Rolleren teorema

Kalkulu diferentzialean, Rolle-ren teoremak dio funtzio bat $[a,b]$ tarte batean jarraia eta $(a,b)$ tarte batean deribagarria bada, $f(a)=f(b)$ izanik, existituko dela gutxienez puntu bat tarte horretan malda nulua duena, hau da, $\exists c\in (a,b):f'(c)=0$. Bataz besteko balioaren teoremaren kasu berezi bat da.

Bhaskara II matematikari indiarrak deskribatu zuen 12. mendean, baina Michel Rolle (1652-1719) matematikariak frogatu zuen 1691-an.

Teorema

Izan bedi $f$ funtzioa $[a,b]$ tartean jarraitua eta $(a,b)$ tarte irekian deribagarria eta demagun $f(a)=f(b)$ dela. Orduan $\exists c\in (a,b):f'(c)=0$.

Froga

$f$ funtzioa $[a,b]$ tartean jarraitua denez, minimo eta maximo absolutuak lortzen ditu $[a,b]$ tartean arabera, hau da, $f(x_{0})\leq f(x)\leq f(y_{0}),\forall x\in [a,b]$. Bi posibilitate daude:

• Maximoa edo minimoa $(a,b)$ tartean dago. $x_{0}$ puntua orduan mutur bat (minimo bat) izango da, beraz $f'(x_{0})=0$, mutur baten deribatuaren balioa $0$ delako, eta $c=x_{0}$ izango da. $y_{0}$ puntuaren kasuan konklusioa berdina da.
• Aurrekoa ez bada egia, $x_{0}$ eta $y_{0}$ tartearen muturrak izango dira. Beraz, $a={\displaystyle x_{0}}$ eta $b={\displaystyle y_{0}}$ suposatu dezakegu. Beraz, $f(x_{0})\leq f(x)\leq f(y_{0}),\forall x\in [a,b]$ ikusi dezakegu, baina $a=b$ denez, funtzioa konstantea izango da, eta edozein punturen deribatuaren balioa $0$ izango da.

Adierazpen geometrikoa

Hurrengo irudian ikus daitekeenez, hiru baldintzak betetzen dira: funtzioa $[a,b]$ tarte batean jarraitua da, $(a,b)$ tarte batean deribagarria eta $f(a)=f(b)$ da. Ikus daitekeenez, badago gutxienez $c$ puntu bat non $f'(c)=0$, kasu honetan puntu guztiak, funtzioa konstantea delako.

Irudian funtzio konstantea ikus daiteke, baina ez da betetzen den kasu bakarra.

1. kasua

Hurrengo kasuan ikus daitekeenez, tartearen puntu maximoa $f(a)$ eta $f(b)$-ren berdina da, eta minimoa ezberdina da, beraz, kurba ganbila da.. Puntu minimoa ${\displaystyle m=f(c)}$ da, eta funtzioaren deribatua puntu honetan $0$ da.

2. kasua

Puntu minimoa $f(a)$ eta $f(b)$-ren berdina da eta maximoa ezberdina, beraz, kurba ahurra da. Puntu maximoa $M=f(c)$ da eta bere deribatua $0$ da puntu horretan.

3. kasua

Kasu honetan, bai puntu maximo bai minimoa $f(a)$ eta $f(b)$-ren ezberdinak dira. Beraz, funtzioak $[a,b]$ tarte barnean $f(a)$ eta $f(b)$ baino handiagoa den $M=f(c_{2})$ puntu maximo bat eta $f(a)$ eta $f(b)$ baino txikiagoa den $m=f(c_{1})$ puntu bat izango ditu gutxienez. Bai maximoan bai minimoan deribatuaren balioa nulua izango da, hau da,$f'(c_{1})=0$ eta $f'(c_{2})=0$.

Kanpo estekak

• Datuak: Q193286
• Multimedia: Rolle's theorem / Q193286