Trisectriz de Maclaurin
En geometría, la trisectriz de Maclaurin es una curva cúbica notable por su propiedad de trisectriz, lo cual quiere decir que se puede usar para trisecar un ángulo. Se puede definir como el lugar geométrico de los puntos de intersección de dos rectas, girando cada una a una velocidad angular uniforme alrededor de puntos separados, de forma que la proporción de las velocidades de rotación sea de 1:3 y las líneas inicialmente coincidan con la línea entre los dos puntos. Una generalización de esta construcción se denomina una sectriu de Maclaurin. La curva se denomina en honor al matemático escocés Colin Maclaurin, quien investigó la curva en 1742.[1]
Ecuaciones
[editar]Sean dos rectas que giran alrededor de los puntos y , de forma que cuando la recta que gira alrededor de forme un ángulo de con el eje x, la que gira en torno a forme un ángulo . Si el punto de intersección es , entonces el ángulo formado por las rectas en es . Por el teorema de los senos
así la ecuación en coordenadas polares es (realizando una traslación y una rotación)
La curva es por lo tanto un miembro de la familia de las concoides de De Sluze.
En coordenadas cartesianas la ecuación es
Si el origen se traslada a , entonces una deducción similar a la anterior muestra que la ecuación de la curva en coordenadas polares toma la forma
haciéndola un ejemplo de una epiespiral (un caracol con un bucle).
La propiedad de trisección
[editar]Dado un ángulo , se traza una recta desde cuyo ángulo con el eje es . A continuación, se traza otra recta desde el origen hasta el punto donde la primera recta corta a la curva. Entonces, por la construcción de la curva, el ángulo entre la segunda recta y el eje es .
Puntos notables y propiedades
[editar]La curva corta al eje en el punto , y tiene un punto doble en su origen. La recta vertical es una asíntota. La curva corta la recta , o el punto correspondiente a la trisección de un ángulo recto, en . Como una cúbica nodal, es de género cero.
Relación con otras curvas
[editar]La trisectriz de Maclaurin se puede definir a partir de secciones cónicas de tres maneras. Específicamente:
- Es la inversa de la hipérbola respecto a la circunferencia de radio unidad
- Es la cisoide de la circunferencia
- y de la recta
- respecto al origen
- Es la curva podaría de la parábola respecto al origen
Además:
- Es la inversa respecto al punto de la trisectriz caracol.
- La trisectriz de Maclaurin se relaciona el con el folium de Descartes mediante una transformación afín.
Véase también
[editar]Referencias
[editar]- ↑ Mathematics Education in the Age of Artificial Intelligence: How Artificial Intelligence can Serve Mathematical Human Learning. Springer Nature. 2022. pp. 216 de 450. ISBN 9783030869090. Consultado el 26 de septiembre de 2023.
Bibliografía
[editar]- J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications, 1972, p. 36,95,104–106. ISBN 0-486-60288-5.
- Weisstein, Eric W. «Maclaurin Trisectrix». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research., Eric W., Weisstein, Eric W. «Maclaurin Trisectrix». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. a Weisstein, Eric W. «Maclaurin Trisectrix». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. (Weisstein, Eric W. «Maclaurin Trisectrix». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.).
- "Trisectrix of Maclaurin" a MacTutor's Famous Curves Index
- "Trisectrix of MacLaurin" donde 2dcurves.com
- "Trisectrix of Maclaurin" a Visual Dictionary Of Special Plane Curves
- "Trisectrice de Maclaurin" a Encyclopédie des Formas Mathématiques Remarquables
Enlaces externos
[editar]- Loy, Jim "Trisection of an Ángulo", Parte VI