Eskalatze (matematika)

Eskalatze mota ezberdinak

Geometria euklidearrean, eskalatze uniformea (edo eskalatze isotropoa) entitate ezberdinen tamaina (forma edo irudi geometrikoak bezala) norabide guztietan berdina den eskala-faktore baten bidez handitzen edo uzkurtzen duen aplikazio lineal bat da. Eskalatze uniforme baten emaitza, jatorrizko irudiaren eta irudi berriaren arteko antzekotasun bat da (zentzu geometrikoan). Normalean, eskalatzeko aplikaziotzat hartzen dira 1. eskalako faktorea dutenak eta, beraz, forma kongruenteak ere antzeko gisa sailkatzen dira. Eskalatze uniformea gertatzen da, adibidez, argazki bat handitzean edo murriztean, edo eraikin, automobil, hegazkin eta abarren maketa bat sortzean.

Oro har, eskalatze ez-uniformeaz ere hitz egiten da (eskalatze anisotropoa), hau da, ardatz koordenatu bakoitzari aplikatutako eskala-faktoreetako bat gutxienez besteekiko desberdina denean lortzen dena; kasu berezi bat direkzio-eskalatzea, zizailatzea, luzamendua edo estrusioa da (norabide batean). Eskala ez-uniformeak objektuaren forma aldatzen du; adibidez, karratu bat laukizuzen edo paralelogramo bihur daiteke karratuaren aldeak eskalako ardatzekiko paraleloak ez badira (ardatzekiko lerro paraleloen arteko angeluak mantendu egiten dira, baina ez angelu guztiak). Adibidez, alboko angelu batetik urrutiko kartel bat ikusten denean gertatzen da, edo objektu lau baten itzala haren paraleloa ez den gainazal baten gainean erortzen denean.

Eskala-faktorea 1 baino handiagoa denean, eskalatzeari (uniformea edo ez uniformea) dilatazioa edo handitzea ere esaten zaio batzuetan. Eskala-faktorea 1 baino zenbaki positibo txikiagoa denean, batzuetan, eskalatuari ere kontrakzioa esaten zaio.

Zentzurik orokorrenean, eskala batek barne hartzen du eskalatze-norabideak perpendikularrak ez diren kasua. Eskala-faktore bat edo gehiago zeroren parekoak diren kasua ere barne hartzen du (proiekzioen kasu batzuetan bezala), eta eskala negatiboko faktore baten edo gehiagoren kasua (-1 bakoitzeko norabide-eskala bat hausnarketa baten baliokidea da).

Eskalatzea aplikazio lineala da, eta homotezia kasu berezia. Gehienetan, eraldaketa homotetikoak eraldaketa ez-linealak dira.

Irudikapen matriziala

Eskalatze bat eskala-matrize batek adieraz dezake. Objektu bat v = (vx, vy, vz) bektore batetik eskalatzeko, p = (px, py, pz) puntu bakoitza eskalatze-matrize honekin biderkatu behar da:

$S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}.$

Ondoren azaltzen den moduan, biderketak emaitza hau emango du:

$S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\end{bmatrix}}.$

Eskalatze horrek aldatu egiten du objektu baten diametroa eskala-faktoreen artean dagoen proportzio batean; azalera, berriz, eskala-faktore txikienaren eta handienaren arteko biderkaduraren berdina den faktore baten bidez, eta bolumena, berriz, hiru faktoreen arteko biderketaren bidez.

Eskala uniformea da, soilik baldin eta eskala-faktoreak berdinak badira (v_x = v_y = v_z). Denak, eskala-faktoreetako bat izan ezik, 1 badira, norabide-eskalatze bat egiten da.

v_x = v_y = v_z = k denean, eskalak edozein gainazalen azalera handitzen du k² faktorearen bidez, eta edozein objektu solidoren bolumena, k³ faktorearen bidez.

Koordenatu homogeneoak erabiliz

Geometria proiektiboan, askotan konputazio grafikoan erabiltzen baita, puntuak koordenatu homogeneoak erabiliz irudikatzen dira. Objektu bat v = (v_x, v_y, v_z) bektore baten bidez eskalatzeko,p = (p_x, p_y, p_z, 1) koordenatu homogeneoen bektore bakoitza homografia-matrize honekin biderkatu behar da:

$S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.$

Ondoren azaltzen den moduan, biderketak emaitza hau emango du:

$S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\\1\end{bmatrix}}.$

Koordenatu homogeneo baten azken osagaia beste hiru osagaien izendatzailea denez, eskala uniforme bat lor daiteke s faktore komun baten bidez (eskalatze uniformea), eskala-matrize hori erabiliz:

$S_{v}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}.$

p = (p_x, p_y, p_z, 1) bektore bakoitzarentzat lortuko genuke:

$S_{v}p={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}$

honen baliokidea dena:

${\begin{bmatrix}sp_{x}\\sp_{y}\\sp_{z}\\1\end{bmatrix}}.$

Kanpo estekak

• Datuak: Q102441924
• Multimedia: Scaling (geometry) / Q102441924