Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza

Matematikan, Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza, Schwarz-en desberdintza, Cauchy-ren desberdintza eta Cauchy-Schwarz-en desberdintza izenekin ere ezagutzen da. Desberdintza hau matematikaren hainbat arlotan aplikatu ohi da, besteak beste, aljebra lineala, analisi matematikoa eta probabilitate teorian.

Augustin Louis Cauchy (1821) batuketarako desberdintza publikatu zuen, aldiz, Vitor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) integralei dagokion desberdintza ezarri zuen eta ondoren, Hermann Amandus Schwarzek (1888) berraurkitu zuen.

Cauchy-Schwarz-en desberdintza

Izan bedi $V$ espazio bektorial konplexua biderketa eskalarrarekiko, non $u,v\in V$ bektoreek Cauchy-Schwarz-en desberdintza betetzen dute.

$\left\vert (u,v)\right\vert ^{2}\leq (u,u)(v,v)$

Non $(\cdot ,\cdot )$ biderketa eskalarra den.

Frogapena

Har dezagun $\lambda u-\mu v$ bektoreen konbinazioa non $\lambda$$,$ $\mu$ $\in$ $\mathbb {C}$. Biderketa eskalarraren propietateengatik, bektore honen biderketa bere buruarekiko handiago edo berdin zero da beti.

$(\lambda u-\mu v,\lambda u-\mu v)$$\geq 0$

Linealtasuna biderketa eskalarraren eskumatik aplikatuz, aurreko espresioa garatu daiteke.

$|\lambda |^{2}$$(u,u)$$-2\left\vert (u,v)\right\vert ^{2}(u,u)$$(u,u)^{2}(v,v)$$\geq 0$

Eta azkenik:

$(u,u)(v,v)\geq$$\left\vert (u,v)\right\vert ^{2}$

Q.E.D

Beraz, desberdintza berdintza bihurtzen da baldin eta soilik baldin bektoreak linealki dependienteak badira haien artean.

Kasu berezia: Desberdintza V espazio bektoriala $\mathbb {R} ^{n}$-ren gain

Izan bitez ${a_{1},\cdots ,a_{n}}$ eta $b_{1},\dots ,b_{n}$ edozein zenbaki errealak.

Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza

${\biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\Biggr )}^{2}$$\leq$${\Biggl (}\sum _{k=1}^{n}\ a_{k}^{2}{\Biggr )}$${\Biggl (}\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}{\Biggr )}$

Gainera, desberdintza egiaztatzen da baldin eta soilik baldin existitzen bada zenbaki erreal bat $x$ non $a_{k}x b_{k}=0$ edozein $k=1,\dots ,n$.

Frogapena

Karratuen batuketa ezin da inoiz negatiboa izan, beraz, hauxe daukagu:

$\sum _{k=1}^{n}$$(a_{k}x b_{k})^{2}$ $=$ ${\Biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}{\Biggr )}$ $x^{2}$ ${\displaystyle }$ $2{\Biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\Biggr )}$ $x$ ${\displaystyle }$ $\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}$ $\geq 0$

edozein $x$ zenbaki erreal izanik.

Desberdintza betetzen da baldin eta soilik baldin batuketaren termino bakoitza ($a_{k}x$ ${\displaystyle }$ $b_{k}$ edozein $k$) berdin zero bada.

Desberdintza hau modu honetan idatz daiteke:

$Ax^{2}$ ${\displaystyle }$ $2Bx$ ${\displaystyle }$ $C$ $\geq 0$

non

$A$ $=$ $\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}$$,$ $B=$$\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k},$ $C=$$\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}$

Aurreko ekuazioak polinomio koadratiko batek ezin izango duela izan bi erro errealak zehazten du, handiago edo berdin zero delako beti. Hortaz, bere diskriminatzailea txikiago edo berdin zero izan behar da.

$\Delta =(2B)^{2}-4AC=4(B^{2}-AC)\leq 0,$

Orduan:

$B^{2}\leq AC,$ eta hauxe da Cauchy-Schwarz-en desberdintza.

Notazio bektoriala erabiliz, Cauchy-Schwarz-en desberdintzak forma hau hartzen du:

$(a\cdot b)^{2}\leq \lVert a\rVert ^{2}\lVert b\rVert ^{2}$

non

$a=(a_{1},...,a_{n}),b=(b_{1},...,b_{n})$ bi bektore n dimentsiokoak diren, $a\cdot b=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}$ haien biderkadura eskalarra den eta $\lVert a\rVert ={\sqrt {(a,a)}}$ $,$ $\lVert b\rVert ={\sqrt {(b\cdot b)}}$ a eta b-ren norma diren.

Bitxikeriak

• Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza Hölder desberdintzaren kasu partikular batekin froga daiteke, p=q=2-rekin.
• Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza Lagrange-en identitatearen kasu partikular batekin froga daiteke, baita zenbaki konplexuko kasurako ere.
• Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza biderketa eskalarra topologia induzituarekiko funtzio jarraitua dela frogatzeko erabiltzen da.
• Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza Bessel-en desberdintza frogatzeko erabiltzen da.
• Heisenberg-en ziurgabetasun printzipioaren formula orokorra Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza erabiliz deribatzen da biderketa eskalarrarekiko uhin funtzio fisikoen espazioan definituta.

Bibliografia

• Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

Ikus, gainera

• Hölderren desberdintza
• Minkowskiren desberdintza

Kanpo estekak

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Cauchy Schwarz inequality», Encyclopaedia of Mathematics (ingeleses), Springer, ISBN 978-1556080104.

• Datuak: Q190546