Polinomio positivo

En matemáticas, un polinomio positivo en un conjunto dado es un polinomio cuyos valores son positivos en aquél conjunto.

Sea p un polinomio en n variables con coeficientes reales y sea S un subconjunto del espacio vectorial n-dimensional euclidiano ℝⁿ. Decimos que:

p es positivo en S si p(x) > 0 para toda x en S.
p es no-negativo en S si p(x) ≥ 0 para toda x en S.
p es cero en S si p(x) = 0 para toda x en S.

Para ciertos conjuntos S, hay descripciones algebraica de todos los polinomios que son positivos, no-negativos, o cero en S. Tal descripción es un positivstellensatz, nichtnegativstellensatz, o nullstellensatz. Este artículo se centrará en la primera de estas descripciones. Para la última de estas, véase Hilbert Nullstellensatz, el cual es el nullstellensatz más conocido.

Ejemplos de positivstellensatz (y nichtnegativstellensatz)

Polinomios globalmente positivos y su descomposición en suma de cuadrados .
- Cada polinomio real en una variable y con grado par es no-negativo en ℝ si y sólo si es una suma de dos cuadrados de polinomios reales en una variable.^[1] Esta equivalencia no se puede generalizar para polinomios con más de una variable: por ejemplo, el polinomio Motzkin $x^{4}y^{2} x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2} 1$ es no-negativo en $\mathbb {R} ^{2}$ pero no es una suma de cuadrados de elementos de $\mathbb {R} [x,y]$ .^[2]
- Un polinomio real en n variables es no-negativo en $\mathbb {R} ^{n}$ si y sólo si es una suma de cuadrados de funciones racionales reales en n variables (léase el decimoséptimo problema de Hilbert y la solución de Artin).^[3]
- Supongamos que $p\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ es homogéneo de grado par. Si es positivo en $\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ , entonces existe un entero m tal que $(x_{1}^{2} \ldots x_{n}^{2})^{m}\cdot p$ es una suma de cuadrados de elementos de $\mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ .^[4]
Polinomios positivos en politopos.
- Para polinomios de grado ≤ 1 tenemos la variante siguiente de Lema de Farkas: Si $f,g_{1},\ldots ,g_{k}$ tienen grado ≤ 1 y $f(x)\geq 0$ para toda $x\in \mathbb {R} ^{n}$ que satisface $g_{1}(x)\geq 0,\ldots ,g_{k}(x)\geq 0$ , entonces existen números reales no negativos $c_{0},c_{1},\ldots ,c_{k}$ tales que $f=c_{0} c_{1}g_{1} \ldots c_{k}g_{k}$ .
- Teorema de Pólya^[5]: Si $p\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ es homogéneo y $p$ es positivo en el conjunto $\{x\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}\geq 0,\ldots ,x_{n}\geq 0,x_{1} \ldots x_{n}\neq 0\}$ , entonces existe un entero $m$ tal que $(x_{1} \ldots x_{n})^{m}\cdot p$ tiene coeficientes no negativos.
- Teorema de Handelman:^[6] Si $K$ es un politopo compacto en un espacio Euclidiano de dimensión $d$ , definido por las desigualdades lineales $g_{i}\geq 0$ , y si $f$ es un polinomio en $d$ variables que es positivo en $K$ , entonces $f$ puede ser expresado como combinación lineal con coeficientes no negativos de productos de elementos del conjunto $\{g_{i}\}$ .
Polinomios positivos en conjuntos semialgebráicos.
- El resultado más general es el Positivstellensatz de Stengle.
- Para conjuntos semialgebráicos compactos, tenemos el positivstellensatz de Schmüdgen^[7]^[8], el positivstellensatz de Putinar^[9],^[10] y el positivstellensatz de Vasilescu^[11]. Un punto común entre estos es que ningún denominador se necesita.
- Para conjuntos semialgebráicos de buen comportamiento y de dimensión baja, existe un nichtnegativstellensatz sin denominadores.^[12]^[13]^[14]

Generalizaciones de positivstellensatz

Positivstellensatz también existen para polinomios trigonométricos, polinomios matriciales, polinomios en variables libres, varios polinomios cuánticos, et cétera [cita faltante].

Referencias

Bochnak, Jacek; Coste, Michel; Roy, Marie-Françoise. Real Algebraic Geometry. Traducido del texto original francés en 1987. Revisado por los autores. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], 36. Springer-Verlag, Berlín, 1998. x 430 pp. ISBN 3-540-64663-9.
Marshall, Murray. "Positive polynomials and sums of squares". Mathematical Surveys and Monographs, 146. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. xii 187 pp. ISBN 978-0-8218-4402-1.

Notas

↑ Benoist, Olivier (2017). «Writing Positive Polynomials as Sums of (Few) Squares». EMS Newsletter (en inglés). 2017-9 (105): 8-13. ISSN 1027-488X. doi:10.4171/NEWS/105/4.
↑ T. S. Motzkin, The arithmetic-geometric inequality. 1967 Inequalities (Proc. Sympos. Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, 1965) pp. 205–224.
↑ E. Artin, Uber die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 5 (1927), 85–99.
↑ B. Reznick, Uniform denominators in Hilbert's seventeenth problem. Math. Z. 220 (1995), no. 1, 75–97.
↑ G. Pólya, Über positive Darstellung von Polynomen Vierteljschr, Naturforsch. Ges. Zürich 73 (1928) 141–145, in: R. P. Boas (Ed.), Collected Papers Vol. 2, MIT Press, Cambridge, MA, 1974, pp. 309–313.
↑ D. Handelman, Representing polynomials by positive linear functions on compact convex polyhedra. Pacific J. Math. 132 (1988), no. 1, 35–62.
↑ K. Schmüdgen. "The K-moment problem for compact semi-algebraic sets". Math. Ann. 289 (1991), no. 2, 203–206.
↑ T. Wörmann. "Strikt Positive Polynome in der Semialgebraischen Geometrie", Univ. Dortmund 1998.
↑ M. Putinar, "Positive polynomials on compact semi-algebraic sets". Indiana Univ. Math. J. 42 (1993), no. 3, 969–984.
↑ T. Jacobi, "A representation theorem for certain partially ordered commutative rings". Math. Z. 237 (2001), no. 2, 259–273.
↑ Vasilescu, F.-H. "Spectral measures and moment problems". Spectral analysis and its applications, 173–215, Theta Ser. Adv. Math., 2, Theta, Bucharest, 2003. See Theorem 1.3.1.
↑ C. Scheiderer, "Sums of squares of regular functions on real algebraic varieties". Trans. Amer. Math. Soc. 352 (2000), no. 3, 1039–1069.
↑ C. Scheiderer, "Sums of squares on real algebraic curves". Math. Z. 245 (2003), no. 4, 725–760.
↑ C. Scheiderer, "Sums of squares on real algebraic surfaces". Manuscripta Math. 119 (2006), no. 4, 395–410.

Véase también

Datos: Q7233283

[1] Benoist, Olivier (2017). «Writing Positive Polynomials as Sums of (Few) Squares». EMS Newsletter (en inglés). 2017-9 (105): 8-13. ISSN 1027-488X. doi:10.4171/NEWS/105/4.

[2] T. S. Motzkin, The arithmetic-geometric inequality. 1967 Inequalities (Proc. Sympos. Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, 1965) pp. 205–224.

[3] E. Artin, Uber die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 5 (1927), 85–99.

[4] B. Reznick, Uniform denominators in Hilbert's seventeenth problem. Math. Z. 220 (1995), no. 1, 75–97.

[5] G. Pólya, Über positive Darstellung von Polynomen Vierteljschr, Naturforsch. Ges. Zürich 73 (1928) 141–145, in: R. P. Boas (Ed.), Collected Papers Vol. 2, MIT Press, Cambridge, MA, 1974, pp. 309–313.

[6] D. Handelman, Representing polynomials by positive linear functions on compact convex polyhedra. Pacific J. Math. 132 (1988), no. 1, 35–62.

[7] K. Schmüdgen. "The K-moment problem for compact semi-algebraic sets". Math. Ann. 289 (1991), no. 2, 203–206.

[8] T. Wörmann. "Strikt Positive Polynome in der Semialgebraischen Geometrie", Univ. Dortmund 1998.

[9] M. Putinar, "Positive polynomials on compact semi-algebraic sets". Indiana Univ. Math. J. 42 (1993), no. 3, 969–984.

[10] T. Jacobi, "A representation theorem for certain partially ordered commutative rings". Math. Z. 237 (2001), no. 2, 259–273.

[11] Vasilescu, F.-H. "Spectral measures and moment problems". Spectral analysis and its applications, 173–215, Theta Ser. Adv. Math., 2, Theta, Bucharest, 2003. See Theorem 1.3.1.

[12] C. Scheiderer, "Sums of squares of regular functions on real algebraic varieties". Trans. Amer. Math. Soc. 352 (2000), no. 3, 1039–1069.

[13] C. Scheiderer, "Sums of squares on real algebraic curves". Math. Z. 245 (2003), no. 4, 725–760.

[14] C. Scheiderer, "Sums of squares on real algebraic surfaces". Manuscripta Math. 119 (2006), no. 4, 395–410.

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