Edukira joan

Pellen ekuazio

Wikipedia, Entziklopedia askea
p=2 parametroarentzat, Pell-en ekuazioaren zenbait ebazpen diofantoar.
, ekuazioaren zenbait ebazpen diofantoar.

Pell-en ekuazio diofantoarra gisa honetako ekuazioa da: , zeinetan zenbaki arrunt eta ez karratua den. Ekuazio diofantoarren helburua, zenbaki osoen gaineko ebazpenak ( ebazpen diofantoarrak ) determinatzea da, existitzen diren kasuan.

Pellen ekuazioaren: , parametroaren balioa edozein zenbaki ez karratu izanik: , eta beti dira ebazpen diofantoarrak: ebazpen neutroak izenda daitezke. Horregatik zenbaki ez karratuarentzat, helburua: neutroak ez diren ebazpen diofantoarrak determinatzea da existitzen diren kasuan.

Pell-en ekuazio diofantoarraren problemak bi dira beraz: zenbaki ez karratua emanik, ebazpen ez neutrorik ba ote duen determinatzea, eta duen kasuan ahal diren ebazpen guztiak determinatzea.

Irudian , ekuazioaren zenbait ebazpen diofantoar eta ez neutroak, gorriz adierazi dira:

Ekuazio honen ikerketa antzinakoa[1] da, eta ebazpena XVIII. mendean gauzatuko da.

Badirudi Euler-en nahaste baten ondorioz atxikitzen zaiola ekuazio hau Pell-i. Badirudi Eulerrek Wallis aipatu beharrean Pell aipatu zuela.

Evariste Galois (1811-1832)

Dirichlet-ek Pell en ekuazioa bateragarria dela frogatuko du. Hots: edozein zenbaki arrunt ez karraturentzat, Pellen ekuaziak beti duela ebazpen ez neutro bat ( ), (usategiaren printzipioa erabiliz).

Pell-en ekuazioak ebazpen ez neutro bat baldin badu, badu ebazpen minimo bat, eta ebazpen minimo honek ekuazio diofantikoaren ebazpen guztiak determinatzen ditu: oinarrizko ebazpena izendatzen da ebazpen minimo hau.

Oinarrizko ebazpena determinatzeko metodoa, zatiki jarraien bidez ebatziko dute: Euler(1748), Lagrange(1768) eta Galois(1828)-ek: zenbaki irrazional bikarratuak, zatiki jarraien bidezko garapenarekiko karakterizatuz.

Oinarrizko ebazpena

[aldatu | aldatu iturburu kodea]

zenbaki ez karratua emanik, Pell-en ekuazioa: , bateragarria dela frogatzen du Dirichlet-ek. Ondorioz ebazpen diofantoar ( ez neutroa ) bat existitzen da. Ekuazioaren ebazpenak, hiperbolan daudenez, ebazpen diofantoar bakar bat existitzen da lehen koadrantean, jatorrira distantzia minimoa duena: ebazpen minimo hau izango da: Oinarrizko ebapena, , adieraziko da, hots: . Irudian agertu den kasuan: , ren oinarrizko ebazpena: .

Zatiki jarraien bidezko garapena izango da.

Zatiki jarraien bidezko garapenaren . hondarra adieraziko da.

Zenbaki irrazionala: , erro modukoa izateagatik, Zatiki jarraien bidezko bere garapena, lehen koefizientetik aurrera periodikoa dela frogatuko du Galoisek, eta periodo hori: , berdintza betetzen duen lehen zenbaki arrunta dela.

Honela: izango da zatiki jarraien bidezko garapena.

Ondorengoa dugu Pellen ekuazioaren oinarrizko ebazpena:

, bikoitia bada.

, bakoitia bada.

Irudian agertu den kasuan: , ondorioz: , bakoitia.

Eta oinarrizko ebazpena:

Ebazpen guztiak

[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Pellen ekuazioaren: , oinarrizko ebapena bada: .

, eta erlazio hori betetzen du edozein ebazpenek. Ondorioz:

, berdintza betetzen da edozein zenbaki osorentzat.

, moduan adieraz daiteke, eta , moduan zeinetan:

Zeinetan: , hartzen bada lehen koadranteko ebazpen guztiak hartzen diren. Ebazpen hauen artean ezin dela beste egon frogatuz, lehen koadanteko ebazpen guztiak gisa horretakoak dira.

Lehena:

, ez da karratua, eta beraz: , bateragarria.

, zatiki jarraien bidezko garapena.

, bikoitia denez:

Ebazpen minimoa: .

.

Lehen koadranteko ebazpen guztiak:

Bigarrena:

, ez da karratua, beraz: , bateragarria da.

, zatiki jarraien bidezko garapena.

, bakoitia denez:

Ebazpen minimoa:

Eta lehen koadranteko ebazpen guztiak:

Erreferentziak

[aldatu | aldatu iturburu kodea]
  1. Solving the Pell equation. Notices Am Math. Soc., 182-192 or..

Ikus, gainera

[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Kanpo estekak

[aldatu | aldatu iturburu kodea]