Hipotenusa

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo, y resulta ser su lado de mayor longitud.

Según el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los otros dos lados del triángulo rectángulo, denominados catetos.

Etimología

Del lat. tardío hypotenūsa, y este del gr. ὑποτείνουσα hypoteínousa, t. f. del part. act. de ὑποτείνειν hypoteínein 'tender con firmeza'.

Relaciones métricas

• Establece que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Es decir, si a representa la longitud de la hipotenusa, b y c la de los catetos, es:

$a^{2}=b^{2} c^{2}$

Por lo cual:

$a={\sqrt {b^{2} c^{2}}}$

En la figura, la hipotenusa es el lado a y los catetos son los lados b y c. La proyección ortogonal de b es m, y la de c es n.

Proyecciones ortogonales:

• La longitud de la hipotenusa es igual a la suma de las longitudes de las proyecciones ortogonales de ambos catetos.

$a=m n$

• El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de la longitud de su proyección ortogonal sobre la hipotenusa por la longitud de ésta.

$b^{2}=m\cdot a$

$c^{2}=n\cdot a$

• El cuadrado de la longitud de la altura es igual al producto de las longitudes de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.

$h^{2}=m\cdot n$

Proposiciones

• En un triángulo inscrito la hipotenusa coincide con un diámetro tanto como segmento cuanto en longitud.

• El radio de una circunferencia circunscrita es igual a la mitad de la longitud del diámetro.

• En un triángulo rectángulo inscrito un radio coincide con la mediana que une la hipotenusa con el ángulo recto.

• De los triángulos rectángulos que tienen la misma hipotenusa y constante la suma de sus catetos, el que tiene mayor área es el triángulo rectángulo isósceles.

• Una de las diagonales de un rectángulo determina dos triángulos rectángulos iguales ( congruentes), siendo la diagonal, la hipotenusa común.

Razones trigonométricas

Mediante razones trigonométricas se puede obtener el valor de los dos ángulos agudos, $\alpha \,$y $\beta \,$, del triángulo rectángulo.

Conocida la longitud de la hipotenusa $c\,$y la de un cateto $b\,$, la razón entre ambos es:

${\frac {b}{c}}=\operatorname {sen}(\beta )\,$

Por tanto, la función trigonométrica inversa es:

$\beta \ =\arcsin \left({\frac {b}{c}}\right)\,$

Siendo $\beta \,$el valor del ángulo opuesto al cateto $b\,$.

El ángulo contiguo al cateto $b\,$será $\alpha \,$ = 90° – $\beta \,$

También se puede obtener el valor del ángulo $\beta \,$mediante la ecuación:

$\beta \ =\arccos \left({\frac {a}{c}}\right)\,$

Siendo $a\,$el otro cateto.

Véase también

• Teorema de Pitágoras
• Cateto
• Círculo unitario

Enlaces externos

• Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre hipotenusa.
• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Hipotenusa.

• Datos: Q104962