Eulerren identitatea

$e^{i\pi }=-1\,\!$

Eulerren identitatea, batzuetan Eulerren ekuazioa ere deitua, matematikan garrantzi handia duten zenbakiak elkartzen dituen ekuazio hau da:

$$e^{i\pi } 1=0\,\!.$$

Eulerren identitatea Eulerren formularen (${\textstyle e^{\,ix}=\cos(x) i\sin(x)}$) kasu berezi bat da, ${\textstyle x=\pi }$ denean lortzen dena.

Eulerren identitatea osatzen duten terminoen esanahia hurrengoa da:

• $e$ Eulerren zenbakia da, logaritmo naturalen oinarria. ($e\approx 2,7183$)
• $i$ unitate irudikaria da, definizioz $i^{\,2}=-1$ betetzen duena.
• $\pi$ pi zenbakia da, zirkunferentzia baten luzera eta bere diametroaren arteko harremana. ($\pi \approx 3,1416$)
• $0$ (zero) batuketa eta kenketaren elementu neutroa da.
• $1$ (bat) biderketa eta zatiketaren elementu neutroa da.

Identitateak Leonhard Euler matematikari suitzarren izena darama, eta edertasun matematikoaren adibidetzat hartzen da, matematikan oinarrizkoak diren zenbakien arteko lotura erakusten baitu.

Edertasun matematikoa

Eulerren identitatea edertasun matematiko sakonaren adibide gisa aipatzen da askotan. Izan ere, oinarrizko eragiketa aritmetikoetako hiru zehazki behin gertatzen dira (batuketa, biderketa eta berreketa) eta, gainera, identitateak oinarrizko bost konstante matematiko lotzen ditu.

Keith Devlinek, Stanfordeko Unibertsitateko matematikako irakasleak, esan zuen moduan, "maitasunaren esentzia bera harrapatzen duen Shakespeareren soneto bat bezala, edo edertasuna giza formatik ateratzen duen pintura bat bezala, Eulerren ekuazioa existentziaren sakontasunetaraino iristen da".

Eulerren identitatea.

Eulerren identitatea matematika aplikatuaren eta teorikoaren arlo askoren bihotzean dago. Identitate honek, $e$, $\pi$ eta $i$ zenbakien arteko lotura eder eta sakona ezartzeaz gain, funtzioen eraldaketa eta manipulaziorako oinarri teorikoa ere ematen du. Azken hau egia da, bereziki, analisi konplexuan, non Eulerren identitatea kalkuluak sinplifikatzeko eta zenbaki konplexuek inplikatzen dituzten problemak ebazteko erabiltzen den.

Egia esan, ez da beharrezkoa matematikaren ezagutza sakona izatea, ezta Eulerren identitatearen frogapena ulertzeko gai izatea, identitate honek gordetzen duen edertasuna ikusteko. Izan ere, formula hain erraz batean hain funtsezkoak diren bost zenbaki erlazionatzea posiblea dela ikusteak, matematikak bere barnean duen edertasuna baloratzea eragiten du.

Eulerren formulatik Eulerren identitatera

Arestian aipatu den moduan, Eulerren identitatea Eulerren formularen $x=\pi$ deneko kasu partikularra da.

Eulerren formula plano konplexuan irudikatuta.

Har dezagun Eulerren formula:

$$e^{\,ix}=\cos(x) i\cdot \sin(x),\forall x\in \mathbb {R} ,$$

non $\sin(x)$ eta $\cos(x)$ sinu eta kosinu funtzio trigonometrikoak diren.

Orain, ordezka dezagun $x=\pi$:

$$e^{i\pi }=\cos(\pi ) i\sin(\pi ).$$

Badakigu $\cos(\pi )=-1$ eta $\sin(\pi )=0$ direla. Ondorioz,

$$e^{i\pi }=-1 i\cdot 0.$$

Hau da, $e^{i\pi }=-1$; edo, bestela adierazita, $e^{i\pi } 1=0$.

Identitatearen azalpena

Funtsean, Eulerren identitateak $e^{i\pi }$ espresioa $-1$ zenbakiaren berdina dela baieztatzen du. Adierazpen hori $e^{z}$ adierazpenaren kasu berezi bat da, non $z$ edozein zenbaki konplexu den. Oro har, $e^{z}$ definitzen da funtzio esponentzialaren definizioa berretzaile errealetatik berretzaile konplexuetara hedatuz.

Identitatearen interpretazio geometrikoa

Koordenatu kartesiarrak plano konplexuan.

Edozein $z=x iy$ zenbaki konplexu, $(x,y)$ puntu baten moldean adieraz daiteke plano konplexuan. Puntu hori koordenatu polarretan ere adieraz daiteke $(r,\theta )$ moduan. $r$ $z$ zenbakiaren balio absolutua da (jatorritik eta $z$ punturaino dagoen distantzia), eta $\theta$ $z$-ren argumentua da. Sinu eta kosinu funtzioen definizioengatik, koordenatu kartesiarretan adierazitako puntua $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ gisa adieraz dezakegu. Ondorioz, $z=r(\cos \theta i\sin \theta )$ izango dugu. Baliokideki, Eulerren identitatea erabiliz, $z=re^{i\theta }$ dugu.

$re^{i\theta }$ funtzioan $r=1$ eta $\theta =\pi$ hartuz, $e^{i\pi }$ lortuko dugu. Kontuan izan $z=re^{i\theta }$ adierazpenak $z$ zenbaki konplexua planoan adieraztea ahalbidetzen digula, $r$-k jatorriarekiko $z$-ren distantzia eta $\theta$-k $x$ ardatzarekiko $z$-k sortzen duen angelua (radianetan) adierazten dutelarik. Hortaz, Eulerren identitatea ($e^{i\pi }=-1$) erabiliz, ondoko interpretazioa egin dezakegu plano konplexuan $-1$ zenbakiaren kokapenaren inguruan: jatorriarekiko $-1$ zenbakiaren distantzia $1$ da ($r=1$ delako) eta $x$ ardatzarekiko $\pi$ radianetako angelua sortzen du ($\theta =\pi$ baita).

Historia

Leonhard Euler matematikaria.

Eulerren identitatea Eulerren formularen emaitza zuzena da, Leonhard Eulerrek 1748an analisi matematikoaren gaineko bere lan monumentalean argitaratu zuena, Introductio in analysin infinitorum izenekoa. Leonhard Euler matematikari eta fisikari handia izan zen, Basilean (Suitza) jaioa. XVIII. mendeko matematikaririk onena eta historiako onenetarikoa da. Ideia handiak eman zituen kalkuluaren, geometriaren, logikaren, zenbakien teoriaren eta mekanikaren arloetan, besteak beste.

Euler ezaguna da halaber frogapenetan berretura-serieak eta logaritmoak arrakastaz erabiltzeagatik. Horrez, gain, zenbaki konplexuen berretura funtzioak aztertu eta funtzio trigonometrikoekin zuten harremana aurkitu zuen. Horrela, Eulerren formula eta Eulerren identitatea definitu zituen.

Eulerren identitatearen ondorioak eta aplikazioak

Eulerren identitateak zenbaki konplexuak eta e zenbakiaren arteko harremana ulertzeko ezinbesteko da. Zenbaki horien arteko harremana garrantzi handikoa da hainbat diziplina zientifikotan, eta aurrerapen esanguratsuak ekarri ditu teoria matematikoan. Funtzioen izaeratik plano konplexuaren irudikapeneraino, Eulerren identitateak gure ulermena desafiatzen du eta gure tresna matematikoak hedatzen ditu.

Aurretik azaldu denez, Eulerren identitatea eta Eulerren formularen arteko erlazioa estua da. Bi propietate hauek denboran irauten duten aplikazio praktiko asko dituzte.

Aplikazioa trigonometrian

Eulerren Identitatearen funts nagusia matematikan, trigonometriaren eta analisi matematikoaren artean erlazio bat eraikitzea da. Honi esker, hainbat kasutan emaitzak modu erraz eta sinpleago batean lortu ahalko ditugu.

Esaterako, $e^{\,ix}=\cos(x) i\cdot \sin(x)$ Eulerren formula buruan izanda, kosinu funtzioaren kasu zehatz baten emaitza sinplifika dezakegu.

Har dezagun orain $x=n\pi$. Horrela,

$$e^{\,in\pi }=\cos(n\pi ) i\cdot \sin(n\pi )$$

dugu, eta $\sin(k\pi )=0,\forall k\in \mathbb {Z}$,  dela gogoratuz,

$$e^{\,in\pi }=\cos(n\pi )$$

berdintza izango dugu, $\forall n\in \mathbb {Z}$.

Azter dezagun apur bat berdintzaren ezkerraldean duguna. Ikus dezakegu $e^{\,in\pi }$ hurrengo moduan berridatz daitekeela:

Urdinez, kosinu funtzioaren grafikoa.

$$e^{\,in\pi }=(e^{\,i\pi })^{n}=(-1)^{n},\forall n\in \mathbb {Z} .$$

Ondorioz, eta lehen lortutako emaitza berreskuratuz, hurrengo emaitza lortzen dugu:

$$\cos(n\pi )=(-1)^{n},\forall n\in \mathbb {Z} .$$

Horrela, $\cos(n\pi )$-ren adierazpena erraztu dugu $n$ edozein zenbaki osotarako.

Eulerren Identitatearen eta Eulerren formularen beste aplikazio batzuk

Arloa	Azalpena
Zenbaki konplexuak	Eulerren formulatik abiatuta, zenbaki konplexuak hainbat modutan adieraz ditzakegu: modu binomikoan, modu esponentzialean eta modu polarrean.
Taylorren serieak	Taylorren serieetan, Eulerren formula funtzioak hedatzeko erabiltzen da.
Aljebra lineala	Eulerren formula matrizeen diagonalizazioan erabiltzen da, azken hau aljebra linealaren arloan funtsezko teknika bat izanik.
Kalkulu diferentziala eta integrala	Eulerren formula ekuazio diferentzialak ebazteko oso erabilgarria den formula da.
Gainerakoak	Eulerren identitateak zenbait aplikazio ditu matematikako teoria askotan, baita matematikaren esparrutik kanpo geratzen diren kontzeptuetan ere, hala nola fisikako teoremetan.

Ikusi ere

• Funtzio esponentziala
• Plano konplexua
• Koordenatu polarrak

Erreferentziak

Iturriak

• Gaztelaniazko artikulua: Identidad de Euler
• Ingelesezko artikulua: Euler's identity
• Conway, John H. eta Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer ISBN 978-0-387-97993-9
• Crease, Robert P. (2004ko maiatzaren 10ean), "The greatest equations ever", Physics World
• Nahin, Paul J. (2006), Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, Princeton University Press ISBN 978-0-691-11822-2
• Stipp, David (2017), A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics, Basic books

• Datuak: Q204819
• Multimedia: Euler's formula / Q204819