Topología cofinita

En matemáticas, la topología de los complementos finitos o topología cofinita sobre un conjunto $X$ es la topología dada por

{\mathcal {T}}_{cof}=\{A\subseteq X:X\setminus A{\text{ es finito ó }}A=\emptyset \}

Es decir, un subconjunto $A$ de $X$ es abierto si su complemento es un conjunto finito.

Propiedades

Algunas propiedades sobre la topología cofinita sobre un conjunto $X$ :^[1]

Si $X$ es finito, la topología cofinita es la topología discreta. En este caso, un subconjunto $A\subseteq X$ es abierto si, y sólo si, es cerrado.
La topología cofinita sobre $X=\mathbb {R}$ es menos fina que la topología usual.
Un subconjunto $A\subseteq X$ es cerrado si, y sólo si, $A=X$ , $A=\emptyset$ ó $A$ es finito.
Si $x\in U\subseteq X$ , entonces $U$ es un entorno de $x$ si, y sólo si, $X\setminus U$ es finito.
Todo espacio $X$ con la topología cofinita es T₁ y, por tanto, T₀.
Si $X$ es infinito, entonces no es de Hausdorff. Como consecuencia, tampoco es T₃.
Todo espacio $X$ con la topología cofinita es compacto y, por tanto, también es de Lindelöf.

Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995). Counterexamples in Topology (Dover reimpresión de 1978 edición). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446.