Regla de Cramer

La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704-1752), quien publica la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).^[1]^[2]

La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.

Si $\mathbf {Ax} =\mathbf {b}$ es un sistema de ecuaciones, $\mathbf {A}$ es la matriz de coeficientes del sistema, $\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})$ es el vector columna de las incógnitas, y $\mathbf {b}$ es el vector columna de los términos independientes, entonces la solución al sistema se presenta así:

x_{j}={\cfrac {\det(\mathbf {A} _{j})}{\det(\mathbf {A} )}}

Donde $\mathbf {A} _{j}$ es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de $\mathbf {A}$ por el vector columna $\mathbf {b}$ . Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz $\mathbf {A}$ ha de ser no nulo.

Sistema de 2x2

Sea el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

{\begin{cases}a{\color {blue}x} b{\color {blue}y}={\color {red}e}\\c{\color {blue}x} d{\color {blue}y}={\color {red}f}\end{cases}}

Su representación matricial es

{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {blue}x}\\{\color {blue}y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}

Si el sistema es compatible determinado, la solución viene dada, por la regla de Cramer, por los siguientes cocientes de determinantes:

{\color {blue}x}={\frac {\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {{\color {red}e}d-b{\color {red}f}}{ad-bc}}\;,\quad {\color {blue}y}={\frac {\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {a{\color {red}f}-{\color {red}e}c}{ad-bc}}

Ejemplo

Ejemplo de la resolución de un sistema de dimensión 2x2:

Dado el sistema

{\begin{cases}3x y=9\\2x 3y=13\end{cases}}

Su forma matricial es

{\begin{bmatrix}3&1\\2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}9\\13\end{bmatrix}}

Como el sistema es compatible determinado, por la regla de Cramer,

x={\frac {\begin{vmatrix}9&1\\13&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={9\cdot 3-1\cdot 13 \over 3\cdot 3-1\cdot 2}=2

y={\frac {\begin{vmatrix}3&9\\2&13\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={3\cdot 13-9\cdot 2 \over 3\cdot 3-1\cdot 2}=3

Sistema de 3x3

La regla para un sistema de 3x3, con una división de determinantes:

{\begin{cases}a{\color {blue}x} b{\color {blue}y} c{\color {blue}z}={\color {red}j}\\d{\color {blue}x} e{\color {blue}y} f{\color {blue}z}={\color {red}k}\\g{\color {blue}x} h{\color {blue}y} i{\color {blue}z}={\color {red}l}\end{cases}}

Que representadas en forma de matriz es:

{\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {blue}x}\\{\color {blue}y}\\{\color {blue}z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}

$x$ , $y$ , $z$ pueden ser encontradas como sigue:

{\color {blue}x}={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}\,,\quad {\color {blue}y}={\frac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}\;,\quad {\color {blue}z}={\frac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}

Ejemplo

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

$\left\lbrace \!\!\!{\begin{array}{rl}3x 2y 1z=&\!\!\!1\\2x 0y 1z=&\!\!\!2\\-1x 1y 2z=&\!\!\!4\end{array}}\right.$

Expresado en forma matricial: ${\begin{bmatrix}\,\,\,\,3&2&1\\\,\,\,\,2&0&1\\-1&1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\4\end{bmatrix}}$

Los valores de $x$ , $y$ y $z$ serían:

x={\frac {\begin{vmatrix}1&2&1\\2&0&1\\4&1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\,\,\,\,3&2&1\\\,\,\,\,2&0&1\\-1&1&2\end{vmatrix}}}={1\cdot 0\cdot 2 2\cdot 1\cdot 1 4\cdot 2\cdot 1-1\cdot 0\cdot 4-1\cdot 1\cdot 1-2\cdot 2\cdot 2 \over 3\cdot 0\cdot 2 2\cdot 1\cdot 1 (-1)\cdot 2\cdot 1-1\cdot 0\cdot (-1)-1\cdot 1\cdot 3-2\cdot 2\cdot 2}=-{\frac {1}{11}};\quad

y={\frac {\begin{vmatrix}\,\,\,\,3&1&1\\\,\,\,\,2&2&1\\-1&4&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\,\,\,\,3&2&1\\\,\,\,\,2&0&1\\-1&1&2\end{vmatrix}}}={3\cdot 2\cdot 2 2\cdot 4\cdot 1 (-1)\cdot 1\cdot 1-1\cdot 2\cdot (-1)-1\cdot 4\cdot 3-2\cdot 1\cdot 2 \over 3\cdot 0\cdot 2 2\cdot 1\cdot 1 (-1)\cdot 2\cdot 1-1\cdot 0\cdot (-1)-1\cdot 1\cdot 3-2\cdot 2\cdot 2}=-{\frac {5}{11}};\quad

z={\frac {\begin{vmatrix}\,\,\,\,3&2&1\\\,\,\,\,2&0&2\\-1&1&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\,\,\,\,3&2&1\\\,\,\,\,2&0&1\\-1&1&2\end{vmatrix}}}={3\cdot 0\cdot 4 2\cdot 1\cdot 1 (-1)\cdot 2\cdot 2-1\cdot 0\cdot (-1)-2\cdot 1\cdot 3-4\cdot 2\cdot 2 \over 3\cdot 0\cdot 2 2\cdot 1\cdot 1 (-1)\cdot 2\cdot 1-1\cdot 0\cdot (-1)-1\cdot 1\cdot 3-2\cdot 2\cdot 2}={\frac {24}{11}}

Demostración

Sean:

{\boldsymbol {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\quad {\boldsymbol {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}

{\boldsymbol {A}}_{j}=\left[{\begin{array}{llllllll}a_{1,1}&\cdots &a_{1,j-1}&b_{1}&a_{1,j 1}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&\cdots &a_{2,j-1}&b_{2}&a_{2,j 1}&\cdots &a_{2,n}\\\\\vdots &&&\ddots &&&\vdots \\\\a_{n-1,1}&\cdots &a_{n-1,j-1}&b_{n-1}&a_{n-1,j 1}&\cdots &a_{n-1,n}\\a_{n,1}&\cdots &a_{n,j-1}&b_{n}&a_{n,j 1}&\cdots &a_{n,n}\end{array}}\right]

Usando las propiedades de la multiplicación de matrices:

{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}\Leftrightarrow {\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}}\Leftrightarrow {\boldsymbol {Ix}}={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}}\Leftrightarrow {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}}

Entonces:

{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}}={\frac {(\operatorname {Adj} {\boldsymbol {A}})^{t}}{\left|{\boldsymbol {A}}\right|}}\;{\boldsymbol {b}}

Por lo tanto:

{\boldsymbol {x}}_{j}={\boldsymbol {(}}A^{-1}{\boldsymbol {b}})_{j}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {{\boldsymbol {A}}_{ij}}{\left|{\boldsymbol {A}}\right|}}b_{i}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {A}}_{ij}b_{i}}{\left|{\boldsymbol {A}}\right|}}={\cfrac {\left|{\boldsymbol {A}}_{j}\right|}{\left|{\boldsymbol {A}}\right|}},

donde ${\boldsymbol {A}}_{ij}$ es el elemento adjunto o cofactor de la posición $ij$ y hemos utilizado el desarrollo del determinante de ${\boldsymbol {A}}_{j}$ por los elementos de la columna $j$ .

Véase también

Referencias

↑ Boyer, Carl B. (1968). Wiley, ed. A History of Mathematics (2nd edición). pp. 431.
↑ Katz, Victor (2004). Pearson Education, ed. A History of Mathematics. pp. 378-379.