Espazio euklidear

Espazio euklidearra geometriaren oinarrizko espazioa da, espazio fisikoa irudikatzera bideratua dagoena. Jatorrian, Euklidesen Elementuak liburuan, geometria euklidearraren espazioa hiru dimentsioko espazioa zen; baina, matematika modernoan, edozein zenbaki oso positibotako dimentsioko espazio euklidearrak daude. Espazio hauek espazio n-euklidearrak deitzen dira, eta haien dimentsioa n-ren arabera zehatz daiteke. Espazio 1-euklidearrari lerro euklidearra deitu ohi zaio; espazio 2-euklidearrari, plano euklidearra. "Euklidear" kalifikatzailea geroago fisika eta matematika modernoan kontsideratu ziren bestelako espazio (ez-euklidearretatik) bereizteko erabiltzen da.

Antzinako Greziako geometrialariek espazio euklidearra sortu zuten espazio fisikoa irudikatzeko. Lan hori Euklides antzinako matematikari greziarrak jaso zuen bere Elementuak liburuan. Lan horren berrikuntzarik handiena honako hau da: espazioren propietate guztiak teorema gisa frogatu zituen Euklidesek, postulatu deituriko funtsezko propietate gutxi batzuetatik abiatuta. Postulatu horietako batzuk begibistakotzat hartu ziren (adibidez, bi puntu ezberdinetatik zuzen bakar bat pasatzen dela), eta beste batzuek frogaezinak ziruditen (paraleloen postulatua, esate baterako).

Funtsean, dimentsio bakoitzeko espazio euklidear bakarra dago, hau da, dimentsio jakin bateko espazio euklidear guztiak isomorfoak dira. Beraz, oro har, dimentsio bakoitzeko, posible da espazio euklidear espezifiko batekin lan egitea. Espazio hori, E sinboloz denotatua, koordenatu kartesiarrak erabiliz irudika daiteke, eta biderketa eskalar estandarraz hornitutako n-espazio erreal bezala izango da: $E=(\mathbb {R} ^{n},\cdot )$ .

Definizioa

Definizioaren historia

Espazio euklidearra antzinako greziarrek definitu zuten lehenengo aldiz, gure espazio fisikoaren abstrakzio bat bezala. Haien berrikuntza handiena, Euklidesen Elementuak liburuan agertzen dena, geometria osoa eraikitzea eta frogatzea izan zen, mundu fisikotik abstraitzen diren propietate gutxi batzuetatik abiatuta. Propietate horiei postulatu edo axioma deritze. Espazio euklidearra definitzeko modu hau geometria sintetikoan (koordenaturik gabe, geometria analitikoaren kontrako alderdia) oraindik erabiltzen dena da.

Artikulu honetan garatuko den espazio euklediarren definizioa eta Euklidesena oso desberdinak dira. Egia esan, Euklidesek ez zuen espazioa formalki definitu, garai horretan zeuden ezaguera, handia bazen ere, ez zen nahikoa errealak ez zirudien beste espazio mota zeudela hautemateko. Definizio formalaren beharra XIX. mendearen amaieran agertu zen, geometria ez-euklidearrak definitzen hasi zirenean.

Bi ikuspegi ezberdin erabili dira definizioa ematen saiatzeko. Felix Kleinek geometria bat espazio horrek dauzkan simetrien bidez definitzea proposatu zuen. Artikulu honetan ematen den espazio euklidearren aurkezpena, funtsean, bere Erlangen programatik abiatuta ematen da.

Bestalde, David Hilbertek Euklidesen postulatuetan inspiratutako axioma multzo bat proposatu zuen. Geometria sintetikoan erabiltzen den definizioa da, ez baitu zenbaki errealen definiziorik inplikatzen. Geroago, G. D. Birkhoff-ek eta Alfred Tarski-k axioma multzo sinpleagoak proposatu zituzten, zenbaki errealak erabiltzen dituztenak (ikusi Birkhoffen axiomak eta Tarskiren axiomak).

Aljebra Geometrikoa erabiliz, Emil Artin-ek frogatu zuen espazio euklediarren definizio horiek guztiak baliokideak direla.

Definizio formala

Espazio euklidear oro $\mathbb {R}$ -espazio afina da eta, beraz, elkartutako bektore-espazio edo espazio bektorial bat izango du. Espazio euklidear baten kasuan, hornitutako espazio bektorial hori espazio bektorial euklidearra da.

Espazio bektorial euklidearra dimentsio finitua duen $\mathbb {R}$ -espazio prehilbertiarra da.

Espazio euklidearrak espazio afin euklidearrak deitu ohi dira, espazio bektorial euklidearrekin nahas ez daitezen.

$E$ espazio euklidearra (afina) bada, bere espazio bektorial elkartua (espazio bektorial euklidearra) ${\overrightarrow {E}}$ denotatu ohi da. Espazio afin euklidear baten dimentsioa bere espazio bektorial elkartuaren dimentsioa da.

$E$ espazioko elementuei puntu esaten zaie, eta letra larriz adierazten dira normalean. ${\overrightarrow {E}}$ -ren elementuei bektore euklidearrak edo bektore askeak deritze. Translazioak ere deitzen dira, batzuetan, nahiz eta erabilera hori guztiz zuzena ez izan. Izan ere, berez, translazio bat bektore euklidear batek espazio euklidearrean eragiten duen akzioaren ondoriozko transformazio geometrikoa da.

$v$ translazio batek $P$ puntu baten gainean eragiten duen akzioak $P v$ bezala adierazten den puntu bat ematen du. Akzio horrek hau betetzen du:

$P (v w)=(P v) w$

Oharra: berdintza honen ezkerraldeko bigarren ikurrak batuketa vektorial bat adierazten du; beste ikur guztiek puntu batean bektore baten akzioa adierazten dute. Notazio hori ez da anbiguoa; izan ere, ikurraren bi esanahiak bereizteko, nahikoa da ikurraren ezkerreko argumentuari erreparatzea: batuketa bektorialek bektore bat dute ezkerrean, eta akzioek, ordea, puntu bat.

Akzioa askea eta iragankorra denez, froga daiteke $(P,Q)$ edozein bi puntutarako $P v=Q$ betetzen duen $v$ desplazamendu-bektore bat dagoela. $v$ bektore hori $Q-P$ edo ${\overrightarrow {PQ}}{\vphantom {\frac {)}{}}}$ ikurrez adierazten da.

Espazio euklidearren oinarrizko propietate batzuk espazio afinaren egituratik datoz. Egitura afina atalean eta haren azpiataletan deskribatzen dira. Barne-produktuaren propietateak Egitura metrikoa atalean eta azpiataletan azaltzen dira.

Egitura afina

Izan bitez $A$ multzo bat eta ${\overrightarrow {A}}$ hari elkartutako espazio bektoriala. Espazio afin bat honako aplikazio honen bidez definitzen da:

${\begin{aligned}A\times {\overrightarrow {A}}&\to A\\(a,v)\;&\mapsto a v.\end{aligned}}$

Aplikazio hau talde-akzio bat da. Espazio euklidearra espazio afin mota bat da.

Espazio euklidearren oinarrizko propietate batzuk zehaztuta geratzen dira espazio euklidear guztiak espazio afinak izateagatik. Propietate afinak deitzen dira horiek, eta lerroen, azpiespazioen eta paralelismoaren kontzeptuak hartzen dituzte barnean, hurrengo azpiataletan zehazten direnak.

Azpiespazioak

Izan bitez $E$ espazio euklidear bat eta ${\overrightarrow {E}}$ hari elkartutako espazio bektoriala. $F$ $E$ -ren azpiespazio euklidear bat da, $F$ $E$ -ren azpiespazio afin bat bada eta

${\overrightarrow {F}}={\Bigl \{}{\overrightarrow {PQ}}\mathrel {\Big |} P\in F,Q\in F{\Bigr \}}{\vphantom {\frac {(}{}}}$

$F$ azpiespazio afinari elkartutako espazio bektoriala ${\overrightarrow {E}}$ -ren aspiespazio bektoriala bada. ${\overrightarrow {F}}$ aspiespazio bektorial hau $F$ -ren norabidea ere deitzen da.

$P$ $F$ -ren puntu bat bada, orduan:

$F={\Bigl \{}P v\mathrel {\Big |} v\in {\overrightarrow {F}}{\Bigr \}}.$

Alderantziz, $P$ $E$ -ren puntu bat bada eta ${\overrightarrow {V}}$ ${\overrightarrow {E}}$ -ren azpiespazio bektoriala bada, orduan:

$P {\overrightarrow {V}}={\Bigl \{}P v\mathrel {\Big |} v\in {\overrightarrow {V}}{\Bigr \}}$

${\overrightarrow {V}}$ -ren norabidea duen espazio euklidear bat da.

$E$ espazio euklidear batek bi azpiespazio mota ditu: azpiespazio euklidearrak eta azpiespazio linealak. Azpiespazio linealak azpiespazio euklidearrak dira; azpiespazio euklidear bat azpiespazio lineal bat da baldin eta zero puntua azpiespazioaren barne dagoen.

Lerro zuzenak eta segmentuak

Sakontzeko, irakurri: «Zuzen (geometria)»

Espazio euklidear batean, zuzen bat dimentsio bateko azpiespazio euklidear bat da. Dimentsio bateko bektore-espazio bat zero ez den edozein bektorek sortzen duenez, zuzen bat honako multzo hau da:

$r={\Bigl \{}P \lambda {\overrightarrow {PQ}}\mathrel {\Big |} \lambda \in \mathbb {R} {\Bigr \}},{\vphantom {\frac {(}{}}}$

non $P$ eta $Q$ espazio euklidearraren edozein bi puntu desberdin diren. Zuzen hau $P$ eta $Q$ puntuetatik igarotzen duen zuzena da. Hortik ondorioztatzen da edozein bi puntutatik igarotzen den zuzen bakar bat dagoela. Horrek esan nahi du bi lerro zuzen desberdinak gehienez puntu batean gurutzatzen direla. Hona hemen faktu horren frogapen labur bat: Demagun $r$ eta $s$ bi lerro zuzenak diren, non $P_{1},P_{2}\in r$ diren, baita $P_{1},P_{2}\in s$ ere. Baina aurkeztu berri den lerroen karakterizazioa erabiliz,

$r={\Bigl \{}P_{1} \lambda {\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\mathrel {\Big |} \lambda \in \mathbb {R} {\Bigr \}},{\vphantom {\frac {(}{}}}$ $s={\Bigl \{}P_{1} \lambda {\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\mathrel {\Big |} \lambda \in \mathbb {R} {\Bigr \}},{\vphantom {\frac {(}{}}}$

eta beraz, berdinak direla ondoriozta daiteke.

$P$ eta $Q$ -tik igarotzen den zuzenaren irudikapen simetrikoagoa

$r={\Bigl \{}O (1-\lambda ){\overrightarrow {OP}} \lambda {\overrightarrow {OQ}}\mathrel {\Big |} \lambda \in \mathbb {R} {\Bigr \}}{\vphantom {\frac {(}{}}}$

da, non $O$ hautazko puntu bat den.

Espazio euklidear batean, zero puntua $O$ -rentzat aukeratzen da eskuarki; hala, aurreko formula sinplifika daiteke:

$r={\Bigl \{}(1-\lambda ){\overrightarrow {P}} \lambda {\overrightarrow {Q}}\mathrel {\Big |} \lambda \in \mathbb {R} {\Bigr \}}.$

Oharra: Azken formula honetan notazio-abusu erabili da. $P$ puntua bektoretzat $({\overrightarrow {P}})$ hartzen denean, zero puntutik $P$ puntura doan bektorea $({\overrightarrow {0P}}{\vphantom {\frac {)}{}}})$ dela esan nahi du. Kontuan izan ez dela eskalar baten eta puntu baten arteko biderkadura definitu, bakarrik eskalar baten eta vektore baten artekoena. Hala ere, puntuak $\mathbb {R} ^{2}$ -ko pareak direnean, intuitiboki egiten dira eragiketak haien artean, baina komenigarria da hau kontuan hartzea beste motatako multzoak lantzen direnean.

$P$ eta $Q$ puntuak lotzen dituen zuzen-segmentua, edo, besterik gabe, segmentua, aurreko formuletan $0\leq \lambda \leq 1$ betetzen duten puntuen azpimultzoa da. Bere adierazpena $PQ$ edo $QP$ da; eta horrela idaz daiteke:

$PQ=QP={\Bigl \{}P \lambda {\overrightarrow {PQ}}\mathrel {\Big |} 0\leq \lambda \leq 1{\Bigr \}}={\Bigl \{}(1-\lambda ){\overrightarrow {P}} \lambda {\overrightarrow {Q}}\mathrel {\Big |} 0\leq \lambda \leq 1{\Bigr \}}.$

Paralelismoa

Sakontzeko, irakurri: «Paralelo (geometria)»

Espazio euklidear batean, dimentsio bereko $S$ eta $T$ azpiespazioak paraleloak dira baldin eta norabide bera badute. Era berean, paraleloak dira baldin eta $v$ translazio-bektore bat badago, batean aplikatuta bestea aplikazio horren irudi den:

$T=S v$

$P$ puntu bat eta $S$ azpiespazio euklidear bat emanda, $P$ duen eta $S$ -rekiko paraleloa den azpiespazio bakar bat dago, zehazki: $P {\overrightarrow {S}}$ .

Hortik ondorioztatzen da plano euklidear batean dauden bi zuzen puntu batean bat egiten dutela edo paraleloak direla.

Azpiespazio paraleloen kontzeptua dimentsio ezberdinetako azpiespazioetara heda daiteke: bi azpiespazio paraleloak dira baldin eta horietako baten norabidea bestearekiko norabidean badago.

Egitura Metrikoa

Espazio euklidearra, espazio afina izateaz gain, kontzeptu geometrikoa dena, ikuspuntu metriko batetik aztertuta espazio metriko mota bat da. Beraz, egiturak neurtzea eta haren objektuen arteko distantzia kalkulatzea posible da. Gainera, espazio normaduna (espazio metrikoen azpimultzo bat) da, eta, hortaz, norma bat defini daiteke, hau da, bektore baten luzeraren orokortasuna. Azkenik, definizio formalan adierazi den bezala, Espazio euklidear batek hornituta duen espazio bektoriala espazio prehilbertiarra da eta, beraz, biderketa eskalar bat defini daiteke haren barne.

Hurrengo azpiataletan ikusiko da nola defnitzen diren espazio euklidearren kasu konkretuan eta ze propietate duten espazio hauek. Gainera, erraz ikusiko da egitura hauek osatzen duten inplikazio katea:

$X~espazio~prehilbertiarra\implies ~X~espazio~normaduna\implies X~espazio~metrikoa$

Biderketa eskalarra

Espazio euklidear $E$ batean, puntuen eta bektoreen arteko eragiketaz gain, ${\overrightarrow {E}}$ -ko bi bektoreen arteko biderketa eskalar bat defini daiteke. Biderketa hau "eskalar" deritzo bi bektoreen biderketa egitean, emaitza eskalar bat (kasu honeran zenbaki erreal bat) delako. $v$ eta $w$ ${\overrightarrow {E}}$ -ko bi bektoreen arteko biderketa eskalarra, $v\cdot w$ adierazita, honako formularen bitartez definitzen da:

$v\cdot w=v_{1}\cdot w_{1} v_{2}\cdot w_{2} \dots v_{n}\cdot w_{n},$

non $v=(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})$ eta $w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})$ n dimentsioko bektore errealak diren.

Biderketa eskalarrak zenbait propietate betetzen du espazio metriko batean:

Ez negatibotasuna:

$v\cdot w\geq 0\quad \forall v,w\in {\overrightarrow {E}}$ , eta $v\cdot w=0$ baldin eta soilik baldin $v=w=0$ diren.

Simetria:

$v\cdot w=w\cdot v\quad \forall v,w\in {\overrightarrow {E}}$

Bilinealtasuna:

$v\cdot (\alpha \cdot w_{1} \beta \cdot w_{2})=\alpha \cdot (v\cdot w_{1}) \beta \cdot (v\cdot w_{2})\quad \forall v,w_{1},w_{2}\in {\overrightarrow {E}},\quad \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {R} .$ $\alpha$ eta $\beta$ -ri eskalarrak deritze.

Norma

Bektore baten norma, biderketa eskalarrean oinarri daiteke. Orokorrean, barne biderketa bat induzi daiteke norma bat, baina badaude inolako barne biderketek induzitzen ez duten normak ere. Honela ikusten da espazio prehilbertiarrak normadunak direla (barne biderketa baitute), baina espazio normadunak diren eta barne biderketa ez duten espazioak ere badaudela. Bektore baten norma euklidearra bektore horren luzeraren orokortasun bat da. Honela definitzen da $v\in {\overrightarrow {E}}$ bektore batentzat:

$\|v\|={\sqrt {v\cdot v}}.$

Normak honako propietateak betetzen dituen aplikazio bat da:

Ez negatibotasuna:

$\|v\|\geq 0\quad \forall v\in {\overrightarrow {E}}$ , eta $\|v\|=0$ baldin eta soilik baldin $v=0$ den.

Homogeneotasuna:

$\|\alpha v\|=|\alpha |\cdot \|v\|\quad \forall v\in {\overrightarrow {E}},\quad \forall \alpha \in \mathbb {R} .$

Triangeluaren desberdintasuna:

$\|v w\|\leq \|v\| \|w\|\quad \forall v,w\in {\overrightarrow {E}}$

Gainera, badago barne produktu batetik eratorriak diren normak dituzten espazioak karakterizatzen dituen laugaren propietate bat. Hau da, edozein espazio normatu $V$ -n, espazio horrek elkartua duen normak propietate hau betetzen badu, orduan badago barne biderketa batek norma hori induzitzen duena, eta $V$ espazio normatua espazio prehilbertiarra da. Propietate hura paralelogramoaren legea deritzo, eta honako hau adierazten du:

Paralelogramoaren legea:

$2\|v\|^{2} 2\|w\|^{2}=\|v w\|^{2} \|v-w\|^{2}\quad \forall v,w\in V$

Distantzia

Espazio metriko batean eta, berez, espazio euklidear batean, distantziak neur daitezke normen bidez, honako distantzia funtzioa erabiliz:

d(v,w)=∥v−w∥

Adibidez,bi dimentsioko espazioan, P=(x1,y1) eta Q=(x2,y2) puntuen arteko distantzia hurrengo formula erabiliz lortzen da:

Hiru dimentsioko espazioan, z koordenatua gehitzen da:

Distantzia, metrika bat denez, positiboki definituta dago eta simetrikoa da.

Horregatik, desberdintasun triangeluarra ere betetzen du, hau da, bi punturen arteko distantzia, hots, distantzia zuzena, beti da txikiagoa edo berdina puntu horiek hirugarren puntu baten bidez lotzen dituzten distantzien batura baino:

d(x,z)<=d(x,y) d(y,z)

Ortogonalitatea

Sakontzeko, irakurri: «Elkarzut» eta «Ortogonal»

Bi bektore ortogonalak dira haien arteko angelua 90 gradukoa denean. Beraz, bektoreak ortogonalak dirahaien biderkadura eskalarra 0 denean:

v⋅w = 0

Adibidez, hiru dimentsioko v=(v1,v2,v3) eta w=(w1,w2,w3) bektoreak ortogonalak dira honako baldintza betetzen bada:

v1⋅w1 v2⋅w2 v3⋅w3 = 0

Angeluak

Sakontzeko, irakurri: «Angelu (geometria)»

Bektoreen arteko angelua haien arteko biderkadura eskalarraren bidez kalkulatzen da. Zehazki, v eta w bi bektoreren arteko angelua, θ, honela lortzen da:

non v⋅w biderkadura eskalarra den eta |v| eta |w| bektoreen luzerak diren.

Beste espazio geometriko batzuk

Espazio proiektiboa

Jatorrian, espazio proiektiboak espazio euklidearrei "infinituan puntuak" gehituz sortu dira, espazio afinek "bi lerro planokide ezberdin puntu bakar batean bat egiten dute" baieztapena kasu guztietan bete dezaten. Honela, malda berdina duten zuzenek infinituko puntu batean bat egiten dutela esaten da. Infinituko puntu bat dago malda bakoitzeko; hortaz, infinituko puntu bat dago zenbaki erreal bakoitzerako. Infinituko puntu guztien multzoari infinituko zuzena deitzen zaio, eta erraz ikus daiteke R-ri isomorfoa dela.

Espazio proiektiboak espazio euklediar eta antzekoekin isotropikoa izateko propietatea partekatzen du, hau da, ez dago bi puntu edo bi lerro bereiztea ahalbidetzen duen espazioaren propietaterik.

Geometria ez-euklidearrak

Sakontzeko, irakurri: «Geometria ez-euklidear»

Geometria ez-euklidearrak paraleloen postulatua (Euklidesen 5. postulatua) betetzen ez duten espazio geometrikoak lantzen ditu. Definizioaren historian azaldu den bezala, postulatuak frogaezinak dira. Beraz, 5. postulatua ukatzean, euklidearrak ez diren espazio geometriko berriak agertzen dira. Geometria hiperbolikoan, adibidez, triangelu baten barne angeluen batuketa 180° baino txikiagoa da. Bestalde, geometria eliptikoan, batuketa hori 180° baino handiagoa da.

Izan ere, gure mundu erreala ez da laua, eliptikoa baizik —lurra esfera antzeko itsura baitu—, eta erraz aurki dezakegu hiru angelu zuzen dituen triangelu bat.

Ikus, gainera

Geometria euklidearra.
Espazio Hilbertiarra, dimentsio infiniturako orokortasuna, analisi funtzionalean erabiltzen dena.

Bibliografia

Artin, Emil (1988) [1957], Geometric Algebra, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons Inc., pp. x 214, doi:10.1002/9781118164518, ISBN 0-471-60839-4, MR 1009557
Ball, W.W. Rouse (1960) [1908], A Short Account of the History of Mathematics (4th ed.), Dover Publications. ISBN 0-486-20630-0
Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3
Coxeter, H.S.M. (1973) [1948], Regular Polytopes (3rd ed.), New York: Dover. "Schläfli ... discovered them before 1853 -- a time when Cayley, Grassman and Möbius were the only other people who had ever conceived of the possibility of geometry in more than three dimensions."
Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Euclidean space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Anton,Howard(1987),Elementary Linear Algebra(5th ed.), New York,Wiley:ISBN 0-471-84819-0

Kanpo estekak

Datuak: Q17295