Normeeritud ruum

Normeeritud ruum ehk normeeritud vektorruum on vektorruum, milles on defineeritud teatud kujutus – norm –, mis rahuldab normi aksioome.

Sissejuhatus

Vektorruumi mõiste üldistab mõningaid tasandil paiknevate vektorite omadusi, kuid see ei sisalda vektori pikkuse mõiste üldistust. Normi aksioomide lisamine vektorruumi omadustele võimaldab üldistada ka vektori pikkuse mõistet.

Normi aksioomid üldistavad vektori pikkuse järgmisi omadusi:

1. nullvektori pikkus on null, kõigi teiste vektorite pikkused on positiivsed reaalarvud. Seda omadust nimetatakse positiivsuseks;
2. mingi arvuga korrutatud vektori pikkus on algse vektori pikkuse ja selle arvu absoluutväärtuse korrutis. Seda omadust nimetatakse homogeensuseks;
3. olgu A, B ja C tasandi kolm punkti. Vektorite ${\overrightarrow {AB}}$ ja ${\overrightarrow {BC}}$ pikkuste summa on alati vähemalt sama suur kui vektori ${\overrightarrow {AB}}$ pikkus. Teisisõnu, kui vektoritest moodustada kolmnurk, siis on selle kolmnurga kahe külje pikkuste summa vähemalt sama suur kui kolmanda külje pikkus. Seda omadust nimetatakse kolmnurga võrratuseks.

Nende omaduste üldistamisel saadakse normi aksioomid. Normeeritud ruumi elemendi norm on vektori pikkuse üldistus.

Definitsioon

Normeeritud ruum üle korpuse K on vektorruum V üle korpuse K, kus igale vektorile v ∈ V on seatud vastavusse v norm (tähis ||v||), mis on reaalarv, kusjuures mis tahes skalaari a ∈ K ja vektorite v, w ∈ V korral kehtivad järgmised tingimused:

1. $\|\mathbf {v} \|=0\Leftrightarrow \mathbf {v} =0\,$ (samasuse aksioom),
2. $\|a\mathbf {v} \|=|a|\|\mathbf {v} \|\,$ (homogeensuse aksioom),
3. $\|\mathbf {v} \mathbf {w} \|\leq \|\mathbf {v} \| \|\mathbf {w} \|\,$ (kolmnurga võrratus).

Neid tingimusi nimetatakse normi aksioomideks. Nad üldistavad vektori pikkuse omadusi, mida on mainitud sissejuhatuses.

Esitatud aksiomaatika sisaldab liiasust, sest aksioomist (2) järeldub, et ||0|| = 0, mis on osa aksioomis (1) väidetust.

Aksioomidest (1) ja (3) järeldub normi positiivsus

$\|\mathbf {v} \|\geq 0\,$.

Mõnikord arvatakse positiivsus normi aksioomide hulka.

Tavaliselt vaadeldakse normeeritud ruume üle reaal- või kompleksarvude korpuse või ka üle kompleksarvude korpuse mis tahes alamkorpuse.

Kui rahuldatud on vaid viimased kaks aksioomi, siis räägitakse poolnormist.

Omadused

Iga normeeritud ruum on ühtlasi meetriline ruum, mille meetrika on defineeritud kui

$\rho (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\|\mathbf {v} -\mathbf {w} \|$.

Tänu viimase meetrika, mida nimetatakse normi poolt indutseeritud meetrikaks, olemasolule, võib rääkida koonduvusest normeeritud ruumides:

• Koondumine v_n → v tähendab, et ||v_n — v|| → 0 (lugeda: v_n koondub normis ||.||)
• Jada v_n on fundamentaalne parajasti siis, kui ||v_n — v_m|| → 0.

Norm on

• pidev st kui v_n → v, siis

||v_n|| → ||v||.

• pidev algebraliste tehete suhtes st kui v_n → v, w_n → w ja a_n → a, siis

||v_n w_n — (v w)|| → 0

||a_nv_n — av|| → 0

Öeldakse ka, et meetrilises ruumis on topoloogiline struktuur (meetrika) algebraliste struktuuridega kooskõlas.

Normeeritud ruumides kehtib tagurpidi kolmnurga võrratus:

|||v|| — ||w||| ≤ ||v — w||.

Klassifikatsioon

Meetrilised ruumid ⊃ Normeeritud ruumid ⊃ Banachi ruumid ⊃ Hilberti ruumid ⊃ Eukleidilised ruumid

Normeeritud ruumi nimetatakse täielikuks, kui selles iga fundamentaaljada koondub (meetrika poolt indutseeritud normis). Täielikku normeeritud ruumi nimetatakse

• Banachi ruumiks;
• Hilberti ruumiks, kui selles on lisaks normile defineeritud skalaarkorrutis (v,w), mille kaudu defineeritakse ka norm kui ||v|| = √ (v,v).
• eukleidiliseks ruumiks, kui see on lisaks lõplik vektorruum üle reaalarvude.

Vaata ka

• Topoloogiline ruum