Pell-en ekuazio diofantoarra gisa honetako ekuazioa da: , zeinetan zenbaki arrunt eta ez karratua den. Ekuazio diofantoarren helburua, zenbaki osoen gaineko ebazpenak ( ebazpen diofantoarrak ) determinatzea da, existitzen diren kasuan.
Pellen ekuazioaren: , parametroaren balioa edozein zenbaki ez karratu izanik: , eta beti dira ebazpen diofantoarrak: ebazpen neutroak izenda daitezke. Horregatik zenbaki ez karratuarentzat, helburua: neutroak ez diren ebazpen diofantoarrak determinatzea da existitzen diren kasuan.
Pell-en ekuazio diofantoarraren problemak bi dira beraz: zenbaki ez karratua emanik, ebazpen ez neutrorik ba ote duen determinatzea, eta duen kasuan ahal diren ebazpen guztiak determinatzea.
Irudian , ekuazioaren zenbait ebazpen diofantoar eta ez neutroak, gorriz adierazi dira:
Ekuazio honen ikerketa antzinakoa[1] da, eta ebazpena XVIII. mendean gauzatuko da.
Badirudi Euler-en nahaste baten ondorioz atxikitzen zaiola ekuazio hau Pell-i. Badirudi Eulerrek Wallis aipatu beharrean Pell aipatu zuela.
Dirichlet-ek Pell en ekuazioa bateragarria dela frogatuko du. Hots: edozein zenbaki arrunt ez karraturentzat, Pellen ekuaziak beti duela ebazpen ez neutro bat ( ), (usategiaren printzipioa erabiliz).
Pell-en ekuazioak ebazpen ez neutro bat baldin badu, badu ebazpen minimo bat, eta ebazpen minimo honek ekuazio diofantikoaren ebazpen guztiak determinatzen ditu: oinarrizko ebazpena izendatzen da ebazpen minimo hau.
zenbaki ez karratua emanik, Pell-en ekuazioa: , bateragarria dela frogatzen du Dirichlet-ek. Ondorioz ebazpen diofantoar ( ez neutroa ) bat existitzen da. Ekuazioaren ebazpenak, hiperbolan daudenez, ebazpen diofantoar bakar bat existitzen da lehen koadrantean, jatorrira distantzia minimoa duena: ebazpen minimo hau izango da: Oinarrizko ebapena, , adieraziko da, hots: . Irudian agertu den kasuan: , ren oinarrizko ebazpena: .
Zatiki jarraien bidezko garapena izango da.
Zatiki jarraien bidezko garapenaren . hondarra adieraziko da.
Zenbaki irrazionala: , erro modukoa izateagatik, Zatiki jarraien bidezko bere garapena, lehen koefizientetik aurrera periodikoa dela frogatuko du Galoisek, eta periodo hori: , berdintza betetzen duen lehen zenbaki arrunta dela.
Honela: izango da zatiki jarraien bidezko garapena.
Ondorengoa dugu Pellen ekuazioaren oinarrizko ebazpena:
, bikoitia bada.
, bakoitia bada.
Irudian agertu den kasuan: , ondorioz: , bakoitia.
, eta erlazio hori betetzen du edozein ebazpenek. Ondorioz:
, berdintza betetzen da edozein zenbaki osorentzat.
, moduan adieraz daiteke, eta , moduan zeinetan:
Zeinetan: , hartzen bada lehen koadranteko ebazpen guztiak hartzen diren. Ebazpen hauen artean ezin dela beste egon frogatuz, lehen koadanteko ebazpen guztiak gisa horretakoak dira.