Karratu magiko

$n=3$ mailako karratu magikoa da, bere konstante magikoa M=15 den.

Aisialdiko matematikan, karratu magikoa zenbaki multzo karratu bat da -normalean zenbaki osoak eta positiboak izanik- non bere lerro, zutabe eta diagonal nagusi bakoitzeko zenbakien baturak berdinak diren. Karratu magikoaren maila (orokorki jarrita $n$ deritzona) karratuaren alde batean dauden zenbaki osoen kopurua da; eta zenbakien batura konstanteari konstante magiko deritzo.

Karratu magikoek historia luzea dute; lehenengo agerraldia K.a. 190. urtean izan zen Txinan. Bere historian zehar esanahi ezkutu edo mistikoa izan dute, artelanetan ere agerraldiak izanik.

Gaur egun, ez dago karratu magikoen ezaugarriez baliatzen den aplikazio tekniko ezagunik; beraz, dibertimenduari, jakin-minari eta pentsamendu matematikoari lotuta jarraitzen dute. Karratu magikoekin jolasteko web-orri bat Wolfram Mathematica da.

Honetaz gain, ezkutuko zientzietan eta, zehazkiago, magian nabarmentzen dira karratu magikoak.

Ekialdeko teknika mota batzuetan ere garrantzi handia dute, esaterako, Ba Gua eta Feng Shui tekniketan, bai arrazoi filosofiko eta numerologikoengatik bai arrazoi praktikoengatik.

Propietateak

Konstante magikoa

Edozein lerro, zutabe edo diagonalen batura den konstanteari batuketa magiko edo konstante magiko deritzo, $M$. Karratu magiko arrunt bakoitzak n mailaren mendeko konstante bat du, $M=n(n^{2} 1)/2$ formularen bidez kalkulatzen dena. Hori frogatzeko, $1,2,...,n^{2}$ -ren batuketa $n^{2}(n^{2} 1)/2$ dela ikus daiteke. Lerro bakoitzaren batuketa $M$ denez, $n$ lerroen batura $nM=n^{2}(n^{2} 1)/2$ izango da. Eta hau $n$ mailaz zatitzean, konstante magikoa lortzen da.

$n=3,4,5,6,7$ eta $8$ denean, konstante magikoak $15,34,65,111,175$ eta $260$ dira, hurrenez hurren.

Lehen mailako karratu magikoak

$1\times 1$-ko karratu magikoa, $1$ zenbakia duen gelaxka bakarra duena, tribiala deritzo. Normalean, ez da kontuan hartzen karratu magikoez hitz egiten denean; baina, berez, karratu magiko bat da definizioz, $n=1$ mailako gelaxka bakar bat karratu gisa hartzen badugu.

Ezin da eraiki 2 mailako karratu magikorik

Tamaina guztietako karratu magiko arruntak eraiki daitezke, $2\times 2$-koak izan ezik (hau da, maila $n=2$ denean ezinezkoa da).

Hiru mailako karratu magikoak

3 mailako karratu magikoak bereziak dira, karratu magiko ez tribial baten kasurik txikiena delako (mailari begira). Gainera, karratu magiko bakarra dago, bere aldaketak -hau da, errotazioak edota islapenak- kontuan hartu gabe.

Karratu Magiko Motak

4x4 tamainako karratu magikoen sailkapen txiki bat.

Sailkapena

• Karratu magikoa tribiala deitzen zaio zenbaki errepikatuak baditu. Familia Santuaren tenpluko karratu magikoa, adibidez, tribiala da.
• Karratu erdimagikoa edo ortomagikoa da batura berdina duena lerroetan eta zutabeetan bakarrik. Hau da, karratuaren diagonalek ez dute konstante magikoa betetzen.
• Karratu magikoa normala da baldin eta karratu magikoak zenbaki osoak eta positiboak bakarrik erabiltzen dituen. Mota honi sinplea edo arrunta ere deitzen zaio.
• Karratu magiko panmagikoak ( karratu magiko pandiagonal, karratu magiko perfektu eta deabruzko karratu magiko izenekin ere ezagutua) karratu magikoen definizioaz gain beste propietate bat betetzen du. Propietatea hurrengoa da: apurtutako diagonal bakoitzak - irudian horiz, berdez eta urdinez koloreztatuta- konstante magikoa betetzen du. Ondoko irudian ikus daitekeenez, karratu magikoak 6 diagonal apurtu ditu.
• Karratu magiko perfektuenak, karratu panmagikoak dira 2 propietate gehiagorekin. Lehena, 2x2 azpi-karratu bakoitzak konstante magikoaren $1/k$ gehitzen du non $n=4k$ den, eta bigarrena, edozein diagonal batean zehar (nagusia edo apurtua) $n/2$ distantziako zenbaki oso pareak osagarriak dira. Propietate hauek sendotasun eta osotasun propietateak deitzen dira, hurrenez hurren. Karratu magiko hauek bakarrik existitzen dira beraien maila bikoiti bikoitza bada, hau da, maila lau zatigarria denean. Gainera, 4 mailako karratu panmagikoak beti izango dira perfektuenak ere.
• Karratu magiko elkarkorra da karratu magikoaren definizioa eta beste propietate bat betetzen duenean. Propietate honek dio nola erdiguneari simetriko dauden zenbaki pare bakoitzaren batura balio bera ematen duen. Beste izen hauekin ere ezagutzen dira: karratu magiko erregularrak, regmagikoak eta simetrikoak.
• Karratu ultramagikoa da karratu magikoa elkarkorra eta panmagikoa bada. $n\geq 5$ mailakoak badira bakarrik existitzen dira.
• Karratu multimagikoa da karratu magikoaren zenbakiak beraien k berreturagatik aldatzerakoan karratu magikoak izaten jarraitzen dute, $1\leq k\leq P$ izanik. Karratu P-multimagikoak edo karratu satanikoak bezala ere ezagutzen dira. P=2,3,4 edo 5 denean izen bereziak dauzkate, hurrenez hurren, karratu bimagikoak, trimagikoak, tetramagikoak eta pentamagikoak.
• Ertzdun karratu magikoa da ertzak kentzen zaizkionean karratu magikoa izaten jarraitzen badu. Adibidez, 8. mailako ertzdun karratu magikoari ertzak kentzen bazaizkio, 6. mailako karratu magiko bat lortuko dugu.

8.mailako ertzdun karratu magikoa

64	4	9	54	63	3	10	53
60	15	16	47	48	49	20	5
7	44	22	42	41	25	21	58
51	33	37	29	30	28	38	14
6	32	34	35	36	31	27	59
8	26	40	24	23	43	39	57
52	45	46	18	17	19	50	13
12	61	56	11	2	62	55	1

6.mailako karratu magikoa

15	16	47	48	49	20
44	22	42	41	25	21
33	37	29	30	28	38
32	34	35	36	31	27
26	40	24	23	43	39
45	46	18	17	19	50

Aldakuntzak

Ramanujan matematikariaren karratu magikoa.

• Propietate gehiago jarriz. Karratu P-multimagikoak edo zenbaki lehenez bakarrik osaturikoak izan daitezke. Orain azaldutakoak beste bi karratu magiko mota arraro dira:
  • Karratu alphamagikoak lortzen dira karratu magiko baten zenbakien izenen letrek karratu magikoa sortzen badute.
  • Urtebetetze karratu magikoa, izenak azaltzen duen bezala, karratu magiko bat da non egun espezifiko bat aurkeztea eskatzen den. Honen adibide bat Srinivasa Ramanujan indiar matematikariak eratu zuen, 4 mailako karratua non data DD-MM-CC-YY formatuarekin goiko lerroan agertzen den.
• Karratu magiko biderkakorrak karratu magikoen definizioan egiten dute aldaketa. Lerro, zutabe eta diagonal bakoitzaren batuketak balio bera eman beharrean, beraien biderketak eman behar du zenbaki berdina. Gainera, metodo bereziak erabiliz, karratu magiko biderkakorrak sortu daitezke zenbaki konplexuak erabiliz.

konstante magikoa = 216

2	9	12
36	6	1
3	4	18

konstante magikoa = 6720

1	6	20	56
40	28	2	3
14	5	24	4
12	8	7	10

Karratu magiko geometrikoa.

• Karratu magiko geometrikoak Lee Sallows-ek sortu eta izendatu zituen. Karratu magiko mota honek zenbakien ordez irudi geometrikoak erabiltzen ditu bere sorreran.
• Karratu magikoak beste formekin sortuz. Hau da, karratuak ez diren beste forma bi dimentsionalak erabiliz. Kasu orokorra definitzeko N zatiduneko diseinua kontsideratzen dugu. Magikoa dela esateko, zati bakoitza 1 eta N zenbakien artean izendatuz, beraien azpi-diseinu berdintsuak batura berdina dutenean. Mota honen adibide batzuk zirkulu magikoak, hiruki magikoak eta izar magikoak dira.
• 3 dimentsioko forma magikoak ere sor daitezke. Horien zenbait adibide: esfera magikoak, zilindro magikoak, kubo magikoak eta beste hiperkubo magikoak.

Historia

Hirugarren mailako lehen karratu magikoa K.a. 190. urtean ezagutu zuten matematikari txinatarrek, eta esplizituki eman zen oraingo aroko lehen mendean. Laugarren mailako karratu magikoaren lehen kasu aipagarria 587. urtean gertatu zen, Indian. Bagdadeko 983. urteko entziklopedia batean, Rasa'il Ikhwan al-Safa, 3 eta 9 bitarteko karratu magikoen adibideak agertzen dira.

XII. mendearen amaieran, karratu magikoak eraikitzeko metodo orokorrak ondo ezarrita zeuden. Garai hartan, karratu horietako batzuk gero eta gehiago erabiltzen ziren karta magikoekin batera, hala nola, Shams Al-ma'arif-en, ezkutuko helburuekin.

Indian, laugarren mailako karratu magiko pandiagonal guztiak Narayanak izendatu zituen 1356an. Karratu magikoak Europan ezagutu ziren iturri arabiarrak itzuliz, esaterako, errenazimentuan ezkutuan zeuden objektuak, eta teoria orokorra berraurkitu egin behar izan zen, Txinan, Indian eta Ekialde Hurbilean aurretik izandako garapenetatik aparte.

Aipagarriak dira, halaber, tradizio matematiko eta numerologikokoak dituzten antzinako kulturak, ez zituztela karratu magikoak aurkitu: grekoak, babiloniarrak, egiptoarrak eta kolonaurreko amerikarrak.

Bitxikeria bezala, 1998an aurkikuntza garrantzitsuak egin ziren karratu magiko mota batzuentzat, mendeetan zehar matematikariei itzuri egin zitzaizkienak. Aurkikuntza hauek bi pertsonek egin zituzten: Kathleen Ollerenshaw eta David Brée. Ollerenshaw-k unibertsitateko administrazioan lan egiten zuen, eta Brée-k enpresa-ikasketak, psikologia eta adimen artifiziala lantzen ditu.

Europa latinoa

Persian eta Arabian ez bezala, dokumentazio hobea dugu jakiteko nola transmititu ziren karratu magikoak Europara. Manuel Moschopoulos jakintsu greziar bizantziarrak karratu magikoen gaiari buruzko matematika-tratatua idatzi zuen, Ekialde Hurbileko bere aurrekoen mistizismoa alde batera utzita, non bi metodo ematen zituen karratu bakoitietarako eta bi metodo bikoitietarako. Moschopoulos erabat ezezaguna izan zen Europa latindarrarentzat XVII. mendearen amaiera arte, Philippe de la Hirek bere tratatua Parisko Errege Liburutegian aurkitu zuenean. Hala ere, ez zen izan karratu magikoei buruz idatzi zuen lehen europarra, eta horiek Europan zehar zabaldu ziren Espainian eta Italian zehar okultismoko objektu gisa. Karratuek erakusten zituzten lehen okultismo-tratatuek ez zuten deskribatzen nola zeuden eraikita. Beraz, teoria guztia berraurkitu behar izan zen.

Karratu magikoak Europan agertu ziren lehen aldiz Ibn Zarkali Toledotarrak, Al-Andalus, idatzitako Kitāb tadbīrāt al-kawākib (Planeten eraginei buruzko liburua ), XI. menderako karratu planetario gisa. Hirugarren mailako karratu magikoa modu numerologikoan eztabaidatu zuen Xll. mendearen hasieran Abraham ibn Ezra Toledotar jakintsu juduek, geroago kabalistengan eragina izan zuenak. Ibn Zarkaliren lana Libro de Astromagia bezala itzuli zen 1280ko hamarkadan, Alfontso X.a Gaztelakoari esker. Alfonsineko testuan, maila ezberdinetako karratu magikoak esleitzen zaizkie dagozkien planetei, literatura islamikoan bezala; zoritxarrez, eztabaidatutako karratu guztien artean, bosgarren mailako Marteko karratu magikoa da eskuizkribuan erakusten den karratu bakarra.

Karratu magikoak berriro agertzen dira Florentzian, Italian, XIV. mendean. $6\times 6$ eta $9\times 9$ karratu bat Paolo Dagomariren Trattato d'Abbaco (Abakoaren Tratatua) eskuizkribu batean daude ikusgai. Interesgarria da ikustea Paolo Dagomarik, haren ondoren Paciolik bezala, karratuak oinarri erabilgarritzat hartzen dituela galdera eta joko matematikoak asmatzeko, eta ez duela erabilera magikorik aipatzen. Hala ere, Eguzkiaren eta Ilargiaren karratuak direla aipatzen du, eta hobeto zehaztu ez diren kalkulu astrologikoetan sartzen direla aipatu du. Esan bezala, ikuspuntu berak motibatzen du Luca Paciolik berriz florentziarra, XV. mendearen amaieran De Viribus Quantitatis lanean $3\times 3$ eta $9\times 9$ arteko karratuak deskribatzen dituena.

Europa XV. mendearen ondoren

Karratu planetarioak Europa iparraldera hedatu ziren XV. mendean. Poloniako Picatrix-en Cracoviako eskuizkribuak hirugarren mailatik bederatzigarren mailara bitarteko karratu magikoak erakusten ditu. Krakoviako eskuizkribuaren karratu-multzo bera geroago agertzen da Parazeltsoren idazkietan Archidoxa Magican (1567), baina oso modu nahasian. 1514an, Albrecht Dürer-ek 4x4ko karratu bat betikotu zuen Melancolia I grabatu famatuan. Parazeltsoren garaikideak, Heinrich Cornelius Agrippa von Nettesheim-ek, bere liburu ospetsua argitaratu zuen hiru liburukitan: De occulta philosophia 1531n, non II. liburuko 22. kapitulua honako karratu planetarioei eskaini zituena.

Lauki planetarioen tradizioa XVII.mendean jarraitu zuen Athanasius Kircherrek Oedipi Aegyptici (1653) lanean. Alemanian, karratu magikoei buruzko itun matematikoak idatzi zituzten 1544an Michael Stifelek Arithmetica Integran, mugatutako karratuak berraurkitu zituena, eta Adam Riesek, Agrippak argitaratutako lauki maila bakoitiak eraikitzeko zenbaketa jarraituaren metodoa berriro aurkitu zuena. Hala ere, garai hartako erlijio gorabeherak zirela eta, lan hauek ezezagunak ziren Europako gainerako herrialdeentzat.

1624an Frantzian, Claude Gaspard Bachetek "diamantearen metodoa" deskribatu zuen, Problèmes Plaisants liburuan Agrippako karratu bakoitiak eraikitzeko. 1640an Bernard Frénicle de Bessyk eta Pierre Fermat-ek karratu eta kubo magikoei buruzko gutunak trukatu zituzten. Horietako batean, Fermat bere metodoaren bidez 8. mailako 1.004.144.995.344 lauki magiko eraikitzeko gai izateaz harrotzen da. Antoine Arnauldek, Nouveaux éléments de géometrie (1667) lanean, ordurako azaldua zuen ertzdun karratuen eraikuntza. 1693an, Bernard Frénicle de Bessyk frogatu zuen lau mailatik 880 bat karratu magiko zeudela, Des quarrez ou tables magiques eta Table générale des quarrez magiques de quatre de côté bi tratatuetan, Bernardek hil eta hogei urtera argitaratuak. Frénicle-k edozein maila bikoitiko eta bakoitiko karratu magikoak eraikitzeko metodoak eman zituen, non maila bikoitiko karratuak ertzak erabiliz eraikitzen ziren. Karratu magiko baten lerro eta zutabeen trukeak karratu magiko berriak sortzen zituela ere frogatu zuen.

1691en, Simon de la Loubère-k Du Royaume de Siam liburuan deskribatu zuen Siam-en misio diplomatiko batetik itzultzean ikasi zuen karratu magiko bakoitiak eraikitzeko metodo jarraitu indiarra, Bachet-en metodoa baino azkarragoa zena. Bere funtzionamendua azaldu nahian, de la Loubere-k lehen zenbakiak eta erro-zenbakiak erabili zituen, eta berriro aurkitu zuen atariko bi karratu gehitzeko metodoa. Metodo hau gehiago ikertu zuen Abbe Poignardek Traité des quarrés sublimes (1704), Philippe de La Hire-k Mémoires de l'Académie des Sciences (1705) eta Joseph Sauveur- ek Construction des quarrés magiques (1710) lanetan. De la Hire-k 1705ean ertzdun karratu zentrokideak ere aztertu zituen, Sauveurrek kubo magikoak eta letradun karratuak garatzen zituen bitartean, Euler- ek 1776an hartu zituenak, eta askotan, asmatu izanaren meritua esleitzen zaiona.

Saturno=15

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Jupiter=34

4	14	15	1
9	7	6	12
5	11	10	8
16	2	3	13

Marte=65

11	24	7	20	3
4	12	25	8	16
17	5	13	21	9
10	18	1	14	22
23	6	19	2	15

Eguzkia=111

6	32	3	34	35	1
7	11	27	28	8	30
19	14	16	15	23	24
18	20	22	21	17	13
25	29	10	9	26	12
36	5	33	4	2	31

Artizarra=175

22	47	16	41	10	35	4
5	23	48	17	42	11	29
30	6	24	49	18	36	12
13	31	7	25	43	19	37
38	14	32	1	26	44	20
21	39	8	33	2	27	45
46	15	40	9	34	3	28

Merkurio=260

8	58	59	5	4	62	63	1
49	15	14	52	53	11	10	56
41	23	22	44	45	19	18	48
32	34	35	29	28	38	39	25
40	26	27	37	36	30	31	33
17	47	46	20	21	43	42	24
9	55	54	12	13	51	50	16
64	2	3	61	60	6	7	57

Ilargia=369

37	78	29	70	21	62	13	54	5
6	38	79	30	71	22	63	14	46
47	7	39	80	31	72	23	55	15
16	48	8	40	81	32	64	24	56
57	17	49	9	41	73	33	65	25
26	58	18	50	1	42	74	34	66
67	27	59	10	51	2	43	75	35
36	68	19	60	11	52	3	44	76
77	28	69	20	61	12	53	4	45

Benjamin Franklinek, 1767an, Franklinen izen bereko karratuaren propietateak zituen karratu semimagiko bat argitaratu zuen. Ordurako, karratu magikoei lotutako aurreko mistizismoa erabat desegin zen, eta gaia jolas-matematikaren zati bat bezala tratatzen zen.

Sorkuntza-metodoak

Karratu magikoak sortzeko hainbat modu aurkitu dira haien historia luzean zehar. Metodo hauek bitan banatu daitezke: metodo orokorrak eta bereziak. Metodo orokorrekin maila jakin bateko karratu magiko bat baino gehiago sortzen dugu. Metodo bereziak estandarrak dira eta karratu magikoak eratzeko modu sinpleena dira. Algoritmo edo formula batzuk jarraitzen ditu, zenbakien eredu erregularrak sortzen dituenak. Metodo berezi bat Ramanujanren urtebetetze karratu magikoa da. Metodo bereziak orokorrean haien sortzaileen izenengatik jakina da, adibidez, De la Louberen metodoa, Starcheyren metodoa, etab.

Karratu magikoak existi dira edozein $n$ mailarako, 2 mailakoak izan ezik. Horregatik, karratu magikoak mailaren arabera klasifikatu daitezke: bakoitia, bikoiti bikoitza ($n$ lau zatigarri) eta bikoiti sinplea ($n$ bi zatigarri, baina ez lau). Sailkapen hau ere metodoetan oinarrituta dago, maila desberdineko karratuek teknika oso desberdinak behar dituztelako. Maila bakoiti eta bikoiti bikoitzeko karratuak erraz sortzen dira; bikoiti sinpleak sortzea, ordea, zailagoa da, zenbait metodo dauden arren; LUX metodoa, John Horton Conway-k sortua, esaterako.

Maila bakoitiko karratu magikoa sortzeko metodoa

1693. urtean Loubère diplomatiko frantsesak metodo hau argitaratu zuen, Siamesa metodoa ere deitua.

Metodoak lehen lerroko erdiko zutabean $1$ zenbakiarekin hastea agintzen du. Honen ondoren, zenbakiak ordenan jartzen goaz haien posizioa aurretikoaren diagonala - gora eta eskuinean - izanik. Posizioa beteta badago, bertikalki posizio bat behera goaz eta lehen bezala jarraitzen dugu. Egiten ditugun mugimenduak karratutik irteten badira, mugimedua gora eta eskuinera izanik, azken ilarara edo lehen zutabera pasatzen gara, hurrenez hurren.

1.Pausoa

	1

2.Pausoa

	1
		2

3.Pausoa

	1
3
		2

4.Pausoa

	1
3
4		2

5.Pausoa

	1
3	5
4		2

6.Pausoa

	1	6
3	5
4		2

7.Pausoa

	1	6
3	5	7
4		2

8.Pausoa

8	1	6
3	5	7
4		2

9.Pausoa

8	1	6
3	5	7
4	9	2

Gainera, lehen lerroko erdiko zutabea ez den posizio batetik hasteak karratu erdimagiko bat sortuko du.

Maila bikoiti bikoitzeko karratu magikoak sortzeko metodoa

Eredu orokorra. Zenbaki guztiak ordenan idatzi, ezkerretik eskuinera lerroz lerro jarriz, karratuaren goiko ezkerreko izkinatik abiatuz. Ondoren, zenbakiak lekuz mantendu edo eredu erregular jakin batekin elkarren aurka jarri daitezke.

4, 8 eta 12 mailako karratu magikoak sortzeko metodoa. $n\times n$ tamainako bi karratutik abiatzen da, lehena ordenan zenbakiak goitik-behera eta ezkerretik-eskumara idazten, bigarrena zenbakiak alderantzizko ordenan jarriz. Karratu magikoa eratzeko, patroi-taula bat sortzen da $0$ eta $1$zenbakiak erabiliz, behean ikusi daitekeen bezala. Patroia ulertzeko, $1$ zenbakia dagoen laukietan hasierako lehen karratuko balioak jartzen dira eta $0$ zenbakia dagoen laukietan bigarren karratukoak. 8 eta 12 mailako patroia eratzeko, 4 mailakoa errepikatuz egin daiteke.

goitik-behera eta ezkerretik-eskumara

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

alderantzizko ordena

16	15	14	13
12	11	10	9
8	7	6	5
4	3	2	1

Patroi taula

1	0	0	1
0	1	1	0
0	1	1	0
1	0	0	1

Lortzen den 4.mailako karratu magikoa

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

Ertzen metodoa

Metodo honen bidez, 5. mailako karratu magikoak sortzeko kasua 3. mailakoaren antzekoa da, karratuaren kanpoko ertza erabiliz sortzen dira. Nabarmentzekoa da ezin dela 4. mailako karratu bat sortu metodo honekin 2. mailako karratu magikorik ez dagoelako. Metodoa burutzeko zenbait pausu egin behar dira.

Lehenik, behar den mailako karratu batetik abiatzen da, non ordenan zenbakiak goitik-behera eta ezkerretik-eskumara idazten dira. Ondoren, karratuaren zentroko balioa ($3\times 3$-ko kasuan 5 zenbakia) ertzeko balioei kendu. Geratzen diren balioak $\pm a$ motakoak izango dira, a balioa kendutako zenbakia baino txikiagoa izanik ($3\times 3$-ko kasuan, $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4$). Zenbaki horiei hezur zenbakiak deritze eta karratua karratu eskeletoa.

u	a	v
b	0	b'
v'	a'	u'

Ikusi karratu magikoa izateko zutabe, lerro eta diagonal bakoitzaren baturak zero eman behar duela. Horregatik hurrengo ekuazioak lortzen ditugu $3\times 3$ -ko kasuan:

${\begin{cases}a a'=0\Leftrightarrow a=-a'\\b b'=0\Leftrightarrow b=-b'\\u u'=0\Leftrightarrow u=-u'\\v v'=0\Leftrightarrow v=-v'\end{cases}}$

${\begin{cases}a v u=0\\a' v' u'=0\\u b v'=0\\u' b' v=0\end{cases}}$

Ikusi bigarren ataleko lehen bi eta azkenengo bi ekuazioak berdinak direla. Geratzen diren bi ekuazioetatik $a,b,v$ eta $u$ balioak aterako dira. Hiru balioen arteko batura bikoitia izateko bi kasu izan daitezke:

$(i)$ hiru balioak bikoitiak izatea.

$(ii)$ balio bat bikoitia eta beste biak bakoitiak izatea.

Lehen kasua 3. mailako karratuen sorreran ezinezkoa da, bikoiti bakarrak $\pm 2,\pm 4$ direlako eta sortu nahi dugun karratu magikoa tribiala ez delako. Beraz, bigarren kasua eman behar da. Kasu bakoitza aztertuz, lortzen dugu $u$ eta $v$ bakoitiak diren balioak izan behar direla. Horregatik, $u=1$, $v=3$, $a=-4$ eta $b=-2$ hartu daiteke. Jarraian ikusten den bezala geratuko da. Azken pausua hasieran kendutako balioa (3 mailako kasuan 5 zenbakia) gehitzea da.

1	-4	3
2	0	-2
-3	4	-1

6	1	8
7	5	3
2	9	4

Karratu Magikoen Inguruko Problemak

Soluzio gabeko problemak

P_n grafikoa, $n$ mailako karratu magikoen probabilitatea erakusten duena.

Zenbat $n$ mailako karratu magiko daude $n>5$ bada?

(Matematikako soluzio gabeko problema gehiago)

Karratu magikoen kopurua $n\leq 5$ denean ezaguna da. Baina $n$ balioa igo ahala kopuru hau azkar handitzen da.

$n=1$ mailako karratu magikoen kopurua $1$ da eta ez da $n=2$ mailako karratu magikorik existitzen. $n=3$ mailako karratu magiko arrunt bakarra dago. Bestalde, karratu magiko arrunten kopuruan ez gaude kontuan hartzen bere ispiluak eta biraketak.

Ikusi nola $n=4$ mailako 880 karratu magiko dauden eta $n=5$ mailakoak 275.305.224. $n=6$ mailako karratu magikoen kopurua ez dago definitua, baina uste da $(1.7745\pm 0.0016)*10^{19}$ balioaren inguruan dagoela. Maila gorenagoa duten karratu magikoen kopurua oraindik ez dago zehaztuta.

n-Erreginen problema

1992an Demirörs-ek, Rafraf-ek eta Tanik-ek karratu magikoak n-erreginen soluzio motetan bihurtzeko metodoa argitutaratu zuten. n-Erreginen problema 8-Erreginen problemaren orokorpen bat da. Problema honetan xake-taula bat daukagu 8x8 tamainukoa eta bertan 8 erregin jarri behar dira, non erreginek ezin diren mugimendu bakar baten elkarri jan.

Karratu perfektuak

Karratu perfektuez osaturiko hiru mailako karratu magikoaren existentzia ez da frogatu, hau da, $3\times 3$ multzo karratuko 9 zifrak karratu perfektu desberdinak izatea non karratu magikoaren definizioa betetzen duten.

Lerroen eta zutabeen baturak betetzen dituzten zenbaki perfektuen multzoak aurkitu dira. Bi adibide ikus daitezke, bigarrena zenbaki lehenen karratuaz osatua.

$4^{2}$ $23^{2}$ $52^{2}$ $32^{2}$ $44^{2}$ $17^{2}$ $47^{2}$ $28^{2}$ $16^{2}$

$11^{2}$ $23^{2}$ $71^{2}$ $61^{2}$ $41^{2}$ $17^{2}$ $43^{2}$ $59^{2}$ $19^{2}$

Zifra berdinarekin bukatuz

Existitu ahal da $n$ maila guztietarako karratu magiko bat non erabilitako zenbaki lehenak zifra berdina duten? Uste da infinitu kasu daudela. $n=13$ mailako karratu magikoaren kasu bat aurkeztu zen Recreational Mathematics Magazin aldizkarian, 169 zenbaki lehen desberdin erabiliz. Jarraian 4 mailako karratu magiko bat 7 amaierarekin.

17	307	127	347
317	157	277	47
397	107	257	37
67	227	137	367

Munduko Karratu Magikoak

Familia Santuaren Tenpluko karratu magikoa.

Espainia

Familia Santuaren Tenplua

Familia Santuaren tenpluaren Pasioaren etxe-aurrean dago. Gaudí-k kontzeptualizatu eta Josep Subirachs-ek diseinatu zuen. 4. mailako karratu magiko tribiala da, 14 eta 10 balioak errepikatzen dituelako. Bere konstante magikoa 33 da, Jesus-en adina Pasioan.

Bitxikeria bezala, zenbaki hori Gaudiren atxikipen masonikoari ere aipamena egiten zaiola uste da, bere erlazioa inoiz frogatu ez den arren; masoneriaren gradu tradizionalak 33 direlako.

Dureroen karratu magikoa bezala, kubo magiko batera hedatu daiteke.

Gainera, Espainian zehar errepikatuta agertzen da karratu magiko hau; adibidez, Madrilgo Arganda kalean ikusi daiteke.

Zurgena herriko elizako karratu magikoa, bere propietate batzuekin.

Zurgena herriko "Kalbarioko Ama Birjina"

Zurgena herrian 1992. urtetik kontserbatzeko eta handitzeko obrak egin dira Kalbarioko Ama Birjinaren elizan. Obra hauek, gehien bat, Gabonetako Loteriako 54713 zenbakiaren irabaziekin ordaindu dira. Zenbakia erositako jendeari eskerrak emateko, elizaren albo batean loteria zenbakia eta karratu magiko bat jarri izan dira. 7. mailako ertzdun karratu magikoa da, 175 bere konstante magikoa izanik. Bere 5. mailako karratu magikoa ertzduna da ere eta 125 dauka konstante magiko bezala. 3. mailako karratu magikoak 75 zenbakia du konstante bezala. 25 zenbakia dauka zentroan, abenduko Gabonei aipamena egiten diona, eta bere loteriari.

Bestalde, karratu magikoak erlazio estua dauka 100 zenbakiarekin. Loteriaren zenbakiaren balioen karratuen batura 100 da [$5^{2} 4^{2} 7^{2} 1^{2} 3^{2}$] eta karratu magikoan 6 aldiz lortzen da. Hiru karratu magikoekin (7, 5 eta 3 mailakoak) lotuta daude 2 posizio desberdinetan. Karratu magiko bakoitzaren ertzen izkinen baturak 100 ematen du eta gurutze greko bat egitean (zutabe edo lerro erdian dagoen balioak hartuz) karratu magiko bakoitzean 100 lortzen da ere.

Pueyo de Jaca

Foz herrian FOZ karratu magikoa etxe-albo batean.

Aragoiko Pueyo de Jaca herriko urbanizazio baten etxe-aurrean 10 karratu magiko desberdin daude. 8. mailako bat, 6. mailako bat, 5. mailako bi, 4. mailako lau eta 3. mailako bi. Hauetatik, 4. mailako karratu magiko bat Dureroren LaMelancolía I artelanean agertzen dena da eta 5. mailako karratu magiko batek 4. mailako karratu bat dauka bere barnean.

FOZ-en Karratu Magikoa

Antonio Pomares Olivares jaunak bere erretiroan aurkitu zuen, bere emakumearekin Galiziako Foz herrian oporretan zegoenean. 4. mailako karratu latino batekin jolasten zegoela, karratu magikoez gogoratu zen eta bi hauek batu zituen. Karratu latinotik 4 koloreen posizioa aukeratu zuen eta karratu magikotik zenbakiak. 4. mailako eta 34 konstante magikoko karratu magikoa da, eta 4 kolore desberdinen edozein konbinazio hartuta 34 zenbakia ere lortzen dugu.

Dureroren La Melancolia I artelanan agertzen den karratu magikoa.

Dureroren Karratu Magikoa

Albrecht Dürer artistak 1514. urtean egindako artelan batean agertzen da. Artelan honi La Melancolia I deitzen da eta 23.8 x 18.6 cm-ko tamaina dauka. Grabatu honen karratu magikoa Europako lehen artetzat jotzen da. Bere konstante magikoa 34 da eta beste zenbait propietate betetzen ditu:

$(i)$ Koadrante bakoitzean, zentroko laukian eta izkinetako 4 balioek konstante magikoa betetzen dute.

$(ii)$ Izkinetako balioen ondoan dauden bi laukoteek ere konstante magikoa betetzen dute [ (3 8 14 9) eta (5 2 12 15) ].

$(iii)$ Izkina simetrikoen ondoko zenbakiak konstante magikoa betetzen dute [ (2 8 9 15) eta (3 5 12 14) ].

$(iv)$ Ertz simetrikoen erdiko digituen baturak konstante magikoa ematen du [ (5 9 8 12) eta (3 2 15 14) ].

$(v)$ Karratuan ikus daitezkeen gurutze itxurako lau laukoteek konstante magikoa betetzen dute [ (3 5 11 15), (2 10 8 14), (3 9 7 15) eta (2 6 12 14) ].

Parshvanatha Tenpluko karratu magikoa.

Azken lerroan, gainera, 1514 urtea ikus daiteke, artelana egin zen urtea. Alboetan duen 4 eta 1 zenbakiak D eta A letrei egiten diete erreferentzia, hurrenez hurren. Bi letra hauek artistaren izenari egiten dio aipamen.

Bitxikeria bezala, karratu magiko hau kubo magiko batera hedatu daiteke.

Parshavnath Tenpluko Karratu Magikoa

X. mendeko Parshavnath tenpluko horma batean agertzen den 4. mailako karratu normala da. Tenplua Khajuraho hirian dago, Indian. Chautisa Yantra bezala ezagutzen da eta izena hinditik dator. Hindi hizkuntzan 34 zenbakia chautisa da eta karratu honen konstante magikoa da. Yantra, ordea, Indiar erlijio tantrikoetatik datorren diagrama mistikoa da.

Karratu Magikoak Kulturan

Kondairako dortokaren patroia.

Lo Shu Karratu Magikoa

K.a. 650. urteko kondaira txinatar batek Lo ibaiaren historia kontatzen du. Kondairaren arabera, uholde handi bat egon zen Txina Zaharrean. Yu erregea ura itsasorantz bideratzen saiatzen ari zen bitartean, dortoka bat urgaineratu zen patroi bitxi batekin oskolean: 3x3 sareta bat zenbaki-puntu zirkularrekin, non lerro, zutabe eta diagonal bakoitzeko zenbaki guztiak batuz, berdina ematen zuen: Kondairak adierazten du, gero pertsonek sareta hori ibaia kontrolatzeko eta uholdetatik babesteko erabiltzen zutela. Sareta honi Lo Shu Karratu Magikoa deritzo.

Karratu Magikoak eta okultismoa

Europa osoko hainbat eskuizkributan, XV. mendetik aurrera, 3 eta 9 bitarteko mailako karratu magikoak aurki daitezke, zazpi planetei esleitua daudenak, eta praktika magikoetan planeten eta haien aingeruen (edo deabruen) eragina erakartzeko bitarteko gisa deskribatua daudenak.

Eskuizkribuen ezagunenen artean, ‘Liber de Angelis’-a, 1440. urteren  inguruan idatzitako magia-eskuliburua Cambridgeko unibertsitatean aurki dezakegu. ‘Liber de Angelis’-ren testua ‘De septem quadraturis planetarum seu quadrati magici’-ren oso antzekoa da, Jagielloρska Bibliotekaren 793 Kodean jasotako planeta-irudien magiari buruzko beste eskuliburu bat.

Eragiketa magikoetan egiten dena hau da: karratu egokia dagokion planetari esleitutako metalarekin egindako plaka batean grabatu behar da, eta erritual mota bat egin. Adibidez, Saturnorena den 3 × 3 karratua berunezko plaka batean sartu behar da. Bereziki, erditze zail batekin lagunduko die emakumeei.

1510ean, gutxi gorabehera, Heinrich Cornelius Agrippak 'De Occulta Philosophia' idatzi zuen, Marsilio Ficino eta Pico della Mirandolaren lan hermetiko eta magikoetan oinarrituta. 1531. urtean, hirutik bederatzirako mailetako zazpi karratu magikoen ahalmen magikoak azaldu zituen, horietako bakoitza planeta astrologiko bati lotuta, testu zaharrenek egin zuten bezala. Liburu horrek eragin handia izan zuen Europa osoan kontrarreforma iritsi zen arte, eta Agrippako karratu magikoak, batzuetan “kamea” deitutakoak, magia zeremonial modernoaren barruan erabiltzen jarraitzen dute, berak lehen aldiz agindu zuen bezala.

Kamea horien erabilera ohikoena espiritu, aingeru edo deabruen isiltasuna eraikitzeko eredu bat ematea da; erakundearen izenaren letrak zenbaki bihurtzen dira, eta ondoz ondoko zenbaki horiek kamean egiten duten ereduaren bidez marrak egiten dira.  Testuinguru magiko batean, karratu magiko terminoa grimorio magikoetan dauden hitz-karratuen edo zenbaki-karratuen aniztasunari ere aplikatzen zaio, eredu nabaririk ez duten batzuk barne, baita errenkada eta zutabe zenbaki desberdinak dituztenak ere. Oro har, talisman gisa erabiltzen dira. Adibidez, honako karratu hauek: Sator karratua, zenbait grimorioren koadro magiko ezagunenetako bat, Salomongo giltza barne; “Boterearen Liburua” filmeko "inbidia gainditzeko" karratua; eta “Abramelin Magialariaren Magia Sakratuaren Liburua” liburuko bi karratu, lehenbizikoa, jauregi eder baten ilusioa agerrarazteko,eta bigarrena, aingeruari laguntza-eskatze batean haur baten buruan eramateko:

S	A	T	O	R
A	R	E	P	O
T	E	N	E	T
O	P	E	R	A
R	O	T	A	S

6	66	848	938
8	11	544	839
1	11	383	839
2	73	774	447

H	E	S	E	B
E	Q	A	L
S
E		G
B

A	D	A	M
D	A	R	A
A	R	A	D
M	A	D	A

Ikus, gainera

• Sudoku
• Yang Hui
• Jolas-matematika

Kanpo estekak

• Datuak: Q192089
• Multimedia: Magic squares / Q192089