Dependentzia eta independentzia lineal

Aljebra linealean, bektore multzo bat linealki independentea da horietako bat ere ezin bada idatzi gainerakoen konbinazio lineal moduan. Adibidez, $R^{3}$ -n (1, 0, 0), (0, 1, 0) eta (0, 0, 1) bektoreak linealki independenteak dira baina (2, -1, 1), (1, 0, 1) eta (3, -1, 2) bektoreak ez, izan ere, hirugarren bektorea beste bien batura eginez lortzen da.

Definizioa

$\{{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}\}$ multzo finitua linealki independentea da ${\mathbf {a} _{1}\mathbf {v} _{1} \mathbf {a} _{2}\mathbf {v} _{2} \ldots \mathbf {a} _{n}\mathbf {v} _{n}}=\mathbf {0}$ ekuazioa betetzen bada soilik ${\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}}$ 0, bektore nulua, izanda. Kontrako kasuan linealki dependentea dela esaten da.

Kontuan izan behar da, berdintza ikurraren eskuinaldean dagoen ikurra ez dela zero, bektore nulua baizik. Bektore nuluen multzoak matrize nulua osatzen du. Aurreko definizioa bektore-multzo infinitu batera ere heda daiteke, hau da, edozein bektore-multzo linealki dependentea da linealki dependentea den multzo finitu bat badu.

Linealki independentea izatea espazio bektorialeko kontzeptuak ereabiliz ere defini daiteke:

Espazio bektorial bateko $\ U$ bektore multzoa linealki independentea da baldin $\forall u\in U,u\not \in \left\langle U-u\right\rangle$ .

Linealki independenteak eta dependenteak diren bektoreen artean propietate hauek aurkitu ditzazkegu:

1.Bektore multzo bat linealki dependentea da, baldin eta soilik baldin, bektoreetako bat besteen konbinazio lineala bada.

2.Bektore multzo bat linealki independentea bada, bere edozein azpimultzo ere linealki independentea izango da.

3.Bektore multzo bat linealki dependente bada, multzo hori barnean duen edozein multzo ere linealki dependentea izango da.

Definizio geometrikoa

Geometrikoki, bi bektore independenteak dira norabide berdina ez badaukate. Bektore nuluak, berriz, norabide guztiak ditu, beste modu batera esanda, bektore honek eremu bat sortu behar du.

Hiru bektore independenteak dira baldin eta soilik baldin plano bektorial berean ez badaude. Hau da, horietako bat ere ez bada beste bien konbinazio lineala. Beste modu batera esanda, hiru bektoreek bolumena osatu beharko lukete.

Bektore-sistema batek sortutako espazioa bektore horien konbinazio lineal guztien multzoa da eta espazio bektorial deritzo. Bektore ez-nuluak sortutako espazioa bektore horrek zuzendutako zuzen bektoriala da eta bi bektore independentek sortutako espazioa bektore horiek dituen planoa da. Erraz egiaztatu daiteke bektore-sistema batek sortutako espazioa, denak barne dituen espazio bektorialik txikiena dela. Bekt A deitzen zaio, non A bektore-sistema den. n bektore independenteak badira, sortutako espazioa n dimentsiokoa izango da (n=0 puntua, n=1 zuzena, n=2 planoa...).

Adibidea

f formula erabiliz:

Hurrengo hiru bektoreak linealki independenteak al dira?

${\vec {u}}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad {\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}}\,,\quad {\vec {w}}={\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}}$

Ekuazioa betetzen duten hiru x, y eta z balio bilatu behar dira:

$x{\vec {u}} y{\vec {v}} z{\vec {w}}=x{\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}} y{\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}} z{\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

Hori ekuazio-sistema honen baliokidea da:

$\left.{\begin{matrix}2x& &y& &z&=&0\\&&3y& &2z&=&0\\&&&&4z&=&0\end{matrix}}\right\}\Longleftrightarrow \left\{{\begin{matrix}x=0\\y=0\\z=0\end{matrix}}\right.$

Honek duen soluzio bakarra x = y = z = 0 da; beraz, bektoreak independeteak dira.

Determinante bidezko metodoa

Rⁿ-n n bektore linealki independenteak dira baldin eta soilik baldin bektore horiek (zutabeetan jarriz) sortutako matrizearen determinantea 0 ren ezberdina bada.

Izan bitez bi bektore:

${\vec {u}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\,,\quad {\vec {v}}={\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}}\,,\quad$