Grupo diédrico

Este copo de nieve tiene la simetría diedral de un hexágono regular.

En matemáticas, un grupo diédrico o grupo diedral es el grupo de simetría de un polígono regular, incluyendo tanto rotaciones y reflexiones.^[1] Los grupos diedrales se encuentran entre los más simples ejemplos de grupos finitos, y juegan un rol importante en teoría de grupos, geometría, y química.

Notación

Existen dos notaciones para el grupo diédrico asociado a un polígono con n lados. En geometría el grupo se denota como D_n, mientras que en álgebra el mismo grupo se denota como D_2n para indicar el número de elementos.

En este artículo, D_n se refiere a las simetrías de un polígono regular con n lados.

Definición

Elementos

Un polígono regular con n lados tiene 2n simetrías diferentes: n simetrías rotacionales y n simetrías de reflexión. Las rotaciones y reflexiones asociadas forman el grupo diedral D_n. Si n es impar, cada eje de simetría conecta el punto medio de un lado al vértice opuesto. Si n es par, hay n/2 ejes de simetría conectando los puntos medios de lados opuestos y n/2 ejes de simetría conectando vértices opuestos. En cada caso, hay n ejes de simetría en conjunto y 2n elementos en el grupo de simetría. La reflexión en un eje de simetría seguida por la reflexión en otros ejes de simetría produce una rotación de dos veces el ángulo entre los ejes. La siguiente imagen muestra el efecto de los dieciséis elementos de D₈ en una señal de alto:

La primera fila muestra el efecto de las ocho rotaciones, y la segunda fila muestra el efecto de las ocho reflexiones.

Estructura del grupo

Como con cualquier objeto geométrico, la composición de dos simetrías de un polígono regular es nuevamente una simetría. Esta operación brinda a las simetrías de un polígono la estructura algebraica de un grupo finito.

La siguiente tabla de Cayley muestra el efecto de composición en el grupo D₃ (las simetrías de un triángulo equilátero). R₀ denota la identidad; R₁ y R₂ denotan rotaciones en contra del sentido de las manecillas del reloj en 120 y 240 grados; y S₀, S₁, y S₂ denotan reflexiones a través de las tres líneas mostradas en la imagen a la derecha.

	R₀	R₁	R₂	S₀	S₁	S₂
R₀	R₀	R₁	R₂	S₀	S₁	S₂
R₁	R₁	R₂	R₀	S₁	S₂	S₀
R₂	R₂	R₀	R₁	S₂	S₀	S₁
S₀	S₀	S₂	S₁	R₀	R₂	R₁
S₁	S₁	S₀	S₂	R₁	R₀	R₂
S₂	S₂	S₁	S₀	R₂	R₁	R₀

Por ejemplo, S₂S₁ = R₁ debido a que la reflexión S₁ seguida por la reflexión S₂ resulta en una rotación de 120 grados. (Éste es el orden normal hacia atrás para la composición.) Nótese que la operación de composición no es conmutativa.

En general, el grupo D_n tiene elementos R₀,...,R_n−1 y S₀,...,S_n−1, con composición dada por las siguientes fórmulas:

R_{i}\,R_{j}=R_{i j},\;\;\;\;R_{i}\,S_{j}=S_{i j},\;\;\;\;S_{i}\,R_{j}=S_{i-j},\;\;\;\;S_{i}\,S_{j}=R_{i-j}.

En todos los casos, la adición y sustracción de subíndices debería ser realizada utilizando aritmética modular con módulo n.

Representación matricial

Si centramos un polígono regular en el origen de coordenadas, entonces los elementos del grupo diedral actúan como transformaciones lineales del plano. Esto nos permite representar elementos de D_n como matrices, siendo la composición una multiplicación de matrices. Esto es un ejemplo de una representación de grupo bidimensional.

Por ejemplo, los elementos del grupo D₄ pueden ser representados por las siguientes ocho matrices:

{\begin{matrix}R_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},\\[1em]S_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.\end{matrix}}

En general, las matrices para elementos de D_n tienen la forma siguiente:

{\begin{aligned}R_{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&-\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}\ \ {\text{y}}\\S_{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&-\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

R_k es una matriz de rotación, que expresa una rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj a través de un ángulo de 2πk ⁄n. S_k es una reflexión a lo largo de una línea que forma un ángulo de πk ⁄ n con el eje x.

Pequeños grupos diedrales

Para n = 1 tenemos Dih₁. Esta notación es raramente utilizada excepto en el marco de las series, porque es igual a Z₂. Para n = 2 tenemos Dih₂, el grupo de Klein. Ambos son excepcionales dentro de la serie:

Son abelianos; para todos los otros valores de n, el grupo Dih_n es no abeliano.
No son subgrupos del grupo simétrico S_n, correspondiente al hecho que 2n > n! para estos n.

Los grafos ciclos de grupos diedrales consisten en un ciclo de n-elementos y ciclos de n 2-elementos. El vértice oscuro en los grafos ciclos debajo de varios grupos diedrales permanece para el elemento identidad, y los otros vértices son los otros elementos del grupo. Un ciclo consiste de potencias sucesivas de cada uno de los elementos conectados al elemento identidad.


Dih₁	Dih₂	Dih₃	Dih₄	Dih₅	Dih₆	Dih₇

El grupo diedral como un grupo de simetría en 2D y grupo de rotación en 3D

Un ejemplo de grupo abstracto Dih_n, y una forma común para visualizarlo, es el grupo D_n de isometrías euclídeas planas que mantienen fijo el origen. Estos grupos forman una de las dos series de grupos puntuales en dos dimensiones discretos. D_n consiste de n rotaciones de múltiplos de 360°/n respecto al origen, y n reflexiones a lo largo de sendas rectas a través del origen, formando ángulos de múltiplos de 180°/n entre sí. Estas transformaciones también se pueden entender como las simetrías de un polígono regular con n caras (para n ≥ 3, pero también para el caso degenerado n = 2, donde el polígono degenera a un segmento de recta en el plano).

El grupo diedral D_n es generado por una rotación r, de orden n, y una reflexión s, de orden 2, tales que:

srs=r^{-1}\,

(en términos geométricos: reflejada, la rotación luce como la rotación inversa).

En forma matricial, una rotación de ${\tfrac {2\pi }{n}}$ radianes en sentido antihorario y una reflexión respecto del eje x vienen dadas por las aplicaciones lineales con matrices asociadas:

r={\begin{bmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\[8pt]\sin {2\pi \over n}&\cos {2\pi \over n}\end{bmatrix}}\qquad s={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}

(en términos de números complejos: multiplicación por $e^{2\pi i \over n}$ y conjugación compleja, respectivamente).

Tomando

r_{1}={\begin{bmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\[8pt]\sin {2\pi \over n}&\cos {2\pi \over n}\end{bmatrix}}\qquad s_{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}

y definiendo $r_{j}=r_{1}^{j}$ and $s_{j}=r_{j}\,s_{0}$ for $j\in \{1,\ldots ,n-1\}$ podemos reescribir las reglas del producto en D_n como:

r_{j}\,r_{k}=r_{(j k){\text{ mod }}n}

r_{j}\,s_{k}=s_{(j k){\text{ mod }}n}

s_{j}\,r_{k}=s_{(j-k){\text{ mod }}n}

s_{j}\,s_{k}=r_{(j-k){\text{ mod }}n}.

El grupo diedral D₂ es generado por la rotación r de 180 grados, y la reflexión s a través del eje x. Los elementos de D₂ pueden entonces ser representados como {e, r, s, rs}, donde e es la identidad o transformación nula y rs es la reflexión respecto del eje y.

Los cuatro elementos de D₂ (el eje x es vertical aquí).

D₂ es isomorfo al grupo de Klein.

Si el orden de D_n es mayor que 4, las operaciones de rotación y reflexión en general no conmutan y D_n no es abeliano; por ejemplo, en D₄, una rotación de 90 grados seguida por una reflexión da un resultado diferente de una reflexión seguida por una rotación de 90 grados (ver segunda imagen a la derecha).

D₄ es no-abeliano (el eje x es vertical aquí).

Así, más allá de su aplicación obvia a problemas de simetría en el plano, estos grupos están entre los ejemplos más simples de grupos no-abelianos, y como tal, surgen con frecuencia como contraejemplos sencillos a teoremas que están restringidos a grupos abelianos.

Los 2n elementos de D_n pueden ser escritos como e, r, r², ..., rⁿ⁻¹, s, r s, r² s, ..., rⁿ⁻¹ s. Los primeros n elementos listados son rotaciones y el resto de elementos son n reflexiones axiales (todas ellas tienen orden 2). El producto de dos rotaciones o dos reflexiones es una rotación; el producto de una rotación y una reflexión es una reflexión.

Hasta ahora, hemos considerado que D_n como un subgrupo de O(2), por ejemplo el grupo de rotaciones (respecto al origen) y reflexiones (a lo largo de ejes a través del origen) del plano. Sin embargo, la notación D_n es usada también para un subgrupo de SO(3) que es también un grupo abstracto de tipo Dih_n: el grupo de simetría apropiado para un polígono regular incrustado en en el espacio tridimensional (si n ≥ 3). Tal figura puede ser considerada como un sólido regular degenerado con su cara contada dos veces. Por tanto, es llamada también diedro (en griego: sólido con dos caras), que explica el nombre de grupo diedral o diédrico (en analogía con grupo tetraédrico, octaédrico e icosaédrico, refiriéndose a los grupos de simetría de un tetraedro, octaedro, e icosaedro regulares respectivamente).

Ejemplos de simetría diédrica 2D

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Grupo diédrico.

Simetría 2D D₆ – Estrella roja de David.
Simetría 2D D₁₂ – Cantón de la bandera de la república de China (sol blanco).
Simetría 2D D₁₆ – Emblema imperial de Japón, que representa un crisantemo de dieciséis pétalos.
Simetría 2D D₂₄ – Chakra Ashoka, como se representa en la bandera de la India.

Definiciones equivalentes

Existen definiciones adicionales equivalentes de Dih_n, el cual puede ser:

El grupo de automorfismo del grafo que consiste solamente en un ciclo con n vértices (si n ≥ 3).
El grupo con presentación

D_{n}=\langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,srs^{-1}=r^{-1}\rangle

o

D_{n}=\langle x,y\mid x^{n}=y^{2}=(xy)^{2}=1\rangle .

(cualquier grupo no-abeliano simple y finito (de orden par) puede ser generado por dos elementos de orden 2.^[2]

De la segunda presentación se sigue que

D_{n}

pertenece a la clase de grupo de Coxeter.

El producto semidirecto de grupos cíclicos Z_n y Z₂, con Z₂ actuando sobre Z_n por inversión (así, $D_{n}$ siempre tiene un subgrupo normal isomorfo al grupo Z_n

$\mathbb {Z} _{n}\rtimes _{\varphi }\mathbb {Z} _{2}$ es isomorfo a $D_{n}$ si $\varphi (0)$ es la identidad y $\varphi (1)$ es la inversión.

Propiedades

Si consideramos $D_{n}$ (n ≥ 3) como el grupo de simetría de un polígono regular de n lados y vértices, vemos que $D_{n}$ es un subgrupo del grupo simétrico S_n pues cada uno de sus elementos se puede ver como una permutación de los n vértices.

Las propiedades de los grupos diedrales $D_{n}$ con n ≥ 3 generalmente dependen de si n es par o impar. Por ejemplo, el centro de $D_{n}$ consiste solamente de la identidad si n es impar, pero si n es par, el centro tiene dos elementos, concretamente la identidad y el elemento r^n / 2 (viendo $D_{n}$ como un subgrupo de O(2), esto es la rotación de 180 grados; debido a que también lo podemos ver como una multiplicación escalar por −1, está claro que conmuta con cualquier transformación lineal y, en particular, que pertenece al centro del grupo).

Para el doble de un n impar, el grupo abstracto $D_{2n}$ es isomorfo con el producto directo de $D_{n}$ y el grupo cíclico $\mathbb {Z} _{2}$ .

Si m es divisor de n, entonces $D_{n}$ tiene n/m subgrupos diédricos del tipo $D_{m}$ , y un subgrupo cíclico $\mathbb {Z} _{m}$ . Por tanto, el número total de subgrupos de $D_{n}$ (n ≥ 1), es igual a d(n) σ(n), donde d(n) es el número de divisores positivos de n y σ(n) es la suma de los divisores positivos de n.

Clases de conjugación de las reflexiones

Todas las reflexiones son conjugadas a cada una de ellas en el caso de n impar, pero caen en dos clases de conjugación si n es par. Si pensamos en las isometrías de un polígono regular de n lados: para n impar hay rotaciones en el grupo entre cada par de espejos, mientras que para n par solamente la mitad de los espejos pueden ser alcanzados desde alguna de estas rotaciones. Geométricamente, en un polígono impar cada eje de simetría pasa a través de un vértice y una cara, mientras que en un polígono par la mitad de los ejes pasan a través de dos vértices, y la mitad pasa a través de dos caras.

Algebráicamente, esto es un ejemplo del Teorema de Sylow conjugado (para n impar): para n impar, cada reflexión, junto con la identidad, forman un subgrupo de orden 2, que es un subgrupo de Sylow ( $2=2^{1}$ es la potencia máxima de 2 que divide a $2n=2(2k 1)$ ), mientras que para n par, estos subgrupos de orden 2 no son subgrupos de Sylow debido a que 4 (una potencia más alta de 2) divide el orden del grupo.

Para n par existe en cambio un automorfismo externo que intercambia los dos tipos de reflexiones (propiamente, una clase de automorfismo externo, que están todos conjugados por un automorfismo interno).

Grupo de automorfismo

El grupo de automorfismo de $D_{n}$ es isomorfo al grupo afín Aff(Z/nZ) $=\{ax b\mid (a,n)=1\}$ y tiene orden $n\phi (n),$ donde $\phi$ es la función φ de Euler, el número de k en $1,\dots ,n-1$ es primo con n.

Puede ser entendido en términos de los generadores de una reflexión y una rotación elemental (rotación por $k(2\pi /n)$ , para k primo a n); cuyos automorfismos son internos y externos dependiendo de la paridad de n:

Para n impar, el grupo diedral es descentrado, así que cualquier elemento define un automorfismo interno no trivial; para n par, la rotación por 180° (reflexión a través del origen) es el elemento no trivial del centro.
Así, para n impar, el grupo de automorfismo interno tiene orden 2n, y para n par el grupo de automorfismo interno tiene orden n.
Para n impar, todas las reflexiones son conjugadas; para n par, ellas caen dentro de dos clases (aquellas a través de dos vértices y aquellas a través de dos caras), relacionadas por un automorfismo externo, que puede ser representado por rotación por $\pi /n$ (la mitad de la rotación mínima).
Las rotaciones son un subgrupo normal; la conjugación por una reflexión cambia el signo (dirección) de la rotación, pero de otra forma permanece sin cambio. Así, los automorfismos que multiplican ángulos por k (primos a n) son externos a menos que $k=\pm 1.$

Ejemplos de grupos de automorfismo

Dih₉ tiene 18 automorfismos internos. como grupo de isometría 2D D₉, el grupo tiene espejos a intervalos de 20°. Los 18 automorfismos internos proveen rotación a los espejos por múltiplos de 20°, y reflexiones. Como grupo isométrico, todos éstos son automorfismos. Como grupo abstracto hay, además a éstos, 36 automorfismos externos, por ejemplo multiplicando los ángulos de rotación por 2.

Dih₁₀ tiene 10 automorfismos internos. Como grupo de isometría 2D D₁₀, el grupo tiene espejos a intervalos de 18°. Los 10 automorfismos internos proveen rotación de los espejos por múltiplos de 36°, y reflexiones. Como grupo de isometría hay 10 automorfismos más; hay conjugados por isometrías fuera del grupo, rotando los espejos 18° con respecto a los automorfismos internos. Como grupo abstracto hay, además de estos 10 automorfismos internos y 10 automorfismos externos, otros 20 automorfismos externos adicionales, por ejemplo multiplicando las rotaciones por 3.

Comparando los valores 6 y 4 para la función φ de Euler, el grupo multiplicativo de enteros módulo n para n = 9 y 10, respectivamente, esto triplica y duplica el número de automorfismo comparado con los dos automorfismos como isometrías (manteniendo igual el orden de las rotaciones o invirtiendo el orden).

Generalizaciones

Hay varias generalizaciones importantes de los grupos diedrales:

El grupo diédrico infinito es un grupo infinito con estructura algebraica similar a los grupos diedrales finitos. Esto puede ser visto como el grupo de simetrías de los enteros.
El grupo ortogonal O(2), por ejemplo el grupo de simetría del círculo, también tiene propiedades similares a los grupos diedrales.
La familia de grupos diédricos generalizados incluye ambos ejemplos anteriores, así como muchos otros grupos.
Los grupos cuasidiédricos son familia de grupos finitos con propiedades similares a las de los grupos diedrales.

Referencias

↑ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd edición). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
↑ Aschbacher; Guralnick (1984). «Some applications of the first cohomology group». J. Algebra 90 (2).

Enlaces externos

Grupo diedral n de orden 2n por Shawn Dudzik, .

Datos: Q558339
Multimedia: Images with dihedral symmetry / Q558339

[1] Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd edición). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.

[2] Aschbacher; Guralnick (1984). «Some applications of the first cohomology group». J. Algebra 90 (2).

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