n-جایگشت‌های یک مجموعه x عضوی را می‌دهد، یا به‌طور معادل تعداد توابع یک‌به‌یک از مجموعه‌ای به اندازه n به مجموعه‌ای به اندازه x. همچنین، $(x)_{n}$ «تعداد طرقی است که n پرچم را می‌توان در x سوراخ پرچم» آرایش داد،^[۸] به طوری که تمام پرچم‌ها باید استفاده شود و هر سوراخ پرچم می‌تواند حداکثر یک پرچم داشته باشد.

ارجاعات

↑ ^۱٫۰ ^۱٫۱ Steffensen, J. F. (17 March 2006), Interpolation (2nd ed.), Dover Publications, p. 8, ISBN 0-486-45009-0 (A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing Co.)
↑ ^۲٫۰ ^۲٫۱ Knuth. The Art of Computer Programming. Vol. Vol. 1 (3rd ed.). p. 50. {{cite book}}: |volume= has extra text (help)
↑ Knuth, Donald E. (1992), "Two notes on notation", American Mathematical Monthly, 99 (5): 403–422, arXiv:math/9205211, doi:10.2307/2325085, JSTOR 2325085, S2CID 119584305. The remark about the Pochhammer symbol is on page 414.
↑ Olver, Peter J. (1999). Classical Invariant Theory. Cambridge University Press. p. 101. ISBN 0-521-55821-2. MR 1694364.
↑ Harris; Hirst; Mossinghoff (2008). Combinatorics and Graph Theory. Springer. Ch. 2. ISBN 978-0-387-79710-6.
↑ Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. p. 256.
↑ A useful list of formulas for manipulating the rising factorial in this last notation is given in Slater, Lucy J. (1966). Generalized Hypergeometric Functions. Cambridge University Press. Appendix I. MR 0201688.
↑ Feller, William. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Vol. Vol. 1. Ch. 2. {{cite book}}: |volume= has extra text (help)

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Falling and Rising Factorials». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۱ مهٔ ۲۰۲۱.

پیوند به بیرون

[Steffensen-1] ۱٫۰ ^۱٫۱ Steffensen, J. F. (17 March 2006), Interpolation (2nd ed.), Dover Publications, p. 8, ISBN 0-486-45009-0 (A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing Co.)

[The_Art_of_Computer_Programming-2] ۲٫۰ ^۲٫۱ Knuth. The Art of Computer Programming. Vol. Vol. 1 (3rd ed.). p. 50. {{cite book}}: |volume= has extra text (help)

[Knuth-3] Knuth, Donald E. (1992), "Two notes on notation", American Mathematical Monthly, 99 (5): 403–422, arXiv:math/9205211, doi:10.2307/2325085, JSTOR 2325085, S2CID 119584305. The remark about the Pochhammer symbol is on page 414.

[4] Olver, Peter J. (1999). Classical Invariant Theory. Cambridge University Press. p. 101. ISBN 0-521-55821-2. MR 1694364.

[5] Harris; Hirst; Mossinghoff (2008). Combinatorics and Graph Theory. Springer. Ch. 2. ISBN 978-0-387-79710-6.

[6] Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. p. 256.

[7] A useful list of formulas for manipulating the rising factorial in this last notation is given in Slater, Lucy J. (1966). Generalized Hypergeometric Functions. Cambridge University Press. Appendix I. MR 0201688.

[8] Feller, William. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Vol. Vol. 1. Ch. 2. {{cite book}}: |volume= has extra text (help)

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

[۵]

[۶]

[۷]

[۸]